En esta página definimos el producto de un escalar por un vector del plano \(\mathbb{R}^2\), mostramos ejemplos, demostramos las propiedades básicas y resolvemos problemas relacionados.
Nota: en esta página no vemos el producto escalar de dos vectores (ésta es otra operación).
Contenido de esta página:
Otros temas de vectores de \(\mathbb{R}^2\):
Recordamos que un vector \(\vec{v}\) del plano real \(\mathbb{R}^2\) es
siendo \(v_1\) su primera coordenada (eje horizontal) y \(v_2\) su segunda coordenada (eje vertical):
Llamamos escalar a cualquier número real \(\alpha\in\mathbb{R}\).
Dado un escalar \(\alpha \in\mathbb{R}\) y un vector \(\vec{v} = (v_1,v_2)\) de \(\mathbb{R}^2\), se define su producto como el vector
Es decir, es el vector que se obtiene al multiplicar las coordenadas del vector \(\vec{v}\) por el escalar \(\alpha\).
Cuando \(\alpha\neq 0\), decimos que el vector \(\alpha·\vec{v}\) es proporcional al vector \(\vec{v}\).
A continuación, enunciamos 7 propiedades básicas del producto de un escalar por un vector (demostramos la 5, la 6 y la 7).
Si \(\alpha > 0\), entonces el vector \(\alpha·\vec{v}\) tiene la misma dirección y sentido que \(\vec{v}\).
Si \(\alpha < 0\), entonces el vector \(\alpha·\vec{v}\) tiene la misma dirección y sentido opuesto que \(\vec{v}\).
Si \(|\alpha| > 1\), entonces la longitud del vector \(\alpha·\vec{v}\) es mayor que la de \(\vec{v}\) (tiene módulo mayor).
Si \(|\alpha| < 1\), entonces la longitud del vector \(\alpha·\vec{v}\) es menor que la de \(\vec{v}\) (tiene módulo menor).
Más exactamente, el módulo del \(\alpha·\vec{v}\) cumple
El producto es distributivo respecto de la suma de vectores:
El producto es distributivo respecto de la suma de escalares:
Calcular los siguientes productos de un escalar por un vector:
siendo
Con los resultados del problema anterior:
Determinar si \(\alpha ·\vec{v}\) y \(\beta ·\vec{v}\) tienen o no la misma dirección y sentido que \(\vec{v}\) y si tienen mayor o menor longitud.
Lo mismo para \(\alpha ·\vec{w}\), \(\beta ·\vec{w}\) y \(\vec{v}\).
Calcular el módulo de los 4 vectores obtenidos en el problema 1.
Calcular la siguiente operación entre vectores y escalares:
siendo
Calcular un vector que tenga la misma dirección y sentido que \(\vec{v}\), pero cuyo módulo sea el doble, siendo
Calcular un vector que tenga la misma dirección y sentido opuesto que \(\vec{v}\) y, además, su módulo sea la mitad, siendo
Calcular el producto del escalar \(\alpha =-3\) por el vector \(\vec{v}=(-2,3)\).
Comprobar que si multiplicamos un vector \(\vec{v}\) por el escalar 2, entonces el resultado es un vector que mide el doble que \(\vec{v}\).
Comprobar que si \(\vec{AB}\) es el vector va del punto \(A\) al punto \(B\), entonces el producto \(-1·\vec{AB}\) es el vector que va del punto \(B\) al punto \(A\), es decir:
Producto de un escalar por un vector del plano - © matesfacil.com
Matesfacil.com
by J. Llopis is licensed under a
Creative
Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.