Problema 1
Sean los vectores
![vectores del problema 1 Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vector1.png)
Calcular las siguientes sumas y restas:
![sumas y restas para calcular en el problema 1 Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vector1x.png)
Ver solución
La suma se calcula sumando coordenada a coordenada:
![sumamos los vectores (3,-1) y (-2,-2) obteniendo (1,-3) Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE1-1.png)
En la siguiente suma tenemos el producto de un vector por un escalar.
El escalar pasa multiplicando a las dos coordenadas del vector:
![calculamos la operación a+2c = (4,2) Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE1-2.png)
La siguiente suma es
![sumamos los vectores a y d: (3-raíz(5)/2, raíz(6)/3 -1) Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE1-3.png)
Podemos calcular la resta \(\vec{c}-\vec{b}\) como una suma de vectores:
![restamos los vectores c-b: (5/2, 7/2) Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE1-4.png)
Problema 2
Sean los vectores
![vectores del problema 2 Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vector2.png)
Calcular, geométricamente, las siguientes sumas y restas de vectores:
![restas de vectores para calcular en el problema 2 Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vector2x.png)
Ver solución
Representamos los vectores
y
:
![representación de los vectores a=(3,-1) y b=(-2,-2) Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vector1-1.png)
La resta
-
es el vector que une los extremos de los vectores con el sentido de
a
:
![representación de la resta de los vectores a = (3,-1) y b=(-2,-2) Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vector1-2.png)
Calculamos sus coordenadas: para ello,
dibujamos unos ejes cuyo origen sea donde comienza el vector.
En el eje de las abscisas (eje horizontal) el vector ocupa 5
unidades; en el de ordenadas ocupa 1 unidad. Por tanto, el vector es
![vector a-b = (5,1) Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE2-1.png)
La resta
-
es el vector que une los extremos de los vectores con el sentido de
a
. Para calcular las coordenadas, dibujamos unos ejes cuyo origen es el origen del vector:
![representación de la resta de los vectores b=(-2,-2) y a=(3,-1) Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vector1-3.png)
Por tanto, el vector es
![vector b-a = (-5,-1) Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE2-2.png)
Para calcular la siguiente suma, representamos los vectores
y dibujamos segmentos paralelos a los vectores y que
pasen por los extremos de los vectores:
![representación de los vectores a=(3,-1) y c=(-3,-1) Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vector1-4.png)
El vector suma comienza en el origen y termina en la intersección de los segmentos:
![representación de la suma de los vectores a=(3,-1) y c=(-3,-1) Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vector1-5.png)
Por tanto, el vector es
![vector a+c = (0,-2) Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE2-3.png)
Observad que se cumple
![c+a = a+c Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE2-4.png)
Esto se debe a que la suma de vectores es conmutativa (por serlo la suma de los reales).
Problema 3
Sean los puntos
![puntos P y Q del problema 3 Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vector3.png)
Encontrar el vector que va de P a Q y el vector que va de Q a P.
Ver solución
El vector que va de P a Q es
![calculamos el vector que une los puntos P=(0,2) y Q=(-3,5): PQ=(-3,3) Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE3-1.png)
Representación:
![representación del vector PQ=(-3,3) que une los puntos P=(0,2) y Q=(-3,5) Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE3-1b.png)
El vector que va de Q a P es
![vector que une los puntos Q=(-3,5) y P=(0,2): QP = (3,-3) Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE3-2.png)
Representación:
![representación del vector QP = (3,-3) que une los puntos Q=(-3,5) y P=(0,2) Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE3-1c.png)
Observad que el vector \(\vec{QP}\) es el vector opuesto a \(\vec{PQ}\), es decir, \(\vec{QP} = -\vec{PQ}\). Tienen la misma dirección y la misma longitud, pero sentido opuesto.
Problema 4
Sean los puntos
![puntos P y Q del problema 4 Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vector4.png)
Encontrar el vector que va de P a Q y el vector que va de Q a P.
