Identidades Trigonométricas: Demostraciones

Contenido de esta página:

Definiciones de las funciones trigonométricas: coseno, seno, tangente, secante, cosecante y cotangente.
Tabla de valores del seno, coseno y tangente de los ángulos usados más frecuentemente.
Demostraciones de las identidades trigonométricas más importantes: identidad fundamental, secante al cuadrado, cosecante al cuadrado, seno, coseno y tangente de la suma de ángulos, del ángulo doble, del ángulo mitad, etc.

Páginas relacionadas:

Páginas de interés:

1. Definiciones de las funciones trigonométricas

$$ \sin (\alpha ), \, \cos (\alpha ) $$

$$ \text{tg} (\alpha ), \, \text{cosec} (\alpha ) $$

$$ \sec (\alpha ), \, \text{cotg} (\alpha ) $$

Ver definiciones

Consideremos la circunferencia de radio $h$ de la siguiente imagen:

circunferencia con triángulo

Definimos el coseno del ángulo $\alpha $ como:

$$ \cos(\alpha ) = \frac{a}{h} $$

Es decir, el coseno es el cociente del cateto contiguo al ángulo $\alpha $ del triángulo y la hipotenusa $h $.
Definimos el seno del ángulo $\alpha $ como:

$$ \sin(\alpha ) = \frac{b}{h} $$

Es decir, el seno es el cociente del cateto opuesto al ángulo $\alpha $ del triángulo y la hipotenusa $h $.

También podemos escribirlo como $\text{sen}(\alpha )$.
Definimos la tangente del ángulo $\alpha $ como:

$$ \text{tg}(\alpha ) = \frac{\sin(\alpha )}{\cos(\alpha )} $$

Es decir, la tangente es el cociente del seno y del coseno (del mismo ángulo).

También podemos escribirla como $\tan(\alpha )$.

Observad que tanto el seno como el coseno son funciones continuas, mientras que la tangente no lo es. Los puntos donde la tangente no es continua son los ángulos para los que el coseno es 0 (porque el coseno está en el denominador de la definición de la tangente).
Definimos la cosecante del ángulo $\alpha $ como:

$$ \text{cosec}(\alpha ) = \frac{1}{\sin(\alpha )} $$

Es decir, la cosecante es el inverso multiplicativo del seno (no es lo mismo que la inversa del seno, que es $\arcsin $).

También podemos escribirla como $\csc(\alpha )$.
Definimos la secante del ángulo $\alpha $ como:

$$ sec(\alpha ) = \frac{1}{\cos(\alpha )} $$

Es decir, la secante es el inverso multiplicativo del coseno (no es lo mismo que la inversa del coseno, que es $\arccos $).
Definimos la cotangente del ángulo $\alpha $ como:

$$ cotg(\alpha ) = \frac{1}{tg(\alpha )} $$

Es decir, la cotangente es el inverso multiplicativo de la tangente (no es lo mismo que la inversa de la tangente, que es $\arctan $).

También podemos escribirla como $\text{cotan}(\alpha )$ y $\text{cot}(\alpha )$.

2. Tabla de valores del seno, coseno y tangente

Tabla con los valores del seno, coseno y tangente de los ángulos más usados.

Ver tabla

$$ \alpha $$	Función
Grad	Rad	$$ sin(\alpha )$$	$$ cos(\alpha )$$	$$ tg(\alpha )$$
$$0 ^{\circ}$$	$$0$$	$$0$$	$$1$$	$$0$$
$$30^{\circ}$$	$$\frac{\pi}{6}$$	$$\frac{1}{2}$$	$$\frac{\sqrt{3}}{2}$$	$$\frac{\sqrt{3}}{3}$$
$$45^{\circ}$$	$$\frac{\pi}{4}$$	$$\frac{\sqrt{2}}{2}$$	$$\frac{\sqrt{2}}{2}$$	$$1$$
$$60^{\circ}$$	$$\frac{\pi}{3}$$	$$\frac{\sqrt{3}}{2}$$	$$\frac{1}{2}$$	$$\sqrt{3}$$
$$90^{\circ}$$	$$\frac{\pi}{2}$$	$$1$$	$$0$$	$$+ \infty$$
$$135^{\circ}$$	$$\frac{3\pi}{4}$$	$$\frac{\sqrt{2}}{2}$$	$$-\frac{\sqrt{2}}{2}$$	$$-1$$
$$180^{\circ}$$	$$\pi $$	$$0$$	$$-1$$	$$0$$
$$225^{\circ}$$	$$\frac{5\pi}{4}$$	$$-\frac{\sqrt{2}}{2}$$	$$-\frac{\sqrt{2}}{2}$$	$$1$$
$$270^{\circ}$$	$$\frac{3\pi}{2}$$	$$-1$$	$$0$$	$$-\infty$$
$$315^{\circ}$$	$$\frac{7\pi}{4}$$	$$-\frac{\sqrt{2}}{2}$$	$$\frac{\sqrt{2}}{2}$$	$$-1$$

3. Demostraciones de identidades trigonométricas

Las identidades trigonómetricas son igualdades entre funciones trigonométricas que se utilizan con frecuencia. Un ejemplo de estas identidades es la identidad fundamental de la trigonometría:

$$ \cos^2(\alpha ) + \sin^2(\alpha ) = 1$$

A continuación demostramos las identidades trigonométricas más importantes: Identidad trigonométrica fundamental; Secante al cuadrado; Cosecante al cuadrado; Seno y coseno del ángulo opuesto; Seno y coseno de un ángulo más/menos π; Seno, coseno y tangente de la suma de ángulos; Seno, coseno y tangente del ángulo doble; Coseno del ángulo medio o ángulo mitad; Seno del ángulo medio o ángulo mitad; Tangente del ángulo medio o ángulo mitad; Suma de cosenos; Resta de cosenos; Suma de senos; Resta de senos; Producto de seno y coseno; Producto de cosenos y Producto de senos.

1. Identidad trigonométrica fundamental

$$ \sin^2 (a) + \cos^2 (a) = 1 $$

Demostración

Usaremos las definiciones del seno y del coseno:

circunferencia con triángulo

El seno es el cateto opuesto entre la hipotenusa y el coseno es el cateto contiguo entre la hipotenusa:

$$ \sin(\alpha) = \frac{b}{h} $$

$$ \cos(\alpha) = \frac{a}{h} $$

Sumamos los cuadrados del seno y del coseno y aplicamos su definición:

Definiciones del coseno, seno, tangente, secante, cosecante y cotangente; demostración de las identidades trigonométricas (ángulo doble, medio, mitad, suma, resta, producto, cuadrado, identidad fundamental, etc.) y ejemplos.

Observad que el triangulo de la imagen es rectángulo, por lo que podemos aplicar el teorema de Pitágoras que nos dice que la suma de los cuadrados de los catetos es el cuadrado de la hipotenusa, esto es,

Definiciones del coseno, seno, tangente, secante, cosecante y cotangente; demostración de las identidades trigonométricas (ángulo doble, medio, mitad, suma, resta, producto, cuadrado, identidad fundamental, etc.) y ejemplos.

Por tanto,

Definiciones del coseno, seno, tangente, secante, cosecante y cotangente; demostración de las identidades trigonométricas (ángulo doble, medio, mitad, suma, resta, producto, cuadrado, identidad fundamental, etc.) y ejemplos.

Ejemplos

Si $\alpha = 3\pi /4 \text{ rad}$ (radianes),

Definiciones del coseno, seno, tangente, secante, cosecante y cotangente; demostración de las identidades trigonométricas (ángulo doble, medio, mitad, suma, resta, producto, cuadrado, identidad fundamental, etc.) y ejemplos.

Si $\alpha = 45^\circ $ (grados),

Definiciones del coseno, seno, tangente, secante, cosecante y cotangente; demostración de las identidades trigonométricas (ángulo doble, medio, mitad, suma, resta, producto, cuadrado, identidad fundamental, etc.) y ejemplos.

2. Secante al cuadrado

$$ \sec^2 (\alpha ) = 1+\text{tg}^2 (\alpha ) $$

Demostración

Recordamos las definiciones de la tangente y la secante:

Definiciones del coseno, seno, tangente, secante, cosecante y cotangente; demostración de las identidades trigonométricas (ángulo doble, medio, mitad, suma, resta, producto, cuadrado, identidad fundamental, etc.) y ejemplos.

Vamos a desarrollar la parte derecha de la igualdad sustituyendo la tangente por su definición y aplicando la identidad trigonométrica fundamental en el paso =*:

Definiciones del coseno, seno, tangente, secante, cosecante y cotangente; demostración de las identidades trigonométricas (ángulo doble, medio, mitad, suma, resta, producto, cuadrado, identidad fundamental, etc.) y ejemplos.

Ejemplo

Si $\alpha = 135^\circ$. Por un lado tenemos,

Definiciones del coseno, seno, tangente, secante, cosecante y cotangente; demostración de las identidades trigonométricas (ángulo doble, medio, mitad, suma, resta, producto, cuadrado, identidad fundamental, etc.) y ejemplos.

Por otro,

Definiciones del coseno, seno, tangente, secante, cosecante y cotangente; demostración de las identidades trigonométricas (ángulo doble, medio, mitad, suma, resta, producto, cuadrado, identidad fundamental, etc.) y ejemplos.

3. Cosecante al cuadrado

$$ \text{cosec}^2 (\alpha ) =1 + \text{cotg}^2 (\alpha ) $$

Demostración

Usaremos las definiciones de la cosecante, la tangente y la cotangente:

Definiciones del coseno, seno, tangente, secante, cosecante y cotangente; demostración de las identidades trigonométricas (ángulo doble, medio, mitad, suma, resta, producto, cuadrado, identidad fundamental, etc.) y ejemplos.

Desarrollamos el lado derecho escribiendo la definición de la tangente y aplicando la identidad trigonométrica fundamental:

Definiciones del coseno, seno, tangente, secante, cosecante y cotangente; demostración de las identidades trigonométricas (ángulo doble, medio, mitad, suma, resta, producto, cuadrado, identidad fundamental, etc.) y ejemplos.

4. Ángulos opuestos

$$ \sin (-\alpha ) = - \sin(\alpha ) $$

$$ \cos (- \alpha ) = \cos (\alpha ) $$

Demostración

Definiciones del coseno, seno, tangente, secante, cosecante y cotangente; demostración de las identidades trigonométricas (ángulo doble, medio, mitad, suma, resta, producto, cuadrado, identidad fundamental, etc.) y ejemplos.

Observad que tenemos dos triángulos rectángulos iguales: los catetos e hipotenusas miden lo mismo y los ángulos tienen la misma amplitud (β = -α).

Si identificamos el coseno con el cateto contiguo al ángulo (el horizontal) y el seno con el cateto opuesto (el vertical), entonces observando la imagen anterior es fácil ver que

Definiciones del coseno, seno, tangente, secante, cosecante y cotangente; demostración de las identidades trigonométricas (ángulo doble, medio, mitad, suma, resta, producto, cuadrado, identidad fundamental, etc.) y ejemplos.

Nota: obsérvese que el seno es no negativo (o sea, positivo ó 0) en los cuadrantes I y II y no positivo (o sea, negativo ó 0) en los cuadrantes III y IV; mientras que el coseno es no negativo en los cuadrantes I y IV y no positivo en los cuadrantes II y III.

Ejemplo

Sea $ \alpha = 45^\circ$.

El ángulo $\alpha$ está en el cuadrante I, por lo que su coseno es positivo; el ángulo $-\alpha$ se encuentra en el cuadrante IV, por lo que su coseno es también positivo:

Definiciones del coseno, seno, tangente, secante, cosecante y cotangente; demostración de las identidades trigonométricas (ángulo doble, medio, mitad, suma, resta, producto, cuadrado, identidad fundamental, etc.) y ejemplos.

El seno es no negativo en el cuadrante I y no positivo en el cuadrante IV:

Definiciones del coseno, seno, tangente, secante, cosecante y cotangente; demostración de las identidades trigonométricas (ángulo doble, medio, mitad, suma, resta, producto, cuadrado, identidad fundamental, etc.) y ejemplos.

5. Ángulos más/menos π

$$ \sin ( \pi \pm \alpha ) = \mp \sin(\alpha ) $$

$$ \cos ( \pi \pm \alpha ) = - \cos(\alpha ) $$

Demostración

Caso π - α (cuadrantes I y II):

Definiciones del coseno, seno, tangente, secante, cosecante y cotangente; demostración de las identidades trigonométricas (ángulo doble, medio, mitad, suma, resta, producto, cuadrado, identidad fundamental, etc.) y ejemplos.

