Producto escalar de vectores de \(\mathbb{R}^2\)

Calculamos el producto vectorial de los vectores canónicos:

El módulo de ambos vectores es 1:

Y el ángulo que forman es de 90 grados porque un vector esta sobre el eje de abscisas y el otro, sobre el eje de ordenadas:

Como el coseno de 90° es 0, el producto escalar de los vectores es 0:

Calculamos el producto vectorial de los siguientes vectores:

Calculamos el módulo de \(\vec{v}\):

Calculamos el módulo de \(\vec{w}\):

El ángulo que forman los vectores es de 180 grados porque están situados en el mismo eje, pero en sentido opuesto:

Como el coseno de 180° es -1, el producto escalar de los vectores es -1:

Recordad que los vectores canónicos del plano son

Son vectores unitarios y ortogonales (perpendiculares) entre ellos, así que

Sean los vectores

Podemos expresarlos como combinación lineal de los vectores canónicos:

Calculamos el producto escalar:

Vamos a utilizar la segunda definición para no tener que pensar el ángulo que forman los vectores.

Calculamos el producto \(\vec{v}·\vec{w}\):

Calculamos el producto \(\vec{v}·\vec{u}\):

Calculamos el producto \(\vec{w}·\vec{u}\):

Calculamos el producto \(\vec{v}·(\vec{w}+\vec{u})\):

Calculamos el producto \(\vec{v}·\vec{v}\):

Y el cuadrado del módulo de \(\vec{v}\) es

Como los vectores son distintos de 0, son ortogonales si su producto escalar es 0.

Calculamos el producto:

Por tanto, los vectores son ortogonales.

Como el vector \(\vec{v}\) es distinto de 0, sólo tenemos que comprobar que los productos \(\vec{v}·\vec{u}\) y \(\vec{v}·\vec{w}\) son iguales a 0.

Calculamos el producto \(\vec{v}·\vec{u}\):

Calculamos el producto \(\vec{v}·\vec{w}\):

Por tanto,

Los vectores \(\vec{u}\) y \(\vec{w}\) no son ortogonales entre sí porque su producto es distinto de 0:

La última suma no puede ser 0 porque el \(v_1\) y \(v_2\) no pueden ser 0 simultáneamente.

Para calcular el ángulo, utilizamos la siguiente fórmula:

Calculamos el módulo de \(\vec{v}\):

Calculamos el módulo de \(\vec{w}\):

Calculamos el producto escalar (el numerador):

Por tanto,

Los vectores forman un ángulo de 135 grados:

Calculamos el módulo de \(\vec{v}\):

Calculamos el módulo de \(\vec{w}\):

Calculamos el producto escalar (el numerador):

Por tanto,

Los vectores forman un ángulo de 45 grados:

Sea el vector

Entonces, el vector \(3·\vec{v}\) es

El ángulo que forman los vectores es

Aplicamos las propiedades del producto escalar y las del módulo:

Por tanto, los vectores forman un ángulo de 0 grados.

De forma más general, el ángulo que forma un vector \(\vec{v}\) con el vector \(\lambda ·\vec{v}\) siendo \(\lambda \neq 0\) es 0° si \(\lambda > 0\) y 180° si \(\lambda < 0\).

Calculamos el módulo de \(\vec{v}\):

Calculamos el módulo de \(\vec{w}\):

Calculamos el producto escalar (el numerador):

Por tanto,

Los vectores forman un ángulo de 30 grados:

El producto escalar de los vectores tiene que ser 0:

Resolvemos la ecuación:

Por tanto, \(\lambda = 5/3\).

Representación:

Como no conocemos las coordenadas de \(\vec{w}\), las llamaremos \(x\) e \(y\):

El módulo de \(\vec{w}\) tiene que ser 1:

Por tanto, elevando al cuadrado, tenemos la ecuación

Recordad la fórmula del producto escalar:

Como el módulo de los dos vectores es 1, sustituyendo en la fórmula tenemos

Calculamos el producto escalar multiplicando las coordenadas:

Igualando,

Tenemos la primera coordenada de \(\vec{w}\). Calculamos la segunda a partir de la ecuación que obtuvimos anteriormente:

Haciendo la raíz cuadrada, obtenemos los dos valores para la coordenada:

Por tanto, tenemos dos vectores unitarios que forman un ángulo de 60 grados con el vector \(\vec{v}\):

Representación:

Los lados del triángulo son los segmentos que unen los puntos: AB, BC y AC. Podemos ver cada uno de los segmentos como un vector que une dos puntos.

Calculamos el vector que une los puntos A y B:

Su módulo es

Calculamos el vector que une los puntos B y C:

Su módulo es

Calculamos el vector que une los puntos A y C:

Su módulo es

Como los lados miden lo mismo, se trata de un triángulo equilátero y, por tanto, sus tres ángulos miden 60 grados. No obstante, vamos a calcularlos explícitamente con la fórmula

Tened en cuenta que para calcular el ángulo en el vértice B tenemos que calcular el ángulo entre los vectores \(\vec{BA}\) y \(\vec{BC}\) (para que tengan el mismo punto de origen).

Para cambiar el sentido del vector sólo hay que cambiar el signo de sus coordenadas.

Ángulo entre los vectores \(\vec{BA}\) y \(\vec{BC}\):

Ángulo entre los vectores \(\vec{AB}\) y \(\vec{AC}\):

Ángulo entre los vectores \(\vec{CB}\) y \(\vec{CA}\):