Las identidades trigonómetricas son igualdades entre funciones trigonométricas que se utilizan con frecuencia. Un ejemplo de estas identidades es la identidad fundamental de la trigonometría:
$$ cos^2(\alpha ) + sin^2(\alpha ) = 1$$
En este apartado demostramos las identidades trigonométricas más importantes.
Identidad trigonométrica fundamental
$$ sin^2 (a) + cos^2 (a) = 1 $$
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Sumamos los cuadrados del seno y del
coseno y aplicamos su definición:


Notemos que el triangulo de la imagen es rectángulo, por lo que
podemos aplicar el teorema de Pitágoras que nos dice que

Por tanto,

Secante al cuadrado
$$ sec^2 (\alpha ) = 1+tg^2 (\alpha ) $$
Ver demostración
Recordamos las definiciones de la tangente y la secante:

Vamos a desarrollar la parte derecha de la igualdad:

En la igualdad señalada como =* hemos usado la
Identidad Trigonométrica Fundamental, es decir,

Cosecante al cuadrado
$$ cosec^2 (\alpha ) =1 + cotg^2 (\alpha ) $$
Ver demostración
Usaremos las definiciones de la cosecante, la tangente y la cotangente:

Desarrollamos el lado derecho:

En la igualdad señalada como =* hemos usado la
Identidad Trigonométrica Fundamental, es decir,

Ángulos opuestos
$$ sin (-\alpha ) = - sin(\alpha ) $$
$$ cos (- \alpha ) = cos (\alpha ) $$
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Observando la imagen anterior es fácil ver que

Nota: en la imagen hemos llamado a los ángulos α y
β, pero son el mismo ángulo de signo opuesto, es decir
$$ \beta = -\alpha $$
Ángulos más/menos π
$$ sin ( \pi \pm \alpha ) = \mp sin(\alpha ) $$
$$ cos ( \pi \pm \alpha ) = - cos(\alpha ) $$
Ver demostración

Observando la imagen anterior es fácil ver que


Observando la imagen anterior es fácil ver que

Resumimos las cuatro identidades como

Nota: en las imágenes hemos llamado a los ángulos α y
β, pero son el mismo ángulo, es decir
$$ \beta = \alpha $$
Ángulo Doble
$$ sin(2a) = 2sin(a)cos(a) $$
$$ cos(2a) = cos^2(a) - sin^2 (a) $$
$$ tg(2a) = \frac{2tg(a)}{1- tg^2(a)} $$
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Estas demostraciones son fáciles
teniendo en cuenta las identidades de la suma.
Sólo hay que considerar b = a en

Veamos ahora el coseno, seno y tangente del ángulo mitad:
Coseno del Ángulo Medio o Ángulo Mitad
$$ cos \left( \frac{\alpha }{2} \right) = \pm \sqrt{ \frac{1 + cos(\alpha )}{2}} $$
Ver demostración
Aplicaremos la fórmula del coseno de la suma y la identidad trigonométrica fundamental, es decir,


Podemos escribir cos(α) como

Es decir, tenemos la igualdad:

Aislamos la parte que nos interesa:

Finalmente, hacemos la raíz cuadrada:

Seno del Ángulo Medio o Ángulo Mitad
$$ sin \left( \frac{\alpha }{2} \right) = \pm \sqrt{ \frac{1 - cos(\alpha )}{2}} $$
Ver demostración
En esta demostración vamos a utilizar una igualdad que hemos escrito en la demostración
anterior:

Despejamos el seno al cuadrado:

Finalmente, hacemos la raíz cuadrada a ambos lados de la igualdad:

Tangente del Ángulo Medio o Ángulo Mitad
$$ tg \left( \frac{\alpha }{2} \right) = \pm \sqrt{ \frac{1 - cos(\alpha )}{1 + cos(\alpha )}} $$
Ver demostración
Esta demostración es muy sencilla ya que sólo tenemos que aplicar las fórmulas del seno y del
coseno del ángulo medio a la definición de la tangente, que es:

Por tanto,

Veamos ahora sumas y restas de funciones trigonométricas:
Suma de Cosenos

Ver demostración
Desarrollamos la parte de la derecha (al cuadrado) sabiendo las fórmulas del ángulo medio y del coseno de la suma y de la resta:

Llamamos a la suma anterior Suma (*).
Calculamos cada sumando:

Al sumarlos tenemos:

Y al multiplicarlos:

Por tanto, la suma Suma (*) es

En esta expresión usamos que

Con lo que

De este modo tenemos que Suma (*) es

Luego

Finalmente, hacemos la raíz cuadrada:

Resta de Cosenos

No demostramos esta identidad puesto que es similar a la resta de senos (demostrada más adelante).
Suma de Senos

No demostramos esta identidad puesto que es similar a la suma de cosenos (demostrada anteriormente).
Resta de Senos

Ver demostración
Teniendo en cuenta que el seno del ángulo opuesto es

Entonces

Veamos ahora productos de funciones trigonométricas escritos como sumas y restas:
Producto de seno y coseno

Ver demostración
Recordamos que el coseno y el seno de la suma y de la resta son

La suma de los senos de la suma y de la resta es:

Por tanto,

Producto de cosenos

Ver demostración
Procedemos del mismo modo que en la demostración anterior pero con cosenos:

Por tanto,

Producto de senos

Ver demostración
El procedimiento es análogo a los anteriores:

Por tanto,

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