Los ángulos α y β tienen la misma amplitud (α = β). Obsérvese también que también coinciden las longitudes de los catetos b₁ y b₂ y la de los catetos a₁ y a₂.

Observando la imagen anterior es fácil ver que

Definiciones del coseno, seno, tangente, secante, cosecante y cotangente; demostración de las identidades trigonométricas (ángulo doble, medio, mitad, suma, resta, producto, cuadrado, identidad fundamental, etc.) y ejemplos.

Caso π + α (cuadrantes I y III):

Definiciones del coseno, seno, tangente, secante, cosecante y cotangente; demostración de las identidades trigonométricas (ángulo doble, medio, mitad, suma, resta, producto, cuadrado, identidad fundamental, etc.) y ejemplos.

Observando la imagen anterior es fácil ver que

Definiciones del coseno, seno, tangente, secante, cosecante y cotangente; demostración de las identidades trigonométricas (ángulo doble, medio, mitad, suma, resta, producto, cuadrado, identidad fundamental, etc.) y ejemplos.

Podemos reescribir las cuatro identidades utilizando los signos más menos y menos más:

Definiciones del coseno, seno, tangente, secante, cosecante y cotangente; demostración de las identidades trigonométricas (ángulo doble, medio, mitad, suma, resta, producto, cuadrado, identidad fundamental, etc.) y ejemplos.

Ejemplos

Sea $\alpha = \pi /4\text{ rad}$ ($\alpha = 45^\circ $), su seno es $\sin (\alpha ) = \sqrt{2}/2$.

Sumamos y restamos $\pi$:

Definiciones del coseno, seno, tangente, secante, cosecante y cotangente; demostración de las identidades trigonométricas (ángulo doble, medio, mitad, suma, resta, producto, cuadrado, identidad fundamental, etc.) y ejemplos.

Seno de la suma:

Definiciones del coseno, seno, tangente, secante, cosecante y cotangente; demostración de las identidades trigonométricas (ángulo doble, medio, mitad, suma, resta, producto, cuadrado, identidad fundamental, etc.) y ejemplos.

Seno de la resta:

Definiciones del coseno, seno, tangente, secante, cosecante y cotangente; demostración de las identidades trigonométricas (ángulo doble, medio, mitad, suma, resta, producto, cuadrado, identidad fundamental, etc.) y ejemplos.

Sea ahora $\alpha = 30^\circ$, su coseno es $\cos (\alpha ) = \sqrt{3}/2$.

Como estamos trabajando con grados, en lugar de $\pi$ debemos sumar/restar 180 grados.

Calculamos el coseno de la suma:

Definiciones del coseno, seno, tangente, secante, cosecante y cotangente; demostración de las identidades trigonométricas (ángulo doble, medio, mitad, suma, resta, producto, cuadrado, identidad fundamental, etc.) y ejemplos.

6.Suma de Ángulos

Definiciones del coseno, seno, tangente, secante, cosecante y cotangente; demostración de las identidades trigonométricas (ángulo doble, medio, mitad, suma, resta, producto, cuadrado, identidad fundamental, etc.) y ejemplos.

Demostramos estas fórmulas en la página seno, coseno y tangente de la suma y la resta de ángulos.

7. Ángulo Doble

$$ \sin(2a) = 2\sin(a)\cos(a) $$

$$ \cos(2a) = \cos^2(a) - \sin^2 (a) $$

$$ \text{tg}(2a) = \frac{2\text{tg}(a)}{1- \text{tg}^2(a)} $$

Demostración

Estas demostraciones son fáciles teniendo en cuenta las identidades de la suma. Sólo hay que considerar b = a en el seno y coseno de la suma:

Definiciones del coseno, seno, tangente, secante, cosecante y cotangente; demostración de las identidades trigonométricas (ángulo doble, medio, mitad, suma, resta, producto, cuadrado, identidad fundamental, etc.) y ejemplos.

Veamos ahora el coseno, seno y tangente del ángulo mitad:

8. Coseno del Ángulo Medio o Ángulo Mitad

$$ \cos \left( \frac{\alpha }{2} \right) = \pm \sqrt{ \frac{1 + \cos(\alpha )}{2}} $$

Demostración

Aplicaremos la fórmula del coseno de la suma y la identidad trigonométrica fundamental, es decir,

Definiciones del coseno, seno, tangente, secante, cosecante y cotangente; demostración de las identidades trigonométricas (ángulo doble, medio, mitad, suma, resta, producto, cuadrado, identidad fundamental, etc.) y ejemplos.

