IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS: DEMOSTRACIONES Y EJEMPLOS: TRIGONOMETRIA: SECUNDARIA
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Identidades Trigonométricas: Demostraciones

Contenido de esta página:

  1. Definiciones de las funciones trigonométricas: coseno, seno, tangente, secante, cosecante y cotangente.

  2. Tabla de valores del seno, coseno y tangente de los ángulos usados más frecuentemente.

  3. Demostraciones de las identidades trigonométricas más importantes: identidad fundamental, secante al cuadrado, cosecante al cuadrado, seno, coseno y tangente de la suma de ángulos, del ángulo doble, del ángulo mitad, etc.

Enlaces:

1. Definiciones de las funciones trigonométricas

$$ sin (\alpha ), cos (\alpha ) $$

$$ tg (\alpha ), cosec (\alpha ) $$

$$ sec (\alpha ), cotg (\alpha ) $$

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2. Tabla de valores del seno, coseno y tangente

Tabla con los valores del seno, coseno y tangente de los ángulos más usados.

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3. Demostraciones de identidades trigonométricas

Las identidades trigonómetricas son igualdades entre funciones trigonométricas que se utilizan con frecuencia. Un ejemplo de estas identidades es la identidad fundamental de la trigonometría:

$$ cos^2(\alpha ) + sin^2(\alpha ) = 1$$

En este apartado demostramos las identidades trigonométricas más importantes.


Identidad trigonométrica fundamental

$$ sin^2 (a) + cos^2 (a) = 1 $$

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Secante al cuadrado

$$ sec^2 (\alpha ) = 1+tg^2 (\alpha ) $$

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Cosecante al cuadrado

$$ cosec^2 (\alpha ) =1 + cotg^2 (\alpha ) $$

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Ángulos opuestos

$$ sin (-\alpha ) = - sin(\alpha ) $$

$$ cos (- \alpha ) = cos (\alpha ) $$

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Ángulos más/menos π

$$ sin ( \pi \pm \alpha ) = \mp sin(\alpha ) $$

$$ cos ( \pi \pm \alpha ) = - cos(\alpha ) $$

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Suma de Ángulos

Definiciones del coseno, seno, tangente, secante, cosecante y cotangente; demostración de las identidades trigonométricas (ángulo doble, medio, mitad, suma, resta, producto, cuadrado, identidad fundamental, etc.) y ejemplos.

Demostramos estas fórmulas en seno, coseno y tangente de la suma y la resta de ángulos.


Ángulo Doble

$$ sin(2a) = 2sin(a)cos(a) $$

$$ cos(2a) = cos^2(a) - sin^2 (a) $$

$$ tg(2a) = \frac{2tg(a)}{1- tg^2(a)} $$

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Veamos ahora el coseno, seno y tangente del ángulo mitad:

Coseno del Ángulo Medio o Ángulo Mitad

$$ cos \left( \frac{\alpha }{2} \right) = \pm \sqrt{ \frac{1 + cos(\alpha )}{2}} $$

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Seno del Ángulo Medio o Ángulo Mitad

$$ sin \left( \frac{\alpha }{2} \right) = \pm \sqrt{ \frac{1 - cos(\alpha )}{2}} $$

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Tangente del Ángulo Medio o Ángulo Mitad

$$ tg \left( \frac{\alpha }{2} \right) = \pm \sqrt{ \frac{1 - cos(\alpha )}{1 + cos(\alpha )}} $$

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Veamos ahora sumas y restas de funciones trigonométricas:

Suma de Cosenos

Definiciones del coseno, seno, tangente, secante, cosecante y cotangente; demostración de las identidades trigonométricas (ángulo doble, medio, mitad, suma, resta, producto, cuadrado, identidad fundamental, etc.) y ejemplos.

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Resta de Cosenos

Definiciones del coseno, seno, tangente, secante, cosecante y cotangente; demostración de las identidades trigonométricas (ángulo doble, medio, mitad, suma, resta, producto, cuadrado, identidad fundamental, etc.) y ejemplos.

No demostramos esta identidad puesto que es similar a la resta de senos (demostrada más adelante).


Suma de Senos

Definiciones del coseno, seno, tangente, secante, cosecante y cotangente; demostración de las identidades trigonométricas (ángulo doble, medio, mitad, suma, resta, producto, cuadrado, identidad fundamental, etc.) y ejemplos.

No demostramos esta identidad puesto que es similar a la suma de cosenos (demostrada anteriormente).


Resta de Senos

Definiciones del coseno, seno, tangente, secante, cosecante y cotangente; demostración de las identidades trigonométricas (ángulo doble, medio, mitad, suma, resta, producto, cuadrado, identidad fundamental, etc.) y ejemplos.

Ver demostración

Veamos ahora productos de funciones trigonométricas escritos como sumas y restas:

Producto de seno y coseno

Definiciones del coseno, seno, tangente, secante, cosecante y cotangente; demostración de las identidades trigonométricas (ángulo doble, medio, mitad, suma, resta, producto, cuadrado, identidad fundamental, etc.) y ejemplos.

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Producto de cosenos

Definiciones del coseno, seno, tangente, secante, cosecante y cotangente; demostración de las identidades trigonométricas (ángulo doble, medio, mitad, suma, resta, producto, cuadrado, identidad fundamental, etc.) y ejemplos.

Ver demostración

Producto de senos

Definiciones del coseno, seno, tangente, secante, cosecante y cotangente; demostración de las identidades trigonométricas (ángulo doble, medio, mitad, suma, resta, producto, cuadrado, identidad fundamental, etc.) y ejemplos.

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