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Tabla con los valores del seno, coseno y tangente de los ángulos más usados.
Las identidades trigonómetricas son igualdades entre funciones trigonométricas que se utilizan con frecuencia. Un ejemplo de estas identidades es la identidad fundamental de la trigonometría:
$$ \cos^2(\alpha ) + \sin^2(\alpha ) = 1$$
A continuación demostramos las identidades trigonométricas más importantes: Identidad trigonométrica fundamental; Secante al cuadrado; Cosecante al cuadrado; Seno y coseno del ángulo opuesto; Seno y coseno de un ángulo más/menos π; Seno, coseno y tangente de la suma de ángulos; Seno, coseno y tangente del ángulo doble; Coseno del ángulo medio o ángulo mitad; Seno del ángulo medio o ángulo mitad; Tangente del ángulo medio o ángulo mitad; Suma de cosenos; Resta de cosenos; Suma de senos; Resta de senos; Producto de seno y coseno; Producto de cosenos y Producto de senos.
Usaremos las definiciones del seno y del coseno:
El seno es el cateto opuesto entre la hipotenusa y el coseno es el cateto contiguo entre la hipotenusa:
$$ \sin(\alpha) = \frac{b}{h} $$
$$ \cos(\alpha) = \frac{a}{h} $$
Sumamos los cuadrados del seno y del coseno y aplicamos su definición:
Observad que el triangulo de la imagen es rectángulo, por lo que podemos aplicar el teorema de Pitágoras que nos dice que la suma de los cuadrados de los catetos es el cuadrado de la hipotenusa, esto es,
Por tanto,
Recordamos las definiciones de la tangente y la secante:
Vamos a desarrollar la parte derecha de la igualdad sustituyendo la tangente por su definición y aplicando la identidad trigonométrica fundamental en el paso =*:
Si \(\alpha = 135^\circ\). Por un lado tenemos,
Por otro,
Usaremos las definiciones de la cosecante, la tangente y la cotangente:
Desarrollamos el lado derecho escribiendo la definición de la tangente y aplicando la identidad trigonométrica fundamental:
Observad que tenemos dos triángulos rectángulos iguales: los catetos e hipotenusas miden lo mismo y los ángulos tienen la misma amplitud (β = -α).
Si identificamos el coseno con el cateto contiguo al ángulo (el horizontal) y el seno con el cateto opuesto (el vertical), entonces observando la imagen anterior es fácil ver que
Nota: obsérvese que el seno es no negativo (o sea, positivo ó 0) en los cuadrantes I y II y no positivo (o sea, negativo ó 0) en los cuadrantes III y IV; mientras que el coseno es no negativo en los cuadrantes I y IV y no positivo en los cuadrantes II y III.
Sea \( \alpha = 45^\circ\).
Caso π - α (cuadrantes I y II):
Los ángulos α y β tienen la misma amplitud (α = β). Obsérvese también que también coinciden las longitudes de los catetos b1 y b2 y la de los catetos a1 y a2.
Observando la imagen anterior es fácil ver que
Caso π + α (cuadrantes I y III):
Observando la imagen anterior es fácil ver que
Podemos reescribir las cuatro identidades utilizando los signos más menos y menos más:
Sumamos y restamos \(\pi\):
Seno de la suma:
Seno de la resta:
Como estamos trabajando con grados, en lugar de \(\pi\) debemos sumar/restar 180 grados.
Calculamos el coseno de la suma:
Demostramos estas fórmulas en la página seno, coseno y tangente de la suma y la resta de ángulos.
Estas demostraciones son fáciles teniendo en cuenta las identidades de la suma. Sólo hay que considerar b = a en el seno y coseno de la suma:
Veamos ahora el coseno, seno y tangente del ángulo mitad:
Aplicaremos la fórmula del coseno de la suma y la identidad trigonométrica fundamental, es decir,
Podemos escribir \(\cos(\alpha )\) como el coseno de la suma de los ángulos \(\alpha /2\) y \(\alpha /2\):
Nota: en la penúltima igualdad se ha sustituido el seno al cuadrado a partir de la identidad trigonométrica fundamental:
\( \sin^2(\alpha /2) = 1 - \cos^2(\alpha /2)\)
Es decir, tenemos la igualdad:
Aislamos la parte que nos interesa:
Finalmente, hacemos la raíz cuadrada:
Nota: observad la importancia del signo ± al hacer la raíz cuadrada. El signo a escoger dependerá del ángulo en cuestión. Por ejemplo, si \(\alpha = 315^\circ\), habrá que escoger el signo negativo ya que el ángulo \(\alpha /2 = 157.5^\circ\) se encuentra en el cuadrante II y, por tanto, su coseno es negativo.
En esta demostración vamos a utilizar una igualdad que hemos escrito en la demostración anterior (obtenida de la tercera línea del desarrollo del coseno de α):
Despejamos el seno al cuadrado y sustituimos el coseno al cuadrado de α/2 por el radicando de la fórmula que hemos demostrado previamente:
Finalmente, hacemos la raíz cuadrada a ambos lados de la igualdad:
Nota: el signo de la fórmula dependerá del ángulo, como ya hemos comentado en la demotración anterior.
Esta demostración es muy sencilla ya que sólo tenemos que aplicar las fórmulas del seno y del coseno del ángulo medio a la definición de la tangente, que es el cociente del seno y coseno:
Calculamos la tangente del ángulo medio:
Veamos ahora sumas y restas de funciones trigonométricas:
Elevamos al cuadrado el lado derecho de la igualdad y operamos aplicando las fórmulas del ángulo medio y del coseno de la suma y de la resta:
Llamamos a la suma anterior Suma (*).
Podemos reescribir los sumandos segundo y tercero de Suma (*) aplicando las fórmulas del coseno de la suma y de la resta:
Al sumarlos tenemos:
Y al multiplicarlos:
Por tanto, la suma Suma (*) es
Recordad que podemos escribir
Con lo que el último sumando de Suma (*) es
De este modo tenemos que Suma (*) es
Nota: en el último paso hemos aplicado la fórmula del cuadrado de la suma en sentido contrario: \( (a+b)^2 = a^2 + b^2 + ab\).
Luego tenemos
Finalmente, hacemos la raíz cuadrada y obtenemos la identidad buscada:
No demostramos esta identidad puesto que es similar a la resta de senos (demostrada más adelante).
No demostramos esta identidad puesto que es similar a la suma de cosenos (demostrada anteriormente).
Teniendo en cuenta que el seno del ángulo opuesto es
Entonces, aplicando la suma de los senos, tenemos
Veamos ahora productos de funciones trigonométricas escritos como sumas y restas:
Recordamos que el coseno y el seno de la suma y de la resta son
La suma de los senos de la suma y de la resta es:
Por tanto,
Procedemos del mismo modo que en la demostración anterior pero con cosenos:
Por tanto,
El procedimiento es análogo a los anteriores:
Por tanto,
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