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Isaac Barrow

Contenido de esta página:

  1. Isaac Barrow

  2. Aplicación de la Regla de Barrow para el cálculo de áreas: interpretación geométrica de la integral definida

  3. Primer teorema fundamental del cálculo (enunciado y demostración)

  4. Regla de Barrow (enunciado y demostración)


1. Isaac Barrow (1630-1677)

Isaac Barrow nació en Londres en 1630. Además de matemático, fue un teólogo cristiano. Profesor de geometría en 1660 en Gresham College y de griego en 1662 en la Universidad de Cambridge, en 1663 fue el primero en ser nombrado Profesor Lucasiano (Lucasian Chair of Mathematics). Este título es la Cátedra de Matemáticas de la Universidad de Cambridge, a la cual renunció en favor de su alumno Isaac Newton (1642-1726) en 1669.

Barrow es conocido por sus aportaciones al cálculo diferencial y a la óptica, especialmente por el Teorema fundamental del cálculo. La primera demostración de una versión restringida del mismo fue publicada por James Gregory (1638-1675). Como veremos a continuación, este teorema demuestra que la derivación y la integración son operaciones inversas.

El Segundo teorema fundamental del cálculo, una consecuencia directa del teorema mencionado anteriormente, es también conocido como la Regla de Barrow en honor de Isaac Barrow.

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2. Aplicaciones de la Regla de Barrow

La Regla de Barrow permite el cálculo de integrales definidas a partir de alguna de sus primitivas. La aplicación más conocida es el cálculo del área delimitada por la gráfica de una (o varias) funciones:

Se desea calcular el área entre la gráfica de f y el eje de las abscisas (OX) en el intervalo [a,b]. La representación del área es:

Issac Barrow (1630-1677): biografía, interpretación geométrica de la integral definida y demostración de la Regla de Barrow y del Teorema fundamental del cálculo

Dividimos el intervalo [a,b] en 3 subintervalos de la misma longitud Δ3:

Issac Barrow (1630-1677): biografía, interpretación geométrica de la integral definida y demostración de la Regla de Barrow y del Teorema fundamental del cálculo

Nótese que la suma de las áreas de los rectángulos es menor que el área que buscamos, pero es una aproximación. La base de cada rectángulo es Δ3 y su altura es f(xk). Por tanto, la suma de las áreas es

$$ \underline{S} = \sum_{0\leq k\leq 2}f(x_k) \cdot \Delta _3 $$

Si realizamos una partición más fina, es decir, con más subintervalos y con una longitud menor, Δn, entonces la aproximación se acerca más al valor real:

Issac Barrow (1630-1677): biografía, interpretación geométrica de la integral definida y demostración de la Regla de Barrow y del Teorema fundamental del cálculo

Por tanto, si la longitud de los subintervalos, Δn, tiende a 0, entonces la suma de las áreas de los rectángulos coincide con el área que buscamos.

La integral de f definida en el intervalo [a,b] es precisamente (definición no formal) dicha suma:

$$ \int_a^b {f(s)ds} =\lim_{||\Delta_n|| \to 0} \sum_{0\leq i\leq n-1}{f(s_i)\cdot \Delta_n}$$

Issac Barrow (1630-1677): biografía, interpretación geométrica de la integral definida y demostración de la Regla de Barrow y del Teorema fundamental del cálculo

La Regla de Barrow establece que la integral definida anterior es

$$ \int_a^b {f(s)ds} = F(b) - F(a)$$

siendo F una primitiva de f, es decir,

$$ F'(x) = f(x), \forall x\in [a,b]$$

Enlace: Problemas resueltos de cálculo de áreas mediante integrales definidas (Regla de Barrow)


3. Primer teorema fundamental del cálculo

Sea la función integrable

$$ f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R} $$

Entonces la función

$$ F(x)= \int_a^x{f(s)ds} , x\in [a,b] $$

  1. es continua en el intervalo [a,b] y,

  2. si f es continua en el punto c de [a,b] entonces F es derivable en dicho punto siendo su derivada

    $$ F’(c) = f(c) $$

Como consecuencia, si f es continua en todo el intervalo [a,b], entonces es una primitiva de F en dicho intervalo, esto es,

$$ F’(x) = f(x), x\in [a,b] $$

Ver Demostración



4. Regla de Barrow

(segundo teorema fundamental del cálculo)

Sea la función integrable

$$ f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R} $$

y sea F una función continua y primitiva de f en el intervalo [a,b], esto es,

$$ F’(x) = f(x), \forall x\in [a,b] $$

Entonces, la integral definida de f en el intervalo [a,b] puede escribirse en términos de F como

$$ \int_a^b{f(s)ds} = F(b)-F(a) $$

Nota: la regla no exige que f sea una función continua.

Ver Demostración



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