Ver solución
El vector que va de P a Q es
![calculamos el vector que va del punto P=(0.3, -1) a Q=(1,1.2): PQ = (0.7, 2.2) Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE4-1.png)
Representación:
![representación del vector PQ = (0.7, 2.2) que va del punto P=(0.3, -1) a Q=(1,1.2) Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE4-1b.png)
Por lo que vimos en el ejercicio anterior, para calcular el otro vector es suficiente
multiplicar el vector anterior por el escalar -1 para cambiar su sentido:
![el vector QP es el vector PQ cambiado de signo: QP=(-0.7,-2.2) Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE4-2.png)
Problema 5
Sean los puntos
![puntos P y Q del problema 5 Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vector5.png)
Encontrar el vector que va de P a Q y el vector que va de Q a P.
Ver solución
El vector que va de P a Q es
![calculamos el vector que va del punto P=(raíz(3),raíz(2)) al punto Q=(2Raíz(3),-raíz(2)): PQ = (raíz(3),-2raíz(2)) Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE5-1.png)
Para calcular el otro vector es suficiente
multiplicar el vector anterior por el escalar -1 para cambiar su sentido:
![vector QP = (-raíz(3),2raíz(2)) Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE5-2.png)
Problema 6
Sea el vector
![vector v = (-5, 4) del problema 6 Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vector6.png)
Obtener el vector igual a
pero con sentido contrario.
Ver solución
Para obtener el mismo vector pero con sentido contrario sólo tenemos
que multiplicar por el escalar -1:
![multiplicamos el vector v=(-5,4) por -1 obteniendo w = (5,-4) Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE6-1.png)
Problema 7
Sea el vector
![vector v = (-5,4) del problema 7 Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vector7.png)
Obtener el vector simétrico de
respecto del eje de abscisas.
Ver solución
El eje de las abscisas es el horizontal.
Para tener una simetría respecto de este eje, la
primera coordenada debe ser la misma.
Cambiamos el signo a la segunda y tenemos el vector simétrico:
![el vector simétrico al vector (-5,4) respecto del eje de abscisas es w = (-5,-4) Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vector7-1.png)
Representación:
![representación del vector v=(-5,4) y su vector simétrico respecto del eje de abscisas, w=(-5,-4) Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vector7-2.png)
Problema 8
Sea el vector
![vector w = (3,2) del problema 8 Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vector8.png)
Obtener el vector simétrico de
respecto del eje de ordenadas.
Ver solución
Como la simetría es respecto del eje vertical, tenemos que
cambiar el signo a la primera coordenada del vector:
![el vector simétrico al vector w=(3,2) respecto del eje de ordenadas es v=(-3,2) Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vector8-1.png)
Representación:
![representación del vector w=(3,2) y del vector simétrico respecto del eje de ordenadas, v=(-3,2) Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vector8-2.png)
Problema 9
Encontrar el vector
que va del punto
O al punto P y el vector
que va del punto A al punto B:
![coordenadas de los puntos =, P, A y B del problema 9 Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vector9.png)
Explicar la relación existente entre ambos vectores.
Ver solución
El vector que va de O a P es
![calculamos el vector que va del origen al punto P=(-1,1): v = (-1,1) Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vector9-1.png)
El vector que va de A a B es
![calculamos el vector que va del punto A=(3,3) al punto B=(2,4): w = (-1,1) Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vector9-2.png)
Ambos vectores son el mismo vector porque tienen las mismas coordenadas, aunque están situados en distintos lugares del plano.
Si estamos en el punto O y nos movemos una unidad a la izquierda y
una unidad hacia arriba, entonces llegamos al punto P.
Si estamos en el punto A y realizamos los mismos movimientos,
llegamos al punto B.
![representación del mismo vector (-1,1) en distintos puntos del plano Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vector9-3.png)
Problema 10
Calcular el módulo de los siguientes vectores del plano:
![coordenadas de los vectores del problema 10 Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vector10.png)
¿Un vector queda determinado por su módulo? Es decir,
si dos vectores tienen el mismo módulo, ¿son el mismo vector?
