Derivada 0 en los extremos relativos (demostración)
logotipo matesfacil

Derivada 0 en los extremos relativos

En esta página demostramos que la derivada nula en un punto es una condición necesaria para ser un extremo relativo.

Contenido de esta página:

  1. Enunciado
  2. Ejemplo
  3. Demostración

Enlace: problemas de máximos y mínimos.

1. Enunciado

Sea la función de variable real \(f:]a,b[\to \mathbb{R}\) derivable en el punto \(x_0 \in ]a,b[\).

Si \(x_0\) es un máximo (o mínimo) relativo de \(f\), entonces su derivada es nula, es decir, \(f'(x_0)=0\).

Recordatorio de extremo relativo:

  • El punto \(x_0\) es un mínimo relativo si existe \(\varepsilon >0\) tal que \(f(x_0) \leq f(x)\) para todo \(x\in ]x_0-\varepsilon , x_0+\varepsilon [\).
  • El punto \(x_0\) es un máximo relativo si existe \(\varepsilon >0\) tal que \(f(x_0) \geq f(x)\) para todo \(x\in ]x_0-\varepsilon , x_0+\varepsilon [\).

2. Ejemplo

Sea la función

Demostración de que la derivada se anula en los extremos relativos (máximos y mínimos). Matemáticas. Cálculo diferencial.

Su gráfica es

Demostración de que la derivada se anula en los extremos relativos (máximos y mínimos). Matemáticas. Cálculo diferencial.

Podemos ver en su gráfica que tiene un máximo en \(x=-1\) y un mínimo en \(x=1\).

La derivada de la función es

Demostración de que la derivada se anula en los extremos relativos (máximos y mínimos). Matemáticas. Cálculo diferencial.

Comprobamos que se anula en los extremos vistos:

Demostración de que la derivada se anula en los extremos relativos (máximos y mínimos). Matemáticas. Cálculo diferencial.


La aplicación de este resultado es obvia: los puntos que anulan la primera derivada (llamados puntos críticos) son posibles extremos relativos de la función.

Para asegurar si un punto crítico es un extremo, podemos aplicar los criterios de la primera o segunda derivada.

Es importarte advertir que un punto crítico sólo es un posible extremo relativo. Anular la derivada es una condición necesaria, pero no suficiente.

X

3. Demostración

Supongamos que \(x_0\) es un máximo local (si es un mínimo, la demostración es análoga).

Por la definición de máximo local, existe un intervalo \( ]x_0-\varepsilon , x_0+\varepsilon [\) entorno de \(x_0\) donde \(f(x) \leq f(x_0)\) para todo \(x\) del entorno.

Para \(x \in ]x_0, x_0+\varepsilon [\) se tiene

Demostración de que la derivada se anula en los extremos relativos (máximos y mínimos). Matemáticas. Cálculo diferencial.

Para \(x \in ]x_0-\varepsilon , x_0 [\) se tiene

Demostración de que la derivada se anula en los extremos relativos (máximos y mínimos). Matemáticas. Cálculo diferencial.

Como consecuencia, los límites laterales de la definición de derivada en \(x_0\) son

Demostración de que la derivada se anula en los extremos relativos (máximos y mínimos). Matemáticas. Cálculo diferencial.

Pero como la función es derivable en el punto \(x_0\), los límites anteriores existen y coinciden, por lo que

Demostración de que la derivada se anula en los extremos relativos (máximos y mínimos). Matemáticas. Cálculo diferencial.





acceso al foro

ejercicios interactivos de matemáticas


Derivada nula en los extremos relativos - © matesfacil.com

Creative Commons License
Matesfacil.com by J. Llopis is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.