Continuidad de funciones (con ejercicios)
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Continuidad de funciones

Contenido de esta página:

  1. Concepto de continuidad
  2. Continuidad de las funciones elementales
  3. Límites laterales
  4. Funciones definidas a trozos
  5. 25 ejercicios resueltos

1. Concepto de continuidad

Intuitivamente, una función es continua si su gráfica puede dibujarse de un solo trazo, es decir, sin levantar el lápiz del papel.

Ejemplo de función continua: \(f(x) = x^3\).

Gráfica:

Explicamos el concepto de continuidad de una función (especialmente en el caso de las funciones continuas, por lo que usamos límites laterales). Proporcionamos ejemplos y resolvemos ejercicios de calcular el dominio y la continuidad. Ejercicios resueltos. Matemáticas. Bachillerato. Análisis.


Ejemplo de función no continua: \(f(x) = 1/x\).

Gráfica:

Explicamos el concepto de continuidad de una función (especialmente en el caso de las funciones continuas, por lo que usamos límites laterales). Proporcionamos ejemplos y resolvemos ejercicios de calcular el dominio y la continuidad. Ejercicios resueltos. Matemáticas. Bachillerato. Análisis.

Definición formal:

La función \(f\) es continua en el punto \(c\) si

$$ \lim_{x \to c} f(x) = f(c) $$

La función \(f\) es continua si es continua en todos los puntos.

Por ejemplo, la función \(f(x) = 1/x\) no es continua en \(x=0\) porque no existe \(f(0)\).

Observaciones:

En realidad, para hablar de continuidad en un punto \(a\), debería ser indispensable que el punto \(a\) pertenezca al dominio de la función.

Por ejemplo, el dominio de \(f(x)=1/x\) es \(\mathbb{R}-\{0\}\) y la función es continua en su dominio. Sin embargo, no existe el límite de \(f(x)\) cuando \(x\to 0\) ni existe \(f(0)\), por lo que decimos que \(f\) no es continua en \(x=0\).

Como normalmente consideramos a todas las funciones como \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\), tenemos que calcular primero el dominio de la función y, después, la continuidad en el dominio.

2. Funciones elementales

  • Funciones polinómicas

    $$ f(x) = a_m x^m \ +\ a_{m-1}x^{m-1}\ + $$ $$+\ ...\ +\ a_1 x\ +\ a_0$$

    Son continuas en todos los reales.

  • Funciones racionales

    $$f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}$$

    Son continuas en todos los reales excepto en los que anulan al denominador.

  • Funciones exponenciales

    $$f(x)= a^x$$

    Como regla general, son continuas en todos los reales. Cuando la base es no positiva, \(a\leq 0\), puede haber complicaciones.

  • Funciones logarítmicas

    $$f(x) = \log(x)$$

    Son continuas en todos los reales positivos.

  • Funciones irracionales

    $$f(x) = \sqrt[n]{x}$$

    Si \(n\) es par, son continuas en todos los reales. Si \(n\) es impar, en los reales positivos.

  • Funciones trigonométricas

    El seno y el coseno son continuas en todos los reales. La tangente no es continua en \(\pi/2 +n\pi\) para todo entero \(n\).

La mayoría de las funciones que veremos son combinaciones de las anteriores, así que es recomendable aprender su continuidad.

3. Límites laterales

Intuitivamente, el límite de una función \(f(x)\) cuando \(x\to a\) es el valor al que \(f(x)\) se aproxima cuando \(x\) se aproxima a \(a\).

Sin embargo, en ocasiones, la función \(f(x)\) se aproxima a uno u otro valor según si \(x\) se aproxima a \(a\) por la izquierda o por su derecha. Por esta razón existe el concepto de límite lateral.

Límite lateral de \(f(x)\) cuando \(x\) tiende a \(a\) por la izquierda:

$$ \lim_{x\to a^-} f(x) $$

Límite lateral de \(f(x)\) cuando \(x\) tiende a \(a\) por la derecha:

$$ \lim_{x\to a^+} f(x) $$


Si los límites laterales no coinciden, diremos que no existe el límite:

$$ \not\exists\lim_{x\to a} f(x) $$

Si coinciden, entonces

$$ \lim_{x\to a^+} f(x) =\lim_{x\to a} f(x)= \lim_{x\to a^-} f(x) $$

Por ejemplo, la gráfica de \(f(x) = 1/(2x)\) es

Explicamos el concepto de continuidad de una función (especialmente en el caso de las funciones continuas, por lo que usamos límites laterales). Proporcionamos ejemplos y resolvemos ejercicios de calcular el dominio y la continuidad. Ejercicios resueltos. Matemáticas. Bachillerato. Análisis.

En la gráfica se observa que

  • Cuando \(x\) se aproxima a 0 por la derecha, la función crece indefinidamente: $$ \lim_{x\to 0^+} 1/2x = +\infty $$
  • Cuando \(x\) se aproxima a 0 por la izquierda, la función decrece indefinidamente: $$ \lim_{x\to 0^-} 1/2x = -\infty $$

Por tanto, no existe el límite cuando \(x\to 0\):

$$ \not \exists\lim_{x\to 0} 1/2x $$

4. Funciones definidas a trozos

Las funciones definidas a trozos son funciones cuya definición depende del valor que toma la variable \(x\).

Por ejemplo,

Explicamos el concepto de continuidad de una función (especialmente en el caso de las funciones continuas, por lo que usamos límites laterales). Proporcionamos ejemplos y resolvemos ejercicios de calcular el dominio y la continuidad. Ejercicios resueltos. Matemáticas. Bachillerato. Análisis.

Gráfica:

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La continuidad de una función definida a trozos depende de la continuidad de las funciones que la componen, pero puede haber discontinuidades en los puntos donde cambia la definición.

Siempre hay que estudiar la continuidad de la función en los puntos donde cambia su definición. Para ello, usamos los límