Vectores del Plano Real

Contenido de esta página:

  • Introducción

  • Conceptos y definiciones de vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores.

  • 22 Ejercicios resueltos sobre los conceptos y las operaciones anteriores.


Introducción

Tanto los puntos del plano como los vectores quedan determinados por sus coordenadas. Podemos decir que la diferencia entre ambos es que el punto representa un lugar del plano y el vector representa un desplazamiento.

Por ejemplo, el punto P = (1, -1) representa el punto del plano con dichas coordenadas, el punto en sí; mientras que el vector de coordenadas (1, -1) representa un desplazamiento de una unidad a la derecha y una unidad hacia abajo.

Si vemos los vectores como desplazamientos, es lógico hablar de su dirección, sentido y módulo (el módulo es la longitud del vector, la longitud del desplazamiento ). Asimismo, también es lógico sumar vectores o aumentar su longitud (multiplicarlo por un escalar). También, de este modo tiene sentido que podamos representar el mismo vector en cualquier punto del plano: podemos realizar el mismo desplazamiento desde cualquier punto.

Esta sección es una introducción a los conceptos básicos de los vectores del plano real plano real R^2. Estos conceptos son los mismos que los de los vectores del espacio tridimensional.

También diremos que, en las Matemáticas, los vectores del plano conforman un espacio vectorial, que es una determinada estructura que nos permite demostrar teoremas y propiedades cuyas aplicaciones resultan útiles en otros campos de la ciencia, especialmente en la Física.

 

Definición de Vector

vector (3,4) en el plano

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Vector Opuesto

vectores opuestos

Ver Concepto y Ejemplo


Módulo de un Vector

módulo de un vector del plano

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Vector Unitario

vector unitario

Ver Concepto y Ejemplo


Suma de Vectores

suma de vectores

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Resta de Vectores

resta de vectores

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Vector que une dos Puntos

vector que une dos puntos

Ver Operación y Ejemplo


Vectores Proporcionales

vectores proporcionales

Ver Operación y Ejemplo


Vectores Perpendiculares

vectores perpendiculares

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Producto por un Escalar

producto de un vector por un escalar

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Producto Escalar de Vectores: Ángulo entre Vectores

producto escalar y ángulo entre vectores

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Ejercicios Resueltos



1. Suma y Resta de Vectores y Producto por un Escalar

Ejercicio 1

Sean los vectores

coordenadas de los vectores

Calcular las siguientes sumas y restas:

sumas y restas a calcular

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Ejercicio 2

Sean los vectores

suma y resta de vectores geométricamente

Calcular, geométricamente, las siguientes sumas y restas de vectores:

suma y resta de vectores geométricamente

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Ejercicio 3

Sean los puntos

vector que une dos puntos

Encontrar el vector que va de P a Q y el vector que va de Q a P.

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Ejercicio 4

Sean los puntos

vector que une dos puntos

Encontrar el vector que va de P a Q y el vector que va de Q a P.

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Ejercicio 5

Sean los puntos

vector que une dos puntos

Encontrar el vector que va de P a Q y el vector que va de Q a P.

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Ejercicio 6

Sea el vector

coordenadas del vector v

Obtener el vector igual a pero con sentido contrario.

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Ejercicio 7

Sea el vector

coordenadas del vector v

Obtener el vector simétrico de respecto del eje de abscisas.

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Ejercicio 8

Sea el vector

coordenadas del vector w

Obtener el vector simétrico de respecto del eje de ordenadas.

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Ejercicio 9

Encontrar el vector que va del punto O al punto P y el vector que va del punto A al punto B:

coordenadas de los puntos O, P, A y B

Explicar la relación existente entre ambos vectores.

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2. Módulo de Vectores, Vectores Unitarios y Vectores Proporcionales


Ejercicio 10

Calcular el módulo de los siguientes vectores del plano:

coordenadas de los vectores v, w, a, b, m y n

¿Un vector queda determinado por su módulo? Es decir, si dos vectores tienen el mismo módulo, ¿son el mismo vector?

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Ejercicio 11

¿Cuántos vectores unitarios existen? Los vectores unitarios son los que cumplen que su módulo es 1:

módulo de un vector unitario

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Ejercicio 12

Calcular un vector que sea unitario (módulo 1) y tenga la misma dirección y sentido que

coordenadas del vector v

¿Existen más vectores unitarios con la misma dirección y sentido que el vector ?

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3. Demostración de las propiedades del Módulo de Vectores

Ejercicio 13

Sea un vector cualquiera, demostrar que:

el módulo de un vector es 0 si, y sólo si, es el vector nulo

Es decir, el módulo de un vector es 0 sólo si es el vector nulo

$$ v = (0,0) $$

y si es el vector nulo, entonces su módulo es 0.

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Ejercicio 14

Sea un vector cualquiera y λ un número real (un escalar), demostrar que:

propiedades 
        del módulo de los vectores: el módulo del producto por un escalar de un vector es el producto del valor
        absoluto del escalar por el módulo del vector

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Ejercicio 15 (dificultad alta)

Sean y dos vectores arbitrarios. Demostrar que

propiedades 
        del módulo de los vectores: el módulo del producto escalar de dos vectores es el 
        producto de los módulos de los vectores

El producto de la izquierda es el producto escalar de dos vectores; el producto de la derecha es el producto de los números reales. En la izquierda, las barras son un valor absoluto; en la derecha, las barras son los módulos.

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Ejercicio 16 (dificultad muy alta)

Sean y dos vectores arbitrarios. Demostrar que

propiedades 
        del módulo de los vectores: desigualdad triangular

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4. Producto Escalar de Vectores y Ángulo entre Vectores

Ejercicio 17

Sean los vectores

coordenadas de los vectores a, b, v y w

Calcular los siguientes productos escalares:

producto escalar de vectores

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Ejercicio 18

Calcular el ángulo que forman los vectores

coordenadas de los vectores canónicos del plano: e_1 y e_2

Los llamamos así porque son los vectores de la base canónica del plano.

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Ejercicio 19

Calcular el ángulo que forman los vectores

ángulo que forman dos vectores del plano

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Ejercicio 20

Demostrar que los vectores y son perpendiculares a :

vectores perpendiculares y paralelos en el plano

Además, demostrar que los vectores y son paralelos entre sí.

Se supone que

$$ x,y \neq 0 $$

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Ejercicio 21

Demostrar que los vectores y son paralelos a :

vectores perpendiculares y paralelos en el plano

Si ambos son paralelos, ¿por qué el ángulo que forman con es distinto?

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Ejercicio 22

Encontrar el vector unitario que forma un ángulo de 60 grados con el vector

vectores que forman un ángulo

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