Podemos escribir $\cos(\alpha )$ como el coseno de la suma de los ángulos $\alpha /2$ y $\alpha /2$:

Definiciones del coseno, seno, tangente, secante, cosecante y cotangente; demostración de las identidades trigonométricas (ángulo doble, medio, mitad, suma, resta, producto, cuadrado, identidad fundamental, etc.) y ejemplos.

Nota: en la penúltima igualdad se ha sustituido el seno al cuadrado a partir de la identidad trigonométrica fundamental:

$ \sin^2(\alpha /2) = 1 - \cos^2(\alpha /2)$

Es decir, tenemos la igualdad:

demostración del coseno del ángulo medio/mitad

Aislamos la parte que nos interesa:

demostración del coseno del ángulo medio/mitad

Finalmente, hacemos la raíz cuadrada:

demostración del coseno del ángulo medio/mitad

Nota: observad la importancia del signo ± al hacer la raíz cuadrada. El signo a escoger dependerá del ángulo en cuestión. Por ejemplo, si $\alpha = 315^\circ$, habrá que escoger el signo negativo ya que el ángulo $\alpha /2 = 157.5^\circ$ se encuentra en el cuadrante II y, por tanto, su coseno es negativo.

9. Seno del Ángulo Medio o Ángulo Mitad

$$ \sin \left( \frac{\alpha }{2} \right) = \pm \sqrt{ \frac{1 - \cos(\alpha )}{2}} $$

Demostración

En esta demostración vamos a utilizar una igualdad que hemos escrito en la demostración anterior (obtenida de la tercera línea del desarrollo del coseno de α):

demostración del seno del ángulo medio/mitad

Despejamos el seno al cuadrado y sustituimos el coseno al cuadrado de α/2 por el radicando de la fórmula que hemos demostrado previamente:

Definiciones del coseno, seno, tangente, secante, cosecante y cotangente; demostración de las identidades trigonométricas (ángulo doble, medio, mitad, suma, resta, producto, cuadrado, identidad fundamental, etc.) y ejemplos.

Finalmente, hacemos la raíz cuadrada a ambos lados de la igualdad:

Definiciones del coseno, seno, tangente, secante, cosecante y cotangente; demostración de las identidades trigonométricas (ángulo doble, medio, mitad, suma, resta, producto, cuadrado, identidad fundamental, etc.) y ejemplos.

Nota: el signo de la fórmula dependerá del ángulo, como ya hemos comentado en la demotración anterior.

10. Tangente del Ángulo Medio o Ángulo Mitad

$$ \text{tg} \left( \frac{\alpha }{2} \right) = \pm \sqrt{ \frac{1 - \cos(\alpha )}{1 + \cos(\alpha )}} $$

Demostración

Esta demostración es muy sencilla ya que sólo tenemos que aplicar las fórmulas del seno y del coseno del ángulo medio a la definición de la tangente, que es el cociente del seno y coseno:

Definiciones del coseno, seno, tangente, secante, cosecante y cotangente; demostración de las identidades trigonométricas (ángulo doble, medio, mitad, suma, resta, producto, cuadrado, identidad fundamental, etc.) y ejemplos.

Calculamos la tangente del ángulo medio:

demostración de la tangente del ángulo medio/mitad

Veamos ahora sumas y restas de funciones trigonométricas:

11. Suma de Cosenos

Definiciones del coseno, seno, tangente, secante, cosecante y cotangente; demostración de las identidades trigonométricas (ángulo doble, medio, mitad, suma, resta, producto, cuadrado, identidad fundamental, etc.) y ejemplos.

Demostración

Elevamos al cuadrado el lado derecho de la igualdad y operamos aplicando las fórmulas del ángulo medio y del coseno de la suma y de la resta:

Definiciones del coseno, seno, tangente, secante, cosecante y cotangente; demostración de las identidades trigonométricas (ángulo doble, medio, mitad, suma, resta, producto, cuadrado, identidad fundamental, etc.) y ejemplos.

Llamamos a la suma anterior Suma (*).

