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Tipos de Sucesiones

En esta página clasificamos las sucesiones según su comportamiento. Después, resolvemos 10 problemas. Calcularemos algunos límites, pero no es el tema central de los problemas.

Contenido de esta página:

  1. Convergencia: convergente y divergente

  2. Monotonía: creciente y decreciente

  3. Alternada y Oscilante

  4. Acotada

  5. Distancia al límite

  6. 10 problemas resueltos

Temas relacionados:

1. Convergencia

Una sucesión \(a_n\) es convergente cuando tiene límite finito. El límite \(L\) de una sucesión es el número al que la sucesión se aproxima cada vez más.

Se dice que la sucesión \(a_n\) converge a su límite \(L\) y se expresa por

Tipos de sucesiones según su comportamiento: convergente, divergente y límite, monotonía (creciente o decreciente), oscilante y alternada y cotas (acotada superiormente y acotada inferiormente). Conceptos y problemas resueltos.

O bien, por \(a_n \rightarrow L\).

Ver ejemplo

Ver definición formal

Una sucesión es divergente cuando no tiene límite. Es decir, cuando no existe ningún número finito al cual se aproxima. Cuando una sucesión es divergente, decimos que no existe su límite:

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Ver ejemplo

Nota: en esta página consideramos la divergencia como la no existencia de límite y, por tanto, una sucesión puede ser convergente o no convergente (divergente). Sin embargo, algunos matemáticos consideran la divergencia como la tendencia a infinito. En este segundo caso, una sucesión puede ser convergente, divergente o no convergente ni divergente.

2. Monotonía

Una sucesión \(a_n\) es monótona creciente (o simplemente creciente) cuando cada término es mayor o igual que el anterior:

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Es estrictamente creciente si el signo es estricto:

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Una sucesión \(a_n\) es monótona decreciente (o simplemente decreciente) cuando cada término es menor o igual que el anterior:

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Es estrictamente decreciente si el signo es estricto:

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Una sucesión \(a_n\) es constante cuando todos tus términos son iguales:

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3. Alternada y Oscilante

Una sucesión es alternada cuando cada término tiene el signo contrario que el del término que le precede.

Ver ejemplo

Una sucesión es oscilante cuando:

  • no es alternada y

  • no es creciente, ni decreciente ni constante.

Nota: en esta página consideramos que las sucesiones oscilantes no son alternadas ni viceversa. Sin embargo, algunos matemáticos consideran que las alternadas son un tipo de sucesiones oscilantes.

Ver ejemplo

4. Acotada

Una sucesión \(a_n\) es acotada superiormente cuando ninguno de sus términos es mayor que algún número \(K\):

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Una sucesión \(a_n\) es acotada inferiormente cuando ninguno de sus términos es menor que algún número \(K\):

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Una sucesión \(a_n\) es acotada cuando es acotada superior e inferiormente:

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5. Distancia al límite

Si una sucesión \(a_n\) converge a \(L\), la distancia entre el término \(a_m\) y el límite \(L\) es

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X

6. Problemas Resueltos

Problema 1

Determinar si las siguientes sucesiones son crecientes, decrecientes o constantes:

  • 1, 3, 9, 27,...

  • 2, 0, -2, -4,...

  • 7, 7, 7, 7,...

  • 1, 1/2, 1/4, 1/8,...

  • 1, 3/2, 9/4, 27/8,...

  • 5, 2, 5, 2, 5, 2,...

  • Si una sucesión no es creciente ni decreciente, ¿es necesariamente constante?

Ver solución

Problema 2

Calcular los términos \(a_1\), \(a_2\) y \(a_3\) de las siguientes sucesiones y determinar

  • si son crecientes, decrecientes o constantes,

  • si convergen o divergen,

  • si son alternadas u oscilantes y

  • si son acotadas.

Sucesión 1:

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Sucesión 2:

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Sucesión 3:

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Sucesión 4:

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Problema 3

Calcular los 10 primeros términos de las siguientes sucesiones y determinar si son alternadas u oscilantes:

  • \(a_n = 5·(-1)^n\)

  • \(a_n = 5-(-1)^{n+1}\)

  • \( a_n = \begin{cases} -1, & \quad \text{si } n \text{ es par}\\ 5, & \quad \text{si } n \text{ es impar} \end{cases} \)

  • \( a_n = \begin{cases} 1-\frac{1}{n}, & \quad \text{si } n \text{ es par}\\ 2-\frac{1}{n}, & \quad \text{si } n \text{ es impar} \end{cases} \)

Ver solución

Problema 4

¿Una sucesión constante puede ser divergente?

Ver solución

Problema 5

Una sucesión convergente se aproxima a su límite, ¿puede alcanzarlo?

Ver solución


Problema 6

Calcular el límite de las siguientes sucesiones:

  • \( a_n = \frac{3}{n^2} \)

  • \( a_n = \frac{3}{n^3}\)

  • \( a_n = \frac{3}{n+1}\)

  • \( a_n = \frac{2n+3}{n}\)

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Problema 7

Sea la sucesión

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Calcular los 5 primeros términos para deducir cuál es su límite \(L\) y calcular la distancia entre dichos términos y \(L\).

Nota: la distancia entre el término \(a_n\) y el límite \(L\) es

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¿Qué tipo de sucesión es \(d_n\)?

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Problema 8

Determinar si las siguientes sucesiones son alternadas sin calcular sus términos:

  • \(a_n = (-2)^n·(-1)^n\)

  • \(a_n = (-2)^n·(-1)^n·(-3)^n\)

  • \(a_n = (-2)^{n+1}·(-1)^n\)

  • \(a_n = (-2)^{n+1}·(-1)^{n+1}\)

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Problema 9

¿Una sucesión alternada puede tener límite?

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Problema 10

Determinar si la sucesión de las potencias de 2 (es decir, \(a_n=2^n\)) es

  • creciente, decreciente o alternada;

  • convergente o divergente;

  • oscilante o no oscilante;

  • acotada o no acotada.

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