Criterio de la media aritmética

Contenido de esta página:

1. Introducción
2. Criterio de la media aritmética
3. Problemas resueltos (aplicación del criterio y su demostración)

Otros criterios de convergencia:

• Criterios de la media geométrica y de la raíz
• Criterio de Stolz del cociente

Notación:

• Escribiremos simplemente \(a_n\) para referirnos a una sucesión \(\{a_n \}_{n\in \mathbb{N}}\).
• Expresaremos que la sucesión \(a_n\) converge a \(L\neq \infty\) mediante \(a_n\rightarrow L\) o mediante

Los límites de las sucesiones se calculan aplicando los mismos razonamientos que en los límites de las funciones, pero en ocasiones estos razonamientos no son suficientes. Es entonces cuando empleamos los criterios de convergencia específicos para sucesiones.

En esta página enunciamos el criterio de convergencia de la media aritmética, lo demostramos para el caso finito (Problema 4) y resolvemos 4 límites aplicándolo.

El criterio de la media aritmética se utiliza para calcular límites de sucesiones del tipo

Si la sucesión \(a_n\) tiende a \(A\in \mathbb{R} \cup \{ \infty \}\), entonces la sucesión de sus medias aritméticas también tiende a \(A\). Es decir,

Demostración en el Problema 4.

Nota: el criterio también es válido para \(A=\infty\).

Problema 1

Calcular el límite de la siguiente sucesión:

Problema 2

Calcular el límite de la siguiente sucesión:

Problema 3

Calcular el límite de la siguiente sucesión:

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Problema 4

Demostrar el criterio de la media aritmética para el caso \(a_n \rightarrow A \in \mathbb{R}\) aplicando el criterio de Stolz del cociente.

Problema 5

Calcular el límite de la siguiente sucesión:

Ayuda: aplicar también el críterio de la raíz.

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