Vector que une dos puntos del plano \(\mathbb{R}^2\)

Las coordenadas de los puntos de la representación anterior son

Calculamos el vector \(\vec{PQ}\):

El vector con sentido contrario, esto es, el vector que va de \(Q\) hasta \(P\) es

Tenemos varias formas de saber si tres puntos \(A\), \(B\) y \(C\) están alineados. Una de ella es comprobar si los vectores \(\vec{AB}\) y \(\vec{AC}\) son proporcionales. Es decir, comprobar si existe un número \(k\neq 0\) tal que

Otra forma es calcular el ángulo \(\alpha\) que forman los vectores \(\vec{AB}\) y \(\vec{AC}\). Si el ángulo es de 0° ó de 180°, entonces los puntos están alineados.

Para calcular el ángulo podemos utilizar la fórmula del producto escalar de dos vectores:

Como el coseno de 0° es 1 y el coseno de 180° es -1, sólo hay que comprobar que el valor absoluto del producto escalar es igual al producto de sus módulos:

Los dos vectores que tenemos que calcular son \(\vec{AB}\) y \(\vec{BA}\).

Calculamos el vector \(\vec{AB}\) restando las coordenadas de \(A\) a las de \(B\):

Representación del vector:

Para calcular el vector \(\vec{BA}\), es suficiente con cambiar el signo de las coordenadas del vector anterior:

Representación del vector:

Una forma de calcular la distancia entre dos puntos es calcular el módulo del vector que los une.

Calculamos el vector \(\vec{AB}\):

Calculamos el módulo del vector:

Por tanto, la distancia entre los puntos \(A\) y \(B\) es \(2\sqrt{2}\) unidades.

Representación:

Calculamos el vector \(\vec{AB}\):

Calculamos el vector \(\vec{AC}\):

Los vectores son proporcionales porque si multiplicamos el primero de ellos por 2, obtenemos el segundo:

Representación:

Calculamos el vector \(\vec{PQ}\):

Calculamos el vector \(\vec{PR}\):

Los vectores no son proporcionales:

Representación:

Calculamos el vector \(\vec{PQ}\):

Su módulo es

Calculamos el vector \(\vec{PR}\):

Su módulo es

Calculamos el producto escalar de los vectores \(\vec{PQ}\) y \(\vec{PR}\):

Calculamos el producto de sus módulos:

Como coinciden, los puntos están alineados.

Representación:

Si los puntos son equidistantes, no pueden estar alineados porque son los vértices de un triángulo equilátero.

Si los puntos son equidistantes, tiene que cumplirse lo siguiente:

Calculamos el vector \(\vec{AB}\):

Su módulo es

Calculamos el vector \(\vec{AC}\):

Su módulo es

No es necesario calcular el otro vector porque ya sabemos que la distancia entre los puntos \(A\) y \(B\) es distinta de la distancia entre los puntos \(A\) y \(C\).

Los puntos no están alineados porque los dos vectores calculados no son proporcionales.

Representación:

Las longitudes de los lados son los módulos de los vectores que unen a los puntos, es decir, de los vectores

Si el triángulo es rectángulo, tiene un ángulo de 90 grados. Como el coseno de 90 grados es 0, el producto escalar de dos de los vectores tiene que ser 0.

Calculamos el vector \(\vec{AB}\):

Calculamos el vector \(\vec{AC}\):

Calculamos su producto escalar:

El lado que une los puntos \(A\) y \(B\) y el que une los puntos \(A\) y \(C\) forma un ángulo recto. Por tanto, el triángulo es rectángulo.

Representación: