Ecuaciones bicuadradas resueltas
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Ecuaciones bicuadradas resueltas

Nota: en esta página no vamos a considerar las soluciones complejas, aunque las indicaremos para quienes tengan interés en conocerlas.

Contenido de esta página:

  1. Introducción

  2. Método de resolución

  3. Comentarios sobre las soluciones

  4. 10 problemas resueltos de ecuaciones bicuadradas

Temas relacionados:

1. Introducción

Las ecuaciones bicuadradas son las ecuaciones de cuarto grado con la siguiente forma:

Explicamos cómo resolver ecuaciones bicuadradas por el método de cambio de variable. Resolvemos 10 ecuaciones bicuadradas explicando los pasos. Ecuaciones. Álgebra.

Es decir, son ecuaciones de cuarto grado en las que aparecen, a lo sumo, todos los monomios que tienen la incógnita con exponente par (es decir, \(x^4\), \(x^2\) y \(x^0\)). Decimos a lo sumo ya que los coeficientes \(b\) y \(c\) pueden ser 0, pero no puede serlo el coeficiente \(a\).

Como una ecuación bicuadrada es un caso de ecuación de cuarto grado, la ecuación tiene, como mucho, 4 soluciones.

Se puede resolver una ecuación bicuadrada, por ejemplo, mediante la regla de Ruffini, pero suele ser más rápido aplicar un cambio de variable como vamos a ver en esta página.

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2. Método de resolución

Consideremos, pues, la ecuación bicuadrada en su forma general:

Explicamos cómo resolver ecuaciones bicuadradas por el método de cambio de variable. Resolvemos 10 ecuaciones bicuadradas explicando los pasos. Ecuaciones. Álgebra.

Aplicamos el cambio de variable siguiente:

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Es decir, escribimos la incógnita \(t\) en lugar de \(x^2\) y \(t^2\) en lugar de \(x^4\):

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Obtenemos, así, una ecuación de segundo grado, tipo de ecuación que ya sabemos resolver. Luego,

La resolución de una ecuación bicuadrada se reduce a la resolución de una ecuación de segundo grado.

Supongamos que hemos calculado las dos soluciones de esta ecuación de segundo grado y son \(t_1\) y \(t_2\). Como \(t = x^2\), haciendo la raíz cuadrada, tenemos que

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Por tanto, haciendo la raíz cuadrada, tenemos las cuatro soluciones de la ecuación inicial:

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3. Comentarios sobre las soluciones

Continuando con el razonamiento anterior,

  • Si \(t_1 = 0\), en lugar de dos soluciones (una raíz negativa y una positiva) tendremos sólo una: \(x = 0\). Ocurre lo mismo si \(t_2 = 0\).

  • Si \(t_1 > 0\), tenemos dos soluciones: la raíz cuadrada negativa y la positiva de \(t_1\). Ocurre lo mismo si \(t_2 > 0\).

  • Si \(t_1 < 0\), entonces tenemos que calcular la raíz cuadrada de un número negativo. Esto proporciona dos soluciones complejas. Ocurre lo mismo si \(t_2 < 0\).

Por tanto, nos toparemos con los siguientes casos:

  • Ecuación sin soluciones (reales), como ocurre con la ecuación

    $$ x^4 + 4x^2 +4 = 0 $$

  • Ecuación con 4 soluciones (reales) distintas, como en el Problema 3.

  • Ecuación con 3 soluciones (reales) distintas, como en el Problema 2.

  • Ecuación con 2 soluciones (reales) distintas, como en el Problema 1.

  • Ecuación con una única solución (real), como en el Problema 8.

4. Problemas de ecuaciones bicuadradas

Problema 1

Resolver y factorizar la siguiente ecuación bicuadrada:

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Problema 2

Resolver y factorizar la siguiente ecuación bicuadrada:

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Problema 3

Resolver y factorizar la siguiente ecuación bicuadrada:

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Problema 4

Resolver y factorizar la siguiente ecuación bicuadrada:

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Problema 5

Resolver y factorizar la siguiente ecuación bicuadrada:

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Problema 6 (dificultad alta)

Considerar la siguiente ecuación de cuarto grado donde \(a\) es un parámetro:

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Cuestiones:

  • ¿Es una ecuación bicuadrada?

  • ¿Por qué se exige que \(a> 1\)?

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Problema 7

La ecuación del problema anterior ha sido obtenida buscando una ecuación que tuviera al menos la solución

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Encontrar una ecuación bicuadrada que tenga al menos la solución

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Problema 8

Resolver y factorizar la siguiente ecuación bicuadrada:

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Problema 9

Resolver y factorizar la siguiente ecuación bicuadrada:

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Problema 10 (dificultad alta)

El método del cambio de variable o sustitución lo podemos aplicar en otros casos. Por ejemplo, para algunas ecuaciones de sexto grado.

Aplicad el cambio de variable para calcular las soluciones (reales) de la siguiente ecuación:

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