logotipo matesfacil

Seno, coseno y tangente de la suma y la resta de ángulos

En esta página vamos a demostrar las fórmulas del seno, coseno y tangente de la suma y de la resta de ángulos:

Demostraciones de la fórmula seno, del coseno y de la tangente de la suma y la resta de ángulos. Nivel de Bachillerato. Demostraciones visiales. Geometria plana. Trigonometria. Identidades trigonometricas.

Páginas relacionadas:

A lo largo de todo el texto, consideramos sin pérdida de generalidad que el radio de la circunferencia es \(R=1\).

Introducción

Consideremos la siguiente representación:

Demostraciones de la fórmula seno, del coseno y de la tangente de la suma y la resta de ángulos. Nivel de Bachillerato. Demostraciones visiales. Geometria plana. Trigonometria. Identidades trigonometricas.

El radio de la circunferencia coincide con la hipotenusa del triángulo: \(R = h\).

El seno, coseno y tangente del ángulo \(\alpha\) se definen como

Demostraciones de la fórmula seno, del coseno y de la tangente de la suma y la resta de ángulos. Nivel de Bachillerato. Demostraciones visiales. Geometria plana. Trigonometria. Identidades trigonometricas.

Por tanto, los lados \(a\) y \(b\) miden

Demostraciones de la fórmula seno, del coseno y de la tangente de la suma y la resta de ángulos. Nivel de Bachillerato. Demostraciones visiales. Geometria plana. Trigonometria. Identidades trigonometricas.

Es decir, los lados son el coseno o el seno multiplicados por la hipotenusa del triángulo con ángulo \(\alpha\).

En las demostraciones utilizaremos estas igualdades con triángulos cuyas hipotenusas no medirán lo mismo.

1. Seno de la suma de ángulos

Demostraciones de la fórmula seno, del coseno y de la tangente de la suma y la resta de ángulos. Nivel de Bachillerato. Demostraciones visiales. Geometria plana. Trigonometria. Identidades trigonometricas.


DEMOSTRACIÓN

Nos apoyaremos en la siguiente representación:

Demostraciones de la fórmula seno, del coseno y de la tangente de la suma y la resta de ángulos. Nivel de Bachillerato. Demostraciones visiales. Geometria plana. Trigonometria. Identidades trigonometricas.

Como el radio de la circunferencia es \(R=1\), entonces

  • El segmento \(a\) es el seno ángulo \(\alpha\).

  • El segmento \(b\) es el seno del ángulo \(\beta\).

  • El segmento \(X\) (segmento discontinuo) es el seno del ángulo \(\alpha + \beta\).

Ahora vamos a calcular el segmento \(X\), es decir, el seno de la suma de los ángulos: \(sin(\alpha + \beta )\).

Trazamos el segmento \(m\) paralelo al segmento \(a\):

Demostraciones de la fórmula seno, del coseno y de la tangente de la suma y la resta de ángulos. Nivel de Bachillerato. Demostraciones visiales. Geometria plana. Trigonometria. Identidades trigonometricas.

El ángulo \( \delta\) que aparece mide \( \delta = 90^\circ -\alpha\). Esto se debe a que los dos otros ángulos del triángulo miden \(\alpha\) y \(90^\circ\) y la suma de los tres ángulos debe ser \(180^\circ \):

$$ \delta = 180^\circ - \alpha - 90^\circ $$

$$ \delta = 90^\circ -\alpha $$

Teniendo en cuenta la introducción, el lado \(m\) del triángulo es

Demostraciones de la fórmula seno, del coseno y de la tangente de la suma y la resta de ángulos. Nivel de Bachillerato. Demostraciones visiales. Geometria plana. Trigonometria. Identidades trigonometricas.

Nota: \(cos(β)\) multiplica al seno porque es la hipotenusa del triángulo.

Prolongamos el segmento \(m\) obteniendo el segmento \(p\) (el segmento \(m\) no cambia):

Demostraciones de la fórmula seno, del coseno y de la tangente de la suma y la resta de ángulos. Nivel de Bachillerato. Demostraciones visiales. Geometria plana. Trigonometria. Identidades trigonometricas.

Observando la figura,

  • El segmento \(X\) mide lo mismo que la suma de los lados \(m\) y \(p\).

  • El nuevo ángulo representado mide \(\alpha\) porque junto con los ángulos \(90^\circ\) y \(90^\circ-\alpha\) debe sumar \(180^\circ \).

  • Teniendo en cuenta la introducción, el lado \(p\) del triangulo superior es

    Demostraciones de la fórmula seno, del coseno y de la tangente de la suma y la resta de ángulos. Nivel de Bachillerato. Demostraciones visiales. Geometria plana. Trigonometria. Identidades trigonometricas.

Por tanto, el segmento \(X\) es

Demostraciones de la fórmula seno, del coseno y de la tangente de la suma y la resta de ángulos. Nivel de Bachillerato. Demostraciones visiales. Geometria plana. Trigonometria. Identidades trigonometricas.