Podemos reescribir los sumandos segundo y tercero de Suma (*) aplicando las fórmulas del coseno de la suma y de la resta:

Definiciones del coseno, seno, tangente, secante, cosecante y cotangente; demostración de las identidades trigonométricas (ángulo doble, medio, mitad, suma, resta, producto, cuadrado, identidad fundamental, etc.) y ejemplos.

Al sumarlos tenemos:

Definiciones del coseno, seno, tangente, secante, cosecante y cotangente; demostración de las identidades trigonométricas (ángulo doble, medio, mitad, suma, resta, producto, cuadrado, identidad fundamental, etc.) y ejemplos.

Y al multiplicarlos:

Definiciones del coseno, seno, tangente, secante, cosecante y cotangente; demostración de las identidades trigonométricas (ángulo doble, medio, mitad, suma, resta, producto, cuadrado, identidad fundamental, etc.) y ejemplos.

Por tanto, la suma Suma (*) es

Definiciones del coseno, seno, tangente, secante, cosecante y cotangente; demostración de las identidades trigonométricas (ángulo doble, medio, mitad, suma, resta, producto, cuadrado, identidad fundamental, etc.) y ejemplos.

Recordad que podemos escribir

Definiciones del coseno, seno, tangente, secante, cosecante y cotangente; demostración de las identidades trigonométricas (ángulo doble, medio, mitad, suma, resta, producto, cuadrado, identidad fundamental, etc.) y ejemplos.

Con lo que el último sumando de Suma (*) es

Definiciones del coseno, seno, tangente, secante, cosecante y cotangente; demostración de las identidades trigonométricas (ángulo doble, medio, mitad, suma, resta, producto, cuadrado, identidad fundamental, etc.) y ejemplos.

De este modo tenemos que Suma (*) es

Definiciones del coseno, seno, tangente, secante, cosecante y cotangente; demostración de las identidades trigonométricas (ángulo doble, medio, mitad, suma, resta, producto, cuadrado, identidad fundamental, etc.) y ejemplos.

Nota: en el último paso hemos aplicado la fórmula del cuadrado de la suma en sentido contrario: $ (a+b)^2 = a^2 + b^2 + ab$.

Luego tenemos

Definiciones del coseno, seno, tangente, secante, cosecante y cotangente; demostración de las identidades trigonométricas (ángulo doble, medio, mitad, suma, resta, producto, cuadrado, identidad fundamental, etc.) y ejemplos.

Finalmente, hacemos la raíz cuadrada y obtenemos la identidad buscada:

fórmula de la suma de cosenos escrita como producto

12. Resta de Cosenos

Definiciones del coseno, seno, tangente, secante, cosecante y cotangente; demostración de las identidades trigonométricas (ángulo doble, medio, mitad, suma, resta, producto, cuadrado, identidad fundamental, etc.) y ejemplos.

No demostramos esta identidad puesto que es similar a la resta de senos (demostrada más adelante).

13. Suma de Senos

Definiciones del coseno, seno, tangente, secante, cosecante y cotangente; demostración de las identidades trigonométricas (ángulo doble, medio, mitad, suma, resta, producto, cuadrado, identidad fundamental, etc.) y ejemplos.

No demostramos esta identidad puesto que es similar a la suma de cosenos (demostrada anteriormente).

14. Resta de Senos

Definiciones del coseno, seno, tangente, secante, cosecante y cotangente; demostración de las identidades trigonométricas (ángulo doble, medio, mitad, suma, resta, producto, cuadrado, identidad fundamental, etc.) y ejemplos.

Demostración

Teniendo en cuenta que el seno del ángulo opuesto es

demostración de la resta de senos escrita como producto

Entonces, aplicando la suma de los senos, tenemos

demostración de la resta de senos escrita como producto

Veamos ahora productos de funciones trigonométricas escritos como sumas y restas:

15. Producto de seno y coseno

Definiciones del coseno, seno, tangente, secante, cosecante y cotangente; demostración de las identidades trigonométricas (ángulo doble, medio, mitad, suma, resta, producto, cuadrado, identidad fundamental, etc.) y ejemplos.

Demostración

Recordamos que el coseno y el seno de la suma y de la resta son

identidades del coseno y del seno de la suma y de la resta

La suma de los senos de la suma y de la resta es:

Definiciones del coseno, seno, tangente, secante, cosecante y cotangente; demostración de las identidades trigonométricas (ángulo doble, medio, mitad, suma, resta, producto, cuadrado, identidad fundamental, etc.) y ejemplos.

