Ecuaciones Bicuadradas

Contenido de esta página:

  • Introducción.

  • Método de resolución.

  • Consideraciones sobre las soluciones y número de soluciones distintas.

  • Resolución (y factorización) paso a paso de ecuaciones bicuadradas.

  • Ejemplo de obtención de una ecuación bicuadrada a partir de una solución.

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Introducción

Las ecuaciones bicuadradas son las ecuaciones de cuarto grado de la forma:

$$ ax^4 + bx^2 + c =0,\ a\neq 0 $$

Son ecuaciones de cuarto grado en las que aparecen, a lo sumo, todos los monomios que tienen una potencia par de la incógnita (es decir, x 4, x 2 y x 0 ). Decimos a lo sumo ya que los términos b y c pueden ser 0, pero no el término a.

Para resolverlas podríamos aplicar, por ejemplo, la Regla de Ruffini, pero existe un método mucho más eficiente al cual se debe el nombre de este tipo de ecuaciones.


Método de resolución

Aplicamos el cambio de variable siguiente

$$ x^2 = t \rightarrow x^4 = ( x^2 )^ 2 = t^2 $$

Es decir, vamos a escribir la ecuación usando t2 en vez de x:

transformación para convertir una ecuación bicuadrada en una de segundo grado

Obtenemos una ecuación de segundo grado, que ya sabemos resolver.

Supongamos que hemos calculado las soluciones de esta nueva ecuación (los valores de t) y son

$$t = t_1, \ t= t_2 $$

Pero como

$$ t = x^2 $$

Tenemos que

$$ x = \pm \sqrt{t} $$

Es decir, obtenemos las cuatro soluciones de la ecuación inicial:

$$ x_1 =+ \sqrt{t_1} $$

$$ x_2 =- \sqrt{t_1} $$

$$ x_3 = + \sqrt{t_2} $$

$$ x_4 = - \sqrt{t_3} $$

Por tanto, la resolución de una ecuación bicuadrada se reduce a la resolución de una ecuación de segundo grado.


Consideraciones sobre las soluciones

Unas líneas atrás dimos las cuatro soluciones de la ecuación bicuadrada en función de las de la ecuación de segundo grado. Observamos que todas son las raíces positiva y negativa de t1 y t2, por tanto:

  • Si t1 = 0, en vez de dos soluciones (una raíz negativa y una positiva) tendremos sólo una: x = 0.

    Ocurre lo mismo si t2 = 0.

  • Si t1 < 0, entonces no proporciona ninguna solución ya que no existen las raíces negativas (es un complejo).

    Ocurre lo mismo para t2 < 0.


Número de soluciones

El número de soluciones reales de una ecuación bicuadrada puede ser:

  • Ninguna solución. Por ejemplo, la ecuación

    $$ x^4 + 4x^2 +4 = 0 $$

  • Cuatro soluciones distintas. Por ejemplo, como en el Problema 3.

  • Tres soluciones distintas. Por ejemplo, como en el Problema 2.

  • Dos soluciones distintas. Por ejemplo, como en el Problema 1.

  • Una única solución. Por ejemplo, como en el Problema 8.


Ecuaciones resueltas

Ecuación 1

$$ x^4-2x^2+1=0 $$

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Ecuación 2

$$ x^4=x^2 $$

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Ecuación 3

$$ x^4-13x^2+36 = 0 $$

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Ecuación 4

$$ x^4-74x^2+1225=0 $$

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Ecuación 5

$$ x^4-5x^2+6=0 $$

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Problema 6

$$ x^4-2ax^2+a^2-a=0, \ a > 1 $$

¿por qué crees que se exige a > 1 ?

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Problema 7

La ecuación del problema anterior ha sido obtenida buscando una ecuación que tuviera al menos la solución

$$ x = \sqrt{a+ \sqrt{a}} $$

Encontrar una ecuación bicuadrada que tenga al menos la solución

$$ x = \sqrt{ 2 + \sqrt{3}} $$

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Problema 8

$$ x^4 +2x^2 = 0 $$

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Problema 9

$$ x^4 -9x^2 = 0 $$

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