En esta página proporcionamos una breve biografía de Isaac Barrow y la interpretación geométrica de la integral definida para el cálculo de áreas. También, demostramos el primer teorema fundamental del cálculo y la regla de Barrow.
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Isaac Barrow nació en Londres en 1630. Además de matemático, fue un teólogo cristiano. Profesor de geometría en 1660 en Gresham College y de griego en 1662 en la Universidad de Cambridge, en 1663 fue el primero en ser nombrado Profesor Lucasiano (Lucasian Chair of Mathematics). Este título es la Cátedra de Matemáticas de la Universidad de Cambridge, a la cual renunció en favor de su alumno Isaac Newton (1642-1726) en 1669.
Barrow es conocido por sus aportaciones al cálculo diferencial y a la óptica, especialmente por el Teorema fundamental del cálculo. La primera demostración de una versión restringida del mismo fue publicada por James Gregory (1638-1675). Como veremos a continuación, este teorema demuestra que la derivación y la integración son operaciones inversas.
El Segundo teorema fundamental del cálculo, una consecuencia directa del teorema mencionado anteriormente, es también conocido como la Regla de Barrow en honor de Isaac Barrow.
La Regla de Barrow permite el cálculo de integrales definidas a partir de alguna de sus primitivas. La aplicación más conocida es el cálculo del área delimitada por la gráfica de una (o varias) funciones:
Se desea calcular el área entre la gráfica de f y el eje de las abscisas (OX) en el intervalo [a,b]. La representación del área es:
Dividimos el intervalo [a,b] en 3 subintervalos de la misma longitud Δ3:
Nota: la suma de las áreas de los rectángulos es menor que el área que buscamos, pero es una aproximación. La base de cada rectángulo es Δ3 y su altura es f(xk). Por tanto, la suma de las áreas es
$$ \underline{S} = \sum_{0\leq k\leq 2}f(x_k) \cdot \Delta _3 $$
Si realizamos una partición más fina, es decir, con más subintervalos y con una longitud menor, Δn, entonces la aproximación se acerca más al valor real:
Por tanto, si la longitud de los subintervalos, Δn, tiende a 0, entonces la suma de las áreas de los rectángulos coincide con el área que buscamos.
La integral de f definida en el intervalo [a,b] es precisamente (definición no formal) dicha suma:
$$ \int_a^b {f(s)ds} =\lim_{||\Delta_n|| \to 0} \sum_{0\leq i\leq n-1}{f(s_i)\cdot \Delta_n}$$
La Regla de Barrow establece que la integral definida anterior es
siendo F una primitiva de f, es decir,
$$ F'(x) = f(x), \forall x\in [a,b]$$
Enlace: Problemas resueltos de cálculo de áreas mediante integrales definidas (Regla de Barrow)
Sea la función integrable \(f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}\).
Entonces, la función \(F(x)= \int_a^x{f(s)ds}\) \(x\in [a,b]\)
Como consecuencia, si \(f\) es continua en todo el intervalo \([a,b]\), entonces es una primitiva de \(F\) en dicho intervalo, esto es, \(F'(x) = f(x)\), \(x\in [a,b]\).
1. Continuidad:
Puesto que \(f\) es integrable, es acotada. Luego existe una constante \(M > 0\) tal que
$$|f(x)|\leq M, \forall x\in [a,b]$$
Si \(x < y\), entonces, por definición de \(F\),
$$ |F(y)-F(x)| = $$
$$ = \left| \int_a^y{f(s)ds} - \int_a^x{f(s)ds} \right| =$$
$$ = \left| \int_x^y{f(s)ds} \right| \leq \int_x^y{|f(s)|ds} \leq $$
$$ \leq \int_x^y{M ds} \leq M(y-x) $$
Razonando del mismo modo para \(y < x\) se obtiene
$$ |F(y)-F(x)| \leq M|y-x| $$
Luego, para todo par de puntos x, y de [a,b] se tiene
$$ |F(y)-F(x)| \leq M|y-x| $$
y, por tanto, la función \(F\) es continua en el intervalo \([a,b]\).
2. Derivabilidad:
Por definición, la derivada de \(F\) es el límite
$$ F'(c):= \lim_{x\to c}{\frac{F(x)-F(c)}{x-c}} $$
Debemos probar que dicho límite es igual a \(f(c)\), esto es, que \(\frac{F(x)-F(c)}{x-c} -f(c)\) tiende a 0 cuando \(x\) tiende a \(c\).
Operamos:
$$ \frac{F(x)-F(c)}{x-c} - f(c) =$$
$$ = \frac{F(x)-F(c) - (x-c)f(c)}{x-c} =$$
$$= \frac{ \int_c^x{f(s)ds} - \int_c^x{f(c)ds} }{x-c} =$$
$$= \frac{ \int_c^x{(f(s)-f(c))ds}}{x-c} $$
Nota: cuando escribimos \(F(x)-F(c) = \int_c^x{f(s)ds}\) estamos aplicando la definición de \(F\) y las propiedades de las integrales.
Para acotar la última igualdad utilizamos la continuidad de \(f\) en el punto \(c\).
Dado ε > 0, existe ρ > 0 tales que
$$ |x-c|\leq \rho \rightarrow |f(x) - f(c)| \leq \varepsilon$$
Por tanto, volviendo atrás,
$$ \left| \frac{ \int_x^c{(f(s)-f(c))ds}}{x-c} \right| \leq $$
$$ \leq \frac{ |\varepsilon | |x-c| }{|x-c|} \leq \varepsilon $$
Por tanto,
$$ \left| \frac{F(x)-F(c)}{x-c} - f(c) \right| \leq \varepsilon $$
Lo que significa
$$ F'(c):= \lim_{x\to c}{\frac{F(x)-F(c)}{x-c}} =f(c)$$
Sea la función integrable \(f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}\) y sea \(F\) una función continua y primitiva de \(f\) en el intervalo \([a,b]\), esto es,
$$ F'(x) = f(x), \forall x\in [a,b] $$
Entonces, la integral definida de \(f\) en el intervalo \([a,b]\) puede escribirse en términos de \(F\) como
$$ \int_a^b{f(s)ds} = F(b)-F(a) $$
Nota: la regla no exige que \(f\) sea una función continua.
Consideremos la partición del intervalo \([a,b]\) dada por
$$ \mathcal{P}([a,b]) = \{a=x_0< x_1 < . . . < x_n = b \} $$
Entonces, podemos escribir la diferencia \(F(b)-F(a)\) como
$$ F(b)-F(a) = \sum_{1\leq k \leq n} {F(x_k)-F(x_{k-1})} $$
Aplicando el teorema del valor medio de Lagrange (\(F\) es continua y derivable),
$$ F(b)-F(a) = \sum_{1\leq k \leq n} {f(c_k)(x_k-x_{k-1})} $$
siendo \(c_k\) un punto de cada subintervalo.
Por tanto, \(F(b)-F(a)\) se encuentra entre la suma inferior y superior de \(f\) asociadas a la partición \(\mathcal{P}\):
$$ \underline {S}(f,P) \leq F(b)-F(a) \leq \overline{S}(f,P) $$
Como lo anterior es cierto para cualquier partición \(\mathcal{P}\) y \(f\) es integrable, entonces existen las integrales superior e inferior y son iguales, por lo que
$$ \int_a^b{f(s)ds} = F(b)-F(a) $$
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