En esta página explicamos cómo sumar y restar vectores del plano real (\(\mathbb{R}^2\)) analítica y geométricamente, es decir, sin representar los vectores y representándolos. Con ejemplos y 11 problemas resueltos.
En el problema 11 explicamos cómo podemos ver la suma y la resta de vectores como desplazamientos.
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Otros temas de vectores de \(\mathbb{R}^2\):
Recordamos el concepto de vector.
Dado el vector \(\vec{v} = (v_1, v_2)\), llamamos primera y segunda coordenada a \(v_1\) y a \(v_2\), respectivamente.
Representamos el vector \(\vec{v}= (v_1, v_2)\) como una flecha que parte del origen de coordenadas \((0,0)\) hasta el punto con coordenadas \((v_1, v_2)\):
No obstante, recordad que podemos representar al mismo vector en cualquier lugar del plano porque lo importante en los vectores es su longitud, su dirección y su sentido.
Sean los vectores \(\vec{v}\) y \(\vec{w}\) dados por
La suma de los vectores se define como
Es decir,
La suma de dos vectores \(\vec{v}\) y \(\vec{w}\) es el vector cuyas coordenadas son la suma de las coordenadas de \(\vec{v}\) y de \(\vec{w}\).
La suma de vectores es conmutativa, es decir,
$$ \vec{v} + \vec{w} = \vec{w} + \vec{v} $$
Sean los vectores \(\vec{v}\) y \(\vec{w}\) dados por
La resta de los vectores se define como
Es decir,
La resta de dos vectores \(\vec{v}\) y \(\vec{w}\) es el vector cuyas coordenadas son la resta de las coordenadas de \(\vec{v}\) y de \(\vec{w}\).
Calcular analíticamente las sumas de vectores \(\vec{a}+\vec{b}\), \(\vec{a}+\vec{c}\) y \(\vec{b}+\vec{c}\), donde
Sumar geométricamente los siguientes dos vectores:
Calcular geométricamente la suma de los siguientes 8 vectores:
Calcular analíticamente las restas de vectores \(\vec{a}-\vec{b}\), \(\vec{a}-\vec{c}\) y \(\vec{b}-\vec{c}\), donde
Calcular geométricamente la resta de vectores \(\vec{v}-\vec{w}\), donde
Sean los vectores
Comprobar que la resta \(\vec{v}-\vec{w}\) es igual a la suma \(\vec{v}+ \vec{-w} \), siendo \(\vec{-w} \) el vector opuesto de \(\vec{w}\), es decir,
Nota: el vector \(\vec{-w}\) tiene la misma dirección y longitud que \(\vec{w}\), pero sentido contrario.
Calcular geométricamente la siguiente resta de vectores:
siendo los vectores
Ayuda: utilizar el problema anterior.
Dado un vector \(\vec{v}\), calcular el único vector \(\vec{w}\) que cumple
Sea \(\alpha\) un número real cualquiera (llamado escalar) y sea \(\vec{v} = (v_1,v_2)\) un vector, se define el producto del escalar \(\alpha \) por el vector \(\vec{v}\) como el vector
Calcular la siguiente operación:
donde
Todo vector del plano puede escribirse como combinación lineal de los vectores canónicos \(\vec{e_1}\) y \(\vec{e_2}\), siendo
Escribir los siguientes vectores como combinación lineal de los canónicos:
En este problema vamos a ver los vectores como desplazamientos.
Sea el vector
Podemos ver las coordenadas del vector como el desplazamiento de \(v_1\) unidades en dirección horizontal y \(v_2\) unidades en dirección vertical.
Si la primera coordenada es positiva, el desplazamiento es hacia la derecha. Si no, hacia la izquierda.
Si la segunda coordenada es positiva, el desplazamiento es hacia arriba. Si no, hacia abajo.
Determinar el punto en el que nos encontraremos si, partiendo del punto (2,2) del plano, realizamos los siguientes desplazamientos:
¿Qué operación vectorial hemos realizado durante el desplazamiento? ¿Cuál es el punto final si el desplazamiento comienza en el punto (-1,5)?
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