Criterio de Stolz del cociente

Contenido de esta página:

1. Introducción
2. Criterio de Stolz
3. Problemas resueltos (aplicación del criterio)

Normalmente, para calcular límites de sucesiones utilizamos los razonamientos que aplicamos a las funciones. Sin embargo, cuando esto no es posible, recurrimos a criterios específicos para sucesiones. Uno de ellos es el criterio de convergencia de Stolz del cociente.

En esta página enunciamos el criterio de convergencia de Stolz del cociente y resolvemos 5 límites de sucesiones aplicando este criterio.

El criterio también recibe el nombre teorema de Stolz-Cesàro, en honor a los matemáticos Otto Stolz (1842-1905) y Ernesto Cesàro (1859-1906). Se utiliza para resolver las indeterminaciones del tipo 0/0 y ·/∞.

Otros criterios de convergencia:

• Criterio de la media aritmética
• Criterios de la media geométrica y de la raíz

Notación:

• Escribiremos simplemente \(a_n\) para referirnos a una sucesión \(\{a_n \}_{n\in \mathbb{N}}\).
• Expresaremos que la sucesión \(a_n\) converge a \(L\neq \infty\) mediante \(a_n\rightarrow L\) o mediante

Sean \(a_n\) y \(b_n\) dos sucesiones, siendo \(b_n\) estrictamente monótona y cumpliéndose una de las dos siguientes condiciones:

• \(a_n \rightarrow 0\), \(b_n \rightarrow 0\) y \(b_n\) es decreciente.
• \(b_n \rightarrow +\infty \) y \(b_n\) es creciente.

Si existe el límite

Entonces,

Nota 1: el límite \(L\) debe ser finito.

Nota 2: en algunos casos particulares, puede ayudar escribir el primer límite del teorema como

Nota 3: omitimos la demostración por su grado de tecnicidad.

Problema 1

Calcular el límite de la siguiente sucesión:

Problema 2

Calcular el límite de la siguiente sucesión:

Problema 3

Calcular el límite de la siguiente sucesión:

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Problema 4

Calcular el límite de la siguiente sucesión:

Problema 5

Calcular el límite de la siguiente sucesión:

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