En esta página vamos a definir y a explicar las diferencias entre el módulo, la dirección y el sentido de un vector. Como los conceptos son iguales para cualquier dimensión, trabajamos con vectores del plano real \(\mathbb{R}^2\).
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Otros temas de vectores de \(\mathbb{R}^2\):
Un vector \(\vec{v}=(v_1,v_2)\) de \(\mathbb{R}^2\) es la flecha que parte del origen de coordenadas (punto \((0,0)\)) y termina en el punto \(P=(v_1,v_2)\):
Sin embargo, podemos representar el mismo vector \(\vec{v}\) partiendo de cualquier otro punto del plano, siempre y cuando tenga la misma longitud, dirección y sentido:
Por esta razón, es importante diferenciar estos tres conceptos: longitud (módulo), dirección y sentido.
El módulo de un vector \(\vec{v}=(v_1, v_2)\) es su longitud y se denota por \(|v|\). Se calcula mediante la fórmula
El módulo, como toda longitud, nunca puede ser negativo.
Un vector \(\vec{v}\) parte de un punto \(A\) y termina en un punto \(B\):
El vector \(\vec{w}\) que parte del punto \(B\) y termina en el punto \(A\) tiene sentido opuesto:
Ambos vectores unen los mismos puntos, pero en sentidos contrarios. Miden lo mismo y tienen la misma dirección.
Si el vector \(\vec{v}\) es \(\vec{v}=(v_1,v_2)\), entonces el vector \(\vec{w}\) es \(\vec{w}=(-v_1,-v_2)\). Es decir, \(\vec{w}\) es el vector opuesto de \(\vec{v}\):
Si cambiamos el signo de las dos coordenadas de un vector, obtenemos el vector opuesto. Este vector tiene la misma dirección y el mismo módulo (longitud), pero sentido contrario.
Nota: el concepto de dirección es sencillo, pero es un poco más complicado definirlo matemáticamente. Como no tiene demasiadas aplicaciones prácticas, es suficiente con comprender el concepto.
Hay varias formas de definir la dirección. Vamos a ver una de ellas.
La dirección de un vector se puede definir a partir de la recta a la que pertenece el vector. Si dos vectores están en la misma recta o en una recta paralela, tienen la misma dirección:
Los tres vectores de color rojo tienen la misma dirección, aunque no todos tienen el mismo sentido ni la misma longitud (módulo).
Los dos vectores de color azul tienen la misma dirección, pero tienen sentido opuesto y distinta longitud.
La dirección del vector es el ángulo que forma la recta que lo contiene con el eje de las abscisas (eje horizontal). Este ángulo es el mismo para rectas paralelas. Por tanto, una forma de saber si dos vectores tienen la misma dirección es calcular el ángulo que forman con una recta horizontal.
Dado el vector \(\vec{v}=(v_1,v_2)\), el ángulo que forma con el eje de abscisas es
Si la primera coordenada es 0, entonces el ángulo es
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