Por tanto,

fórmula del producto del coseno y del seno escrita como suma

16. Producto de cosenos

producto de cosenos escrito como suma

Demostración

Procedemos del mismo modo que en la demostración anterior pero con cosenos:

Definiciones del coseno, seno, tangente, secante, cosecante y cotangente; demostración de las identidades trigonométricas (ángulo doble, medio, mitad, suma, resta, producto, cuadrado, identidad fundamental, etc.) y ejemplos.

Por tanto,

producto de cosenos escrito como suma

17. Producto de senos

Definiciones del coseno, seno, tangente, secante, cosecante y cotangente; demostración de las identidades trigonométricas (ángulo doble, medio, mitad, suma, resta, producto, cuadrado, identidad fundamental, etc.) y ejemplos.

Demostración

El procedimiento es análogo a los anteriores:

Definiciones del coseno, seno, tangente, secante, cosecante y cotangente; demostración de las identidades trigonométricas (ángulo doble, medio, mitad, suma, resta, producto, cuadrado, identidad fundamental, etc.) y ejemplos.

Por tanto,

producto de senos escrito como suma

Matesfacil.com by J. Llopis is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.

Identidades Trigonométricas: Demostraciones

Páginas de interés:

1. Definiciones de las funciones trigonométricas

$$ \sin (\alpha ), \, \cos (\alpha ) $$

$$ \text{tg} (\alpha ), \, \text{cosec} (\alpha ) $$

$$ \sec (\alpha ), \, \text{cotg} (\alpha ) $$

$$ \cos(\alpha ) = \frac{a}{h} $$

$$ \sin(\alpha ) = \frac{b}{h} $$

$$ \text{tg}(\alpha ) = \frac{\sin(\alpha )}{\cos(\alpha )} $$

$$ \text{cosec}(\alpha ) = \frac{1}{\sin(\alpha )} $$

$$ sec(\alpha ) = \frac{1}{\cos(\alpha )} $$

$$ cotg(\alpha ) = \frac{1}{tg(\alpha )} $$

2. Tabla de valores del seno, coseno y tangente

3. Demostraciones de identidades trigonométricas

1. Identidad trigonométrica fundamental

$$ \sin^2 (a) + \cos^2 (a) = 1 $$

Ejemplos

2. Secante al cuadrado

$$ \sec^2 (\alpha ) = 1+\text{tg}^2 (\alpha ) $$

Ejemplo

3. Cosecante al cuadrado

$$ \text{cosec}^2 (\alpha ) =1 + \text{cotg}^2 (\alpha ) $$

4. Ángulos opuestos

$$ \sin (-\alpha ) = - \sin(\alpha ) $$

$$ \cos (- \alpha ) = \cos (\alpha ) $$

Ejemplo

5. Ángulos más/menos π

$$ \sin ( \pi \pm \alpha ) = \mp \sin(\alpha ) $$

$$ \cos ( \pi \pm \alpha ) = - \cos(\alpha ) $$

Ejemplos

6.Suma de Ángulos

7. Ángulo Doble

$$ \sin(2a) = 2\sin(a)\cos(a) $$

$$ \cos(2a) = \cos^2(a) - \sin^2 (a) $$

$$ \text{tg}(2a) = \frac{2\text{tg}(a)}{1- \text{tg}^2(a)} $$

8. Coseno del Ángulo Medio o Ángulo Mitad

$$ \cos \left( \frac{\alpha }{2} \right) = \pm \sqrt{ \frac{1 + \cos(\alpha )}{2}} $$

9. Seno del Ángulo Medio o Ángulo Mitad

$$ \sin \left( \frac{\alpha }{2} \right) = \pm \sqrt{ \frac{1 - \cos(\alpha )}{2}} $$

10. Tangente del Ángulo Medio o Ángulo Mitad

$$ \text{tg} \left( \frac{\alpha }{2} \right) = \pm \sqrt{ \frac{1 - \cos(\alpha )}{1 + \cos(\alpha )}} $$

11. Suma de Cosenos

12. Resta de Cosenos

13. Suma de Senos

14. Resta de Senos

15. Producto de seno y coseno

16. Producto de cosenos

17. Producto de senos