Ver solución
Recordemos que el módulo de un vector
\(\vec{v}=(v_1,v_2)\) es
![el módulo de v=(v1,v2) es raíz((v1)^2 + (v2)^2) Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorT3-2.png)
Calculamos el módulo del primer vector:
![calculamos el módulo del vector v=(0,-2): |v| = 2 Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vector10-1.png)
Calculamos el módulo del segundo vector:
![calculamos el módulo del vector w=(-2,0): |w| = 2 Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vector10-2.png)
Calculamos el módulo del tercer vector:
![calculamos el módulo del vector a=(2,0): |a| = 2 Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vector10-3.png)
Calculamos el módulo del cuarto vector:
![calculamos el módulo del vector b=(0,2): |b| = 2 Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vector10-4.png)
Calculamos el módulo del quinto vector:
![calculamos el módulo del vector m=(-raíz(2),-raíz(2)): |m| = 2 Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vector10-5.png)
Calculamos el módulo del sexto vector:
![calculamos el módulo del vector n=(raíz(19/5,-3raíz(10)/5): |n| = 2 Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vector10-6.png)
Observad que el módulo de todos los
vectores es 2. Es por ello que, al representar
los vectores partiendo desde el origen, todos terminan en la circunferencia
de radio 2:
![representación de los 6 vectores con módulo igual a 2 Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vector10-7.png)
Como vemos en este ejercicio, existen muchos vectores con el mismo módulo. Hay infinitos vectores con módulo igual a 2. Por consiguiente, el módulo no es suficiente para determinar un vector.
Problema 11
¿Cuántos vectores unitarios
existen? Los vectores unitarios son los que cumplen que su módulo es 1:
![|v| = 1 Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vector11.png)
Ver solución
Existen infinitos vectores cuyo módulo es la unidad.
Consideremos la circunferencia de radio 1, entonces existe un vector unitario
por cada uno de sus puntos (del origen al punto):
![representación de vectores unitarios del plano Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vector11-1.png)
Problema 12
Calcular un vector que sea unitario (módulo 1) y tenga la misma dirección y
sentido que
![v = (1, -4/3) Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vector12x.png)
¿Existen más vectores unitarios con la misma dirección y sentido que el vector
?
Ver solución
El único vector con la misma dirección
y sentido que
lo podemos encontrar dividiendo las
coordenadas del vector
por su módulo (siempre que su módulo no sea 0):
![vector unitario del vector v: w = v/|v| Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE12-1.png)
Calculamos el módulo de
:
![calculamos el módulo del vector v=(1,-4/3): |v| = 5/3 Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE12-2.png)
Por tanto, el vector unitario (con el mismo sentido y dirección que
) es
![dividimos el vector v=(1,-4/3) entre su módulo obteniendo su vector unitario: w = (3/5, -4/5) Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE12-3.png)
Problema 13
Sea
un vector cualquiera, demostrar que:
![el módulo de v es 0 si y solo si v es 0 Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vector13.png)
Es decir, el módulo de un vector es 0 sólo si es el vector nulo
$$ v = (0,0) $$
y si
es el vector nulo, entonces su módulo es 0.
Ver solución
Las coordenadas del vector son
![vector v = (v1, v2) Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE13-1.png)
Su módulo es
![módulo del vector v = (v1, v2): |v| = raíz( (v1)^2 + (v2)^2) Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE13-2.png)
Supongamos que el módulo del vector es 0, entonces
![igualamos a 0 el módulo del vector v Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE13-3.png)
Elevamos al cuadrado:
![elevamos al cuadrado en la igualdad Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE13-4.png)
Entonces,
![ecuación (v1)^2 + (v2)^2 = 0 Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE13-5.png)
Recordad que todo número real
al cuadrado es 0 ó un número positivo.
Como tenemos que la suma de los dos cuadrados es 0,
necesariamente los dos sumandos han de ser 0, es decir,
![v1 = v2 = 0 Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE13-6.png)
Por tanto, el vector es el vector nulo:
![vector nulo v = (0,0) Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE13-7.png)
Falta demostrar que el módulo del vector nulo es 0,
pero esto es inmediato ya que
![calculamos el módulo del vector nulo v = (0,0) Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE13-8.png)
Problema 14
Sea
un vector cualquiera y λ un número real (un escalar), demostrar que:
![el módulo del producto de un escalar por un vector es el producto de los módulos del escalar por el vector Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vector14.png)
Ver solución
Si las coordenadas del vector son
![vector v = (v1, v2) Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE14-1.png)
Entonces, al multiplicar por el escalar tenemos que
![producto del escalar λ por el v = (v1, v2): λ·v = (λ·v1, λ·v2) Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE14-2.png)
Por tanto, el módulo del producto es
![calculamos el módulo del vector λ·v Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE14-3.png)
Aplicamos las propiedades de las potencias:
![simplificamos un poco Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE14-4.png)
Podemos extraer el escalar de la raíz ya que está al cuadrado,
pero como no sabemos si es positivo o negativo, tenemos que
extraerlo con valor absoluto:
![operando, llegamos a |λ|·|v| Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE14-5.png)
Queda demostrado que
![|λ·v| = |λ|·|v| Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vector14.png)
Problema 15
Sean
y
dos vectores arbitrarios. Demostrar que
![el módulo del producto de vectores es menor o igual que el producto de los módulos de los vectores Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vector15.png)
El producto de la izquierda es el producto escalar
de dos vectores; el producto de la derecha es el producto de los
números reales. En la izquierda, las barras son
un valor absoluto; en la derecha, las barras son los módulos.