Como queríamos demostrar.

2. Seno de la resta de ángulos

Demostraciones de la fórmula seno, del coseno y de la tangente de la suma y la resta de ángulos. Nivel de Bachillerato. Demostraciones visiales. Geometria plana. Trigonometria. Identidades trigonometricas.

DEMOSTRACIÓN

La demostración de esta fórmula es directa utilizando la fórmula del seno de la suma con los ángulos \(\alpha\) y \(-\beta\) y aplicando

Demostraciones de la fórmula seno, del coseno y de la tangente de la suma y la resta de ángulos. Nivel de Bachillerato. Demostraciones visiales. Geometria plana. Trigonometria. Identidades trigonometricas.

3. Coseno de la suma de ángulos

Demostraciones de la fórmula seno, del coseno y de la tangente de la suma y la resta de ángulos. Nivel de Bachillerato. Demostraciones visiales. Geometria plana. Trigonometria. Identidades trigonometricas.


DEMOSTRACIÓN

Utilizamos la misma figura:

Demostraciones de la fórmula seno, del coseno y de la tangente de la suma y la resta de ángulos. Nivel de Bachillerato. Demostraciones visiales. Geometria plana. Trigonometria. Identidades trigonometricas.

El segmento \(OE\) (segmento que une los puntos \(O\) y \(E\)) puede descomponerse como

Demostraciones de la fórmula seno, del coseno y de la tangente de la suma y la resta de ángulos. Nivel de Bachillerato. Demostraciones visiales. Geometria plana. Trigonometria. Identidades trigonometricas.

Teniendo en cuenta la introducción, los segmentos implicados son

Demostraciones de la fórmula seno, del coseno y de la tangente de la suma y la resta de ángulos. Nivel de Bachillerato. Demostraciones visiales. Geometria plana. Trigonometria. Identidades trigonometricas.

Como el lado \(b\) es \(b = sin(\beta)\),

Demostraciones de la fórmula seno, del coseno y de la tangente de la suma y la resta de ángulos. Nivel de Bachillerato. Demostraciones visiales. Geometria plana. Trigonometria. Identidades trigonometricas.

Por tanto, la igualdad \(OE = OA+AE\) queda como

Demostraciones de la fórmula seno, del coseno y de la tangente de la suma y la resta de ángulos. Nivel de Bachillerato. Demostraciones visiales. Geometria plana. Trigonometria. Identidades trigonometricas.

De donde, despejando,

Demostraciones de la fórmula seno, del coseno y de la tangente de la suma y la resta de ángulos. Nivel de Bachillerato. Demostraciones visiales. Geometria plana. Trigonometria. Identidades trigonometricas.

4. Coseno de la resta de ángulos

Demostraciones de la fórmula seno, del coseno y de la tangente de la suma y la resta de ángulos. Nivel de Bachillerato. Demostraciones visiales. Geometria plana. Trigonometria. Identidades trigonometricas.


DEMOSTRACIÓN

Se demuestra utilizando la fórmula del coseno de la suma:

Demostraciones de la fórmula seno, del coseno y de la tangente de la suma y la resta de ángulos. Nivel de Bachillerato. Demostraciones visiales. Geometria plana. Trigonometria. Identidades trigonometricas.

Y teniendo en cuenta que

Demostraciones de la fórmula seno, del coseno y de la tangente de la suma y la resta de ángulos. Nivel de Bachillerato. Demostraciones visiales. Geometria plana. Trigonometria. Identidades trigonometricas.

5. Tangente de la suma y de la resta

Demostraciones de la fórmula seno, del coseno y de la tangente de la suma y la resta de ángulos. Nivel de Bachillerato. Demostraciones visiales. Geometria plana. Trigonometria. Identidades trigonometricas.


DEMOSTRACIÓN

Para demostrar la fórmula sólo tenemos que aplicar la definición de la tangente (seno dividido coseno).

Hacemos la demostración para la suma:

Demostraciones de la fórmula seno, del coseno y de la tangente de la suma y la resta de ángulos. Nivel de Bachillerato. Demostraciones visiales. Geometria plana. Trigonometria. Identidades trigonometricas.

Dividimos el numerador y el denominador entre el producto \(cos(\alpha )\cdot cos(\beta )\):

Demostraciones de la fórmula seno, del coseno y de la tangente de la suma y la resta de ángulos. Nivel de Bachillerato. Demostraciones visiales. Geometria plana. Trigonometria. Identidades trigonometricas.




Páginas amigas: Problemas y Ecuaciones, Ecuaciones Resueltas.


contacto

ejercicios interactivos de matemáticas


Demostraciones del seno, coseno y tangente de la suma- © - matesfacil.com

Creative Commons License
Matesfacil.com by J. Llopis is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.