Identidades Trigonométricas: Demostraciones

Contenido de esta página:

Definiciones de las funciones trigonométricas: coseno, seno, tangente, secante, cosecante y cotangente.
Tabla de valores del seno, coseno y tangente de los ángulos usados más frecuentemente.
Demostraciones de las identidades trigonométricas más importantes: identidad fundamental, secante al cuadrado, cosecante al cuadrado, seno, coseno y tangente de la suma de ángulos, del ángulo doble, del ángulo mitad, etc.

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1. Definiciones de las funciones trigonométricas

$$ sin (\alpha ), cos (\alpha ) $$

$$ tg (\alpha ), cosec (\alpha ) $$

$$ sec (\alpha ), cotg (\alpha ) $$

Ver definiciones

Consideremos la circunferencia de radio $h$ de la siguiente imagen:

circunferencia con triángulo

Definimos el coseno del ángulo $\alpha $ como:

$$ cos(\alpha ) = \frac{a}{h} $$

Es decir, el coseno es el cociente del cateto contiguo al ángulo $\alpha $ del triángulo y la hipotenusa $h $.
Definimos el seno del ángulo $\alpha $ como:

$$ sin(\alpha ) = \frac{b}{h} $$

Es decir, el seno es el cociente del cateto opuesto al ángulo $\alpha $ del triángulo y la hipotenusa $h $.

También podemos escribirlo como $sin(\alpha )$.
Definimos la tangente del ángulo $\alpha $ como:

$$ tg(\alpha ) = \frac{sin(\alpha )}{cos(\alpha )} $$

Es decir, la tangente es el cociente del seno y del coseno.

También podemos escribirla como $tan(\alpha )$.

Observad que tanto el seno como el coseno son funciones continuas, mientras que la tangente no lo es. Los puntos donde la tangente no es continua son los ángulos para los que el coseno es 0 (porque el coseno está en el denominador de la definición de la tangente).
Definimos la cosecante del ángulo $\alpha $ como:

$$ cosec(\alpha ) = \frac{1}{sin(\alpha )} $$

Es decir, la cosecante es el inverso multiplicativo del seno (no es lo mismo que la inversa del seno, que es $arcsin $).

También podemos escribirla como $csc(\alpha )$.
Definimos la secante del ángulo $\alpha $ como:

$$ sec(\alpha ) = \frac{1}{cos(\alpha )} $$

Es decir, la secante es el inverso multiplicativo del coseno (no es lo mismo que la inversa del coseno, que es $arcos $).
Definimos la cotangente del ángulo $\alpha $ como:

$$ cotg(\alpha ) = \frac{1}{tg(\alpha )} $$

Es decir, la cotangente es el inverso multiplicativo de la tangente (no es lo mismo que la inversa de la tangente, que es $arctan $).

También podemos escribirla como $cotan(\alpha )$ y $cot(\alpha )$.

2. Tabla de valores del seno, coseno y tangente

Tabla con los valores del seno, coseno y tangente de los ángulos más usados.

Ver tabla

$$ \alpha $$	Función
Grad	Rad	$$ sin(\alpha )$$	$$ cos(\alpha )$$	$$ tg(\alpha )$$
$$0 ^{\circ}$$	$$0$$	$$0$$	$$1$$	$$0$$
$$30^{\circ}$$	$$\frac{\pi}{6}$$	$$\frac{1}{2}$$	$$\frac{\sqrt{3}}{2}$$	$$\frac{\sqrt{3}}{3}$$
$$45^{\circ}$$	$$\frac{\pi}{4}$$	$$\frac{\sqrt{2}}{2}$$	$$\frac{\sqrt{2}}{2}$$	$$1$$
$$60^{\circ}$$	$$\frac{\pi}{3}$$	$$\frac{\sqrt{3}}{2}$$	$$\frac{1}{2}$$	$$\sqrt{3}$$
$$90^{\circ}$$	$$\frac{\pi}{2}$$	$$1$$	$$0$$	$$+ \infty$$
$$135^{\circ}$$	$$\frac{3\pi}{4}$$	$$\frac{\sqrt{2}}{2}$$	$$-\frac{\sqrt{2}}{2}$$	$$-1$$
$$180^{\circ}$$	$$\pi $$	$$0$$	$$-1$$	$$0$$
$$225^{\circ}$$	$$\frac{5\pi}{4}$$	$$-\frac{\sqrt{2}}{2}$$	$$-\frac{\sqrt{2}}{2}$$	$$1$$
$$270^{\circ}$$	$$\frac{3\pi}{2}$$	$$-1$$	$$0$$	$$-\infty$$
$$315^{\circ}$$	$$\frac{7\pi}{4}$$	$$-\frac{\sqrt{2}}{2}$$	$$\frac{\sqrt{2}}{2}$$	$$-1$$

3. Demostraciones de identidades trigonométricas

Las identidades trigonómetricas son igualdades entre funciones trigonométricas que se utilizan con frecuencia. Un ejemplo de estas identidades es la identidad fundamental de la trigonometría:

$$ cos^2(\alpha ) + sin^2(\alpha ) = 1$$

En este apartado demostramos las identidades trigonométricas más importantes.

Identidad trigonométrica fundamental

$$ sin^2 (a) + cos^2 (a) = 1 $$

Ver demostración

Secante al cuadrado

$$ sec^2 (\alpha ) = 1+tg^2 (\alpha ) $$

Ver demostración

Cosecante al cuadrado

$$ cosec^2 (\alpha ) =1 + cotg^2 (\alpha ) $$

Ver demostración

Ángulos opuestos

$$ sin (-\alpha ) = - sin(\alpha ) $$

$$ cos (- \alpha ) = cos (\alpha ) $$

Ver demostración

Ángulos más/menos π

$$ sin ( \pi \pm \alpha ) = \mp sin(\alpha ) $$

$$ cos ( \pi \pm \alpha ) = - cos(\alpha ) $$

Ver demostración

Suma de Ángulos

Definiciones del coseno, seno, tangente, secante, cosecante y cotangente; demostración de las identidades trigonométricas (ángulo doble, medio, mitad, suma, resta, producto, cuadrado, identidad fundamental, etc.) y ejemplos.