Identidades Trigonométricas: Demostraciones

Contenido de esta página:

  • Definiciones de las funciones trigonométricas: coseno, seno, tangente, secante, cosecante y cotangente.

  • Tabla de valores del seno, coseno y tangente de los ángulos usados más frecuentemente.

  • Demostraciones de las identidades trigonométricas más importantes: identidad fundamental, secante al cuadrado, cosecante al cuadrado, seno, coseno y tangente de la suma de ángulos, del ángulo doble, del ángulo mitad, etc.


Definiciones de las Funciones Trigonométricas

$$ sin (\alpha ), cos (\alpha ) $$

$$ tg (\alpha ), cosec (\alpha ) $$

$$ sec (\alpha ), cotg (\alpha ) $$

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Tabla de Valores del seno, coseno y tangente

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Demostraciones de las Identidades



Identidad Trigonométrica Fundamental

$$ sin^2 (a) + cos^2 (a) = 1 $$

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Secante al cuadrado

$$ sec^2 (\alpha ) = 1+tg^2 (\alpha ) $$

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Cosecante al cuadrado

$$ cosec^2 (\alpha ) =1 + cotg^2 (\alpha ) $$

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Ángulos opuestos

$$ sin (-\alpha ) = - sin(\alpha ) $$

$$ cos (- \alpha ) = cos (\alpha ) $$

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Ángulos más/menos π

$$ sin ( \pi \pm \alpha ) = \mp sin(\alpha ) $$

$$ cos ( \pi \pm \alpha ) = - cos(\alpha ) $$

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Suma de Ángulos

$$ sin (a \pm b ) =sin (a) cos(b) \pm cos(a)sin(b) $$

$$ cos( a \pm b ) =cos(a)cos(b) \mp sin(a)sin(b) $$

$$ tg(a \pm b) = \frac{tg (a) \pm tg(b) }{1 \mp tg(a) tg(b)} $$


Ángulo Doble

$$ sin(2a) = 2sin(a)cos(a) $$

$$ cos(2a) = cos^2(a) - sin^2 (a) $$

$$ tg(2a) = \frac{2tg(a)}{1- tg^2(a)} $$

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Ángulo Medio = Ángulo Mitad

$$ cos \left( \frac{\alpha }{2} \right) = \pm \sqrt{ \frac{1 + cos(\alpha )}{2}} $$

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$$ sin \left( \frac{\alpha }{2} \right) = \pm \sqrt{ \frac{1 - cos(\alpha )}{2}} $$

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$$ tg \left( \frac{\alpha }{2} \right) = \pm \sqrt{ \frac{1 - cos(\alpha )}{1 + cos(\alpha )}} $$

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Sumas escritas como productos

Suma de Cosenos

$$ cos (a) + cos(b) = 2 cos(\frac{a+b}{2})cos(\frac{a-b}{2}) $$

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Resta de Cosenos

$$ cos (a) - cos(b) = -2 sin(\frac{a+b}{2})sin(\frac{a-b}{2}) $$

Suma de Senos

$$ sin (a) + sin(b) = 2 sin(\frac{a+b}{2}) cos(\frac{a-b}{2}) $$

Resta de Senos

$$ sin (a) + sin(b) = 2 cos(\frac{a+b}{2}) sin(\frac{a-b}{2}) $$

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Productos escritos como sumas

Producto de seno y coseno

$$ sin(a)cos(b) = \frac{1}{2} (sin(a+b)+sin(a-b) ) $$

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Producto de cosenos

$$ cos(a)cos(b) = \frac{1}{2} (cos(a+b) + cos(a-b) ) $$

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Producto de senos

$$ sin(a)sin(b) = \frac{1}{2} (cos(a+b)-cos(a-b) ) $$

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