Producto escalar de dos vectores del plano y ángulo que forman, con problemas resueltos
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Producto escalar de vectores de \(\mathbb{R}^2\)

En está pagina definimos el producto escalar de dos vectores del plano real, \(\mathbb{R}^2\), enumeramos sus propiedades y resolvemos problemas relacionados. Como aplicación, también definimos y calculamos el ángulo que forman dos vectores.

Contenido de esta página:

  1. Introducción
  2. Definición 1 del producto escalar
  3. Propiedades del producto escalar
  4. Definición 2 del producto escalar
  5. Ángulo entre dos vectores
  6. 10 problemas resueltos

Otros temas de vectores de \(\mathbb{R}^2\):

1. Introducción

Recordamos algunos conceptos necesarios:

Un vector del plano \(\mathbb{R}^2\) es \(\vec{v} = (v_1, v_2)\), siendo \(v_1\) y \(v_2\) números reales, llamados primera y segunda coordenada de \(\vec{v}\).

Dado un escalar \(\alpha\) (un número real), el producto \(\alpha ·\vec{v}\) se calcula multiplicando las coordenadas del vector \(\vec{v}\) por \(\alpha\):

Definimos el producto escalar de dos vectores del plano real (de dos formas), enumeramos sus propiedades y resolvemos problemas relacionados. Como aplicación, también definimos y calculamos el ángulo que forman dos vectores. Matemáticas para secundaria y bachillerato. Geometría plana. Geometría 2D.

El módulo del vector \(\vec{v} = (v_1, v_2)\) es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus coordenadas:

Definimos el producto escalar de dos vectores del plano real (de dos formas), enumeramos sus propiedades y resolvemos problemas relacionados. Como aplicación, también definimos y calculamos el ángulo que forman dos vectores. Matemáticas para secundaria y bachillerato. Geometría plana. Geometría 2D.

Hay dos formas de calcular el producto escalar de dos vectores y debemos conocer ambas.


2. Definición 1 del producto escalar

Sean los vectores del plano \(\vec{v}\) y \(\vec{w}\), se define su producto escalar como

$$ \vec{v}·\vec{w} = |v|·|w|·cos(\alpha) $$

donde \(\alpha\) es el ángulo que forman los vectores \(\vec{v}\) y \(\vec{w}\) entre sí, comprendido en el intervalo \(\left[0, \pi \right]\).

Es decir, el producto vectorial de \(\vec{v}\) y \(\vec{w}\) es el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.

Ver ejemplo 1

Ver ejemplo 2

Recordad que un escalar es cualquier número real \(k\) de \(\mathbb{R}\).

El producto escalar de dos vectores se denomina escalar porque su resultado es un número real.

3. Propiedades del producto escalar

  • Si uno de los dos vectores \(\vec{v}\) ó \(\vec{w}\) es 0, su producto escalar es 0. El recíproco no es cierto: el producto puede ser 0 sin que ninguno de los vectores sea 0 (como en el ejemplo 1).

  • El producto escalar es conmutativo, es decir,

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  • El producto escalar es distributivo respecto de la suma de vectores:

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  • Extracción de un escalar \(\lambda\in\mathbb{R}\):

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  • Si los vectores \(\vec{v}\) y \(\vec{w}\) son ortogonales (perpendiculares), entonces su producto escalar es 0.

  • El producto de un vector por sí mismo es el cuadrado de su módulo:

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  • El módulo de un vector es igual a la raíz cuadrada de su cuadrado:

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4. Definición 2 del producto escalar

El producto escalar de los vectores \( \vec{v} = (v_1, v_2)\) y \(\vec{w} = (w_1, w_2)\) es

$$\vec{v} ·\vec{w} = v_1·w_1 + v_2·w_2 $$

La definición 1 y la definición 2 son equivalentes (el resultado del producto es el mismo).

Ver demostración

5. Ángulo entre dos vectores

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Dados dos vectores \( \vec{v} = (v_1, v_2)\) y \(\vec{w} = (w_1, w_2)\), el ángulo que forman es

$$ \alpha = arccos\left( \frac{v_1·w_1+v_2·w_2}{|\vec{v}|·|\vec{w}|}\right) $$


Ver demostración
X

6. 10 problemas resueltos

Problema 1

Calcular los siguientes productos escalares:

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Calcular también el producto de \(\vec{v}\) por sí mismo para ver que se cumple la propiedad siguiente:

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siendo

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Problema 2

Determinar si los siguientes vectores son ortogonales (perpendiculares):

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Problema 3

Comprobar que dado un vector \(\vec{v} = (v_1, v_2)\) distinto de 0, los siguientes vectores son ortogonales a \(\vec{v}\):

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¿Son \(\vec{u}\) y \(\vec{w}\) ortogonales entre sí?

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Problema 4

Calcular el ángulo que forman entre sí los siguientes vectores:

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Problema 5

Calcular el ángulo que forman entre sí los siguientes vectores:

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Problema 6

Calcular el ángulo que forma un vector \(\vec{v}\) con el vector \(3·\vec{v}\).

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Problema 7

Calcular el ángulo que forman entre sí los siguientes vectores:

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Problema 8

Encontrar el valor del número real \(\lambda\) para que los siguientes vectores sean perpendiculares:

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Problema 9

Encontrar al menos un vector \(\vec{w}\) unitario (módulo igual a 1) que forme un ángulo de 60 grados con el siguiente vector:

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Problema 10

Usando vectores, calcular los ángulos del triángulo cuyos vértices son los puntos

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