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Criterios de la media geométrica y de la raíz

Contenido de esta página:

  1. Introducción

  2. Los criterios de la media geométrica y de la raíz

  3. Problemas resueltos (aplicación de los criterios y sus demostraciones)

Otros criterios de convergencia:

Notación:

  • Escribiremos simplemente \(a_n\) para referirnos a una sucesión \(\{a_n \}_{n\in \mathbb{N}}\).

  • Expresaremos que la sucesión \(a_n\) converge a \(L\neq \infty\) mediante \(a_n\rightarrow L\) o mediante

    Enunciado, demostración y ejemplos de aplicación del criterio de la media geométrica y del criterio de la raíz. Criterios de convergencia de sucesiones. Bachillerato, Universidad, Análisis de una variable real.

1. Introducción

Los límites de las sucesiones se calculan aplicando los mismos razonamientos que en los límites de las funciones, pero en ocasiones estos razonamientos no son suficientes. Es entonces cuando empleamos los criterios de convergencia específicos para sucesiones.

En esta página enunciamos y demostramos el criterio de convergencia de la media geométrica y el criterio de la raíz (que es un corolario del anterior). También, los aplicamos para resolver algunos límites (problemas resueltos).

X

2. Los criterios

Criterio de la media geométrica:

Sea \(a_n\) una sucesión de reales positivos convergente a \(A> 0\), entonces

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Demostración en el Problema 5.

Nota: el criterio también es válido para \(A=+\infty\).

Criterio de raíz (corolario):

Sea \(a_n\) una sucesión de reales positivos tal que

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Entonces,

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Demostración en el Problema 4.

3. Problemas Resueltos

Problema 1

Calcular el límite

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Problema 2

Calcular el límite

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Problema 3

Calcular el límite

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Problema 4

Demostrar el criterio de la raíz.

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Problema 5

Demostrar el criterio de la media geométrica.

Ayuda: utilizar el criterio de la media aritmética.

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