Derivada nula en los extremos (relativos)

Demostración de la Condición necesaria de extremo relativo:

La derivada se anula en los extremos relativos.

Enlace: Ejemplos de Aplicación: extremos y monotonía.


Enunciado del teorema

Sea la función de una variable real

demostración, la derivada se anula en los extremos

derivable en el punto

demostración, la derivada se anula en los extremos

y supongamos que x0 es un extremo local (máximo o mínimo relativo) de f.

Entonces, la derivada de f se anula en x0, esto es,

demostración, la derivada se anula en los extremos


Demostración

Supongamos que x0 es un máximo local (si es un mínimo, la demostración es análoga).

Por la definición de máximo local, existe un intervalo entorno de x0 donde f(x) ≤ f(x0) para todo x del intervalo. Es decir,

demostración, la derivada se anula en los extremos

Se cumple que

demostración, la derivada se anula en los extremos

y que

demostración, la derivada se anula en los extremos

Como consecuencia,

demostración, la derivada se anula en los extremos

Pero estos límites existen y valen lo mismo por ser f derivable en x0, de donde se deduce que

demostración, la derivada se anula en los extremos


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