Ver solución
Tenemos dos formas de calcular el producto
escalar de dos vectores: multiplicando las coordenadas
o multiplicando
los módulos y el coseno del ángulo. Usaremos la segunda:
![producto escalar de dos vectores: v·w = |v|·|w|·cos(α) Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE15-1.png)
Por tanto, el valor absoluto de la expresión anterior es
![|v·w| = ||v|·|w|·cos(α)| Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE15-2.png)
Usamos la propiedad: el valor absoluto
de un producto es el producto de los valores absolutos:
![||v|·|w|·cos(α)| = ||v||·||w||·|cos(α)| Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE15-3.png)
Finalmente, sabemos que el coseno está entre -1 y 1, por tanto
![|cos(α)| ≤ 1 Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE15-4.png)
Además, como el módulo de un vector es siempre no negativo
(es una raíz cuadrada), se cumple que
![||v|| = |v|, ||w|| = |w| Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE15-5.png)
Luego queda demostrado que
![|v·w| ≤ |v|·|w| Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vector15.png)
Problema 16
Sean
y
dos vectores arbitrarios. Demostrar que
![desigualdad triangular para vectores del plano: |v+w|≤ |v| + |w| Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vector16.png)
Ver solución
Sean los vectores
![vectores v y w Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE16-1.png)
La suma de los vectores es
![suma de vectores v + w Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE16-2.png)
Luego el módulo de la suma es
![calculamos el módulo de la suma de vectores v + w Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE16-3.png)
Elevamos al cuadrado:
![calculamos el cuadrado |v + w|^2 Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE16-4.png)
Reagrupamos los sumandos
![operamos un poco Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE16-5.png)
Notemos que en la expresión anterior tenemos los módulos de los vectores
al cuadrado y el producto escalar de vectores.
Así que
![|v + w|^2 = |v|^2 + |w| + 2·(v·w) Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE16-6.png)
Por otro lado, la suma de los dos módulos de los vectores al cuadrado es
![(|v| + |w|)^2 = |v|^2 + |w|^2 + 2·|v|·|w| Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE16-6b.png)
Es suficiente demostrar que
![v·w ≤ |v|·|w| Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE16-7.png)
Pero esto es cierto ya que si aplicamos la propiedad del ejercicio 15,
![v·w ≤ |v·w| ≤ |v|·|w| Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE16-8.png)
Problema 17
Sean los vectores
![vectores del problema 17 Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vector17.png)
Calcular los siguientes productos escalares:
![productos escalares de vectores para calcular en el problema 17 Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vector17x.png)
Ver solución
Recordamos que podemos calcular el producto escalar
de dos vectores de dos formas distintas: multiplicando sus coordenadas:
![fórmula 1 del producto escalar: v·w = v1·w1 + v2·w2 Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE17-1.png)
O multiplicando sus módulos por el coseno del ángulo α que forman:
![fórmula 2 del producto escalar: v·w = |v|·|w|·cos(α) Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE17-2.png)
En este ejercicio, como conocemos las coordenadas,
usaremos la primera de las fórmulas.
El primer producto es
![calculamos el producto escalar de los vectores a y b: (2,-5)·(-1,-3) = 13 Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE17-3.png)
El segundo producto es
![calculamos el producto escalar de los vectores a y v: (2,-5)·(0,-1) = 5 Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE17-4.png)
El tercer producto es
![calculamos el producto escalar de los vectores a y w: (2,-5)·(-1,0) = -2 Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE17-5.png)
El cuarto producto es
![calculamos el producto escalar de los vectores b y b: (-1,-3)·(-1,-3) = 10 Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE17-6.png)
El quinto producto es
![calculamos el producto escalar de los vectores v y w: (0,-1)·(-1,0) = 0 Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE17-7.png)
Por último, sexto producto es
![w·v = v·w = 0 Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE17-8.png)
porque el producto escalar de vectores es una operación conmutativa.
