Nos apoyaremos en la siguiente representación:
Como el radio de la circunferencia es \(R=1\), entonces
-
El segmento \(a\) es el seno ángulo \(\alpha\).
-
El segmento \(b\) es el seno del ángulo \(\beta\).
-
El segmento \(X\) (segmento discontinuo) es el seno del ángulo \(\alpha + \beta\).
Ahora vamos a calcular el segmento \(X\), es decir, el seno de la suma de los ángulos: \(sin(\alpha + \beta )\).
Trazamos el segmento \(m\) paralelo al segmento \(a\):
El ángulo \( \delta\) que aparece mide \( \delta = 90^\circ -\alpha\). Esto se debe a que los dos otros ángulos del triángulo miden \(\alpha\) y \(90^\circ\) y la suma de los tres ángulos debe ser \(180^\circ \):
$$ \delta = 180^\circ - \alpha - 90^\circ $$
$$ \delta = 90^\circ -\alpha $$
Teniendo en cuenta la introducción, el lado \(m\) del triángulo es
Nota: \(cos(β)\) multiplica al seno porque es la hipotenusa del triángulo.
Prolongamos el segmento \(m\) obteniendo el segmento \(p\) (el segmento \(m\) no cambia):
Observando la figura,
-
El segmento \(X\) mide lo mismo que la suma de los lados \(m\) y \(p\).
-
El nuevo ángulo representado mide \(\alpha\) porque junto con los ángulos \(90^\circ\) y \(90^\circ-\alpha\) debe sumar \(180^\circ \).
-
Teniendo en cuenta la introducción, el lado \(p\) del triangulo superior es
Por tanto, el segmento \(X\) es
Como queríamos demostrar.
