Módulo de un vector del plano real
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Módulo de un vector del plano \(\mathbb{R}^2\)

Dedicamos esta página al módulo de los vectores del plano real \(\mathbb{R}^2\). Definimos el módulo, proporcionamos ejemplos, explicamos su significado y propiedades y resolvemos problemas relacionados.

Contenido de esta página:

  1. Introducción
  2. Módulo de un vector
  3. Vector unitario
  4. Propiedades del módulo
  5. 7 problemas resueltos

Otros temas de vectores de \(\mathbb{R}^2\):

1. Introducción

Recordad que la primera coordenada de un vector \(\vec{v} = (v_1,v_2)\) es \(v_1\) y la segunda coordenada es \(v_2\).

El vector \(\vec{v}\) se representa en el plano como una flecha que parte del origen (punto \((0,0)\)) y termina en el punto con las coordenadas del vector, \(P=(v_1,v_2)\):

Definimos el módulo de un vector, proporcionamos ejemplos, explicamos su significado y propiedades y resolvemos problemas relacionados. Geometría plana. 2D. Secundaria, bachillerato.

No obstante, podemos representar el vector \(\vec{v}\) en cualquier punto del plano porque lo que realmente nos importa es su longitud, su dirección y su sentido.


2. Módulo de un vector

Sea \(\vec{v}\) el vector dado por

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Se define su módulo como

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Es decir, el módulo de un vector es la raíz cuadrada (positiva) de la suma de los cuadrados de sus coordenadas.

El módulo del vector \(\vec{v}\) es su longitud.


Ver demostración

3. Vector unitario

Un vector \(\vec{v}\) es unitario cuando su módulo es 1:

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Es decir, el vector \(\vec{v}\) es unitario cuando su longitud es 1.

Si dividimos el módulo de un vector \(\vec{v}\) entre su módulo, obtenemos un vector unitario que tiene la misma dirección y el mismo sentido que \(\vec{v}\). Normalmente, a este vector se le denota por \(\vec{v_u}\) y se le denomina vector unitario de \(\vec{v}\). Ver el Problema 3.



4. Propiedades del módulo

Las propiedades básicas del módulo son las siguientes:

  • El módulo de un vector \(\vec{v}\) es siempre mayor o igual que 0, siendo 0 sólo cuando \(\vec{v} = (0,0)\).

  • Si \(\lambda\) es un número real y \(\vec{v}\) es un vector, entonces

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  • Dados dos vectores \(\vec{v}\) y \(\vec{w}\), el módulo de su suma cumple

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Las demostraciones se encuentran en los problemas 13, 14 y 15 de la página Vectores del plano.

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5. 7 Problemas resueltos

Problema 1

Calcular el módulo de los siguientes 5 vectores y determinar si alguno de ellos es unitario:

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Problema 2

Comprobar que los siguientes 4 vectores tienen el mismo módulo, pero representarlos para determinar cuáles tienen la misma dirección:

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Problema 3

Calcular un vector que tenga la misma dirección y el mismo sentido que el vector \(\vec{v}\), y que, además, sea unitario:

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Problema 4

Calcular un vector que tenga la misma dirección y sentido contario que el vector \(\vec{v}\), pero que sea unitario:

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Representar ambos vectores.

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Problema 5

El módulo de la suma de dos vectores no es la suma de los módulos de los vectores. Comprobarlo calculando los módulos de los vectores \(\vec{v}\) , \(\vec{w}\) y \(\vec{v}+\vec{w}\):

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Representar los tres vectores.

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Problema 6

Calcular el módulo del vector \(\vec{v}\) y el módulo del producto del escalar \(\lambda = -1/3\) por el vector \(\vec{v}=(6,-3)\) para comprobar que se cumple la propiedad siguiente del módulo:

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Problema 7

Demostrar que el módulo del vector unitario de un vector es 1, es decir,

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