Problema 18
Calcular, mediante las fórmulas del producto escalar, el ángulo que forman los vectores canónicos del plano, es decir,
![vectores canónicos del plano: e1 = (1,0) y e2 = (0,1) Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vector18.png)
Los llamamos así porque son los vectores de la base canónica del plano.
Ver solución
Primero usaremos la siguiente fórmula del producto escalar
![v·w = |v|·|w|·cos(α) Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE18-1.png)
Calculamos los módulos de los vectores:
![el módulo de los vectores canónicos es 1 Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE18-2.png)
Por tanto, aplicando la fórmula del producto escalar
![calculamos el producto escalar e1·e2 = 1·1·cos(α) Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE18-3.png)
Usamos la otra fórmula del producto escalar:
![v·w = v1·w1 + v2·w2 Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE18-4.png)
Luego
![e1·e2 = 0 Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE18-5.png)
Entonces, tenemos, por un lado
![e1·e2 = cos(α) Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE18-6.png)
Y por otro,
![e1·e2 = 0 Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE18-7.png)
Luego, igualando,
![cos(α) = 0 Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE18-8.png)
Sabemos que si el coseno del ángulo es 0, entonces el ángulo es
![α = 90º ó π/2 rad Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE18-9.png)
(expresado en grados y en radianes).
Estos vectores están situados sobre los ejes de coordenadas, es por ello que son perpendiculares:
![representación de los vectores canónicos del plano Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vector18-1.png)
Problema 19
Calcular el ángulo que forman los vectores
![coordenadas de los vectores v y w del problema 19 Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vector19.png)
Ver solución
Por una lado, el producto escalar de los vectores es
![calculamos el producto escalar (-2,1)·(-2,6) = 10 Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE19-1.png)
Calculamos los módulos
![el módulo de v=(-2,1) es raíz(5) y el de (-2,6) es 2·raíz(10) Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE19-2.png)
Aplicamos la fórmula del producto escalar en la que aparece el coseno:
![v·w = |v|·|w|·cos(α) Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE19-3.png)
De la fórmula conocemos los módulos y el producto. Sustituyendo:
![10 = raíz(5)·2raíz(10)·cos(α) Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE19-4.png)
Aislamos el coseno:
![cos(&alpha) = raíz(2)/2 Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE19-5.png)
Finalmente, para calcular el ángulo tenemos que utilizar la función arcocoseno:
![ángulo α = arccos(raíz(2)/2) = 45º Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE19-6.png)
Hemos expresado el ángulo en grados y en radianes.
![representación de los vectores v = (-2,1) y w = (-2,6) y el ángulo que forman Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vector19-1.png)
Problema 20
Demostrar que los vectores
y
son perpendiculares a
:
![coordenadas de los vectores a, b y v del problema 20 Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vector20.png)
Además, demostrar que los vectores
y
son paralelos entre sí.
Se supone que
$$ x,y \neq 0 $$
Ver solución
Si los vectores son perpendiculares al vector
,
entonces forman un ángulo recto con dicho vector. El coseno de dicho ángulo
es 0:
![coseno(90º) = 0 Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE20-1.png)
Entonces, los productos escalares de los vectores tienen que ser 0.
En efecto, los productos escalares son
![calculamos los productos escalares a·v = 0 y b·v = 0 Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE20-2.png)
Por otro lado, el producto escalar de los vectores
y
es
![producto escalar a·b = -y^2 - x^2 vectores perpendiculares y paralelos en el plano](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE20-3.png)
Los módulos de estos dos vectores son
![módulos de los vectores a y b Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE20-4.png)
Notemos que se cumplen las siguientes igualdades:
![|a| = |b|, a·b = -|a|^2 Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE20-5.png)
Por tanto, aplicando la fórmula del producto escalar
![cos(α) = -1 Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE20-6.png)
Como el coseno del ángulo es -1, entonces el
ángulo es α = 180°. Esto quiere decir que los vectores
y
tienen la misma dirección pero sentidos opuestos. Como consecuencia, son paralelos (el
hecho de que tengan sentidos opuestos no es significante ya que lo que nos interesa
es la dirección).
![representación de los vecores b = (y, -x) y a = (-y, x), que son perpendiculares al vector v =(x, y) Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vector20-1.png)
Problema 21
Demostrar que los vectores
y
son paralelos a
:
![coordenadas de los vectores a, b y v del problema 21 Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vector21.png)
Si ambos son paralelos, ¿por qué el ángulo que forman con
es distinto?
Ver solución
Si dos vectores son paralelos, el ángulo que forman
es de 0 grados ó 180 grados. Por tanto, su producto
escalar tiene que ser 1 ó -1.
En vez de calcular el producto escalar, observemos
que los tres vectores son proporcionales:
![a = 2·v, b = -2·v Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE21-1.png)
El vector
tiene la misma dirección y sentido que
.
La diferencia es que su módulo es el doble:
![el módulo de a es el doble del módulo de v Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE21-2.png)
El vector
tiene la misma dirección que
pero sentido opuesto. Su módulo también es el doble:
![el módulo de b es el doble del módulo de v Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE21-3.png)
Como los tres vectores tienen la misma dirección,
son paralelos. El vector
forma un ángulo de 0 grados
porque tiene el mismo sentido que
,
mientras que el vector
forma un ángulo de 180 grados porque tiene sentido opuesto.
![representación de los vectores a, b y v Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vector21-1.png)
Problema 22
Encontrar el vector unitario que forma un ángulo de 60 grados con el vector
![coordenadas del vector v del problema 22 Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vector22.png)
Ver solución
El vector que buscamos es
![w = (w1, w2) Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE22-1.png)
El producto escalar de los vectores es
![v·w = |v|·|w|·cos(60º) Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE22-2.png)
El módulo del vector
es
![|v| = 2 Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE22-3.png)
Tenemos que exigir que el vector sea unitario:
![|w| = 1 Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE22-4.png)
De este modo, la fórmula del producto escalar queda como
![v·w = 2·cos(60º) Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE22-5.png)
El coseno del ángulo es
![cos(60º) = 1/2 Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE22-6.png)
Luego la fórmula queda como
![v·w = 2·1/2 = 1 Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE22-7.png)
Es decir,
![v·w = 1 Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE22-8.png)
Calculamos el producto escalar multiplicando las coordenadas de los vectores:
![1 = v·w = 2·w2 Repasamos los conceptos y operaciones principales de los vectores del plano y resolvemos 22 problemas (se incluye alguna demostración). vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. Geometría plana. Geometría 2D. Secundaria y bachillerato.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE22-9.png)
Por tanto, tenemos la ecuación de primer grado
![ecuación de primer grado con la segunda coordenada del vector: 2·w2 = 1 vectores que forman un ángulo](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE22-10.png)
Cuya solución proporciona la segunda coordenada del vector:
![solución de la ecuación de primer grado: w2 = 1/2 vectores que forman un ángulo](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE22-11.png)
Para obtener la primera coordenada usamos la ecuación
que nos proporciona haber exigido que el vector sea unitario:
![|w| = 1 vectores que forman un ángulo](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE22-12.png)
Entonces,
![ecuación obtenida a partir del módulo del vector vectores que forman un ángulo](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE22-13.png)
Elevamos al cuadrado ambos lados de la igualdad:
![elevamos al cuadrado la ecuación vectores que forman un ángulo](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE22-14.png)
No olvidemos que al hacer la raíz cuadrada tenemos que escribir los dos signos:
![solución de la ecuación de segundo grado: w1 = ± raíz(3)/2 vectores que forman un ángulo](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE22-15.png)
Hemos obtenido dos vectores que forman dicho ángulo (por un lado y por el otro):
![coordenadas de los dos vectores que forman un ángulo de 60 grados con el vector v y su representación en el plano vectores que forman un ángulo](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vectorE22-16.png)
![representación de los tres vectores en el plano y los ángulos que forman vectores que forman un ángulo](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/vector22-1.png)
Vectores del plano real -
© matesfacil.com
Matesfacil.com
by J. Llopis is licensed under a
Creative
Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.