Criterios de la media geométrica y de la raíz

Contenido de esta página:

1. Introducción
2. Los criterios de la media geométrica y de la raíz
3. Problemas resueltos (aplicación de los criterios y sus demostraciones)

Otros criterios de convergencia:

• Criterio de la media aritmética
• Criterio de Stolz del cociente

Notación:

• Escribiremos simplemente \(a_n\) para referirnos a una sucesión \(\{a_n \}_{n\in \mathbb{N}}\).
• Expresaremos que la sucesión \(a_n\) converge a \(L\neq \infty\) mediante \(a_n\rightarrow L\) o mediante

Los límites de las sucesiones se calculan aplicando los mismos razonamientos que en los límites de las funciones, pero en ocasiones estos razonamientos no son suficientes. Es entonces cuando empleamos los criterios de convergencia específicos para sucesiones.

En esta página enunciamos y demostramos el criterio de convergencia de la media geométrica y el criterio de la raíz (que es un corolario del anterior). También, los aplicamos para resolver algunos límites (problemas resueltos).

Criterio de la media geométrica:

Sea \(a_n\) una sucesión de reales positivos convergente a \(A> 0\), entonces

Demostración en el Problema 5.

Nota: el criterio también es válido para \(A=+\infty\).

Criterio de raíz (corolario):

Sea \(a_n\) una sucesión de reales positivos tal que

Entonces,

Demostración en el Problema 4.

Problema 1

Calcular el límite

Problema 2

Calcular el límite

Problema 3

Calcular el límite

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Problema 4

Demostrar el criterio de la raíz.

Problema 5

Demostrar el criterio de la media geométrica.

Ayuda: utilizar el criterio de la media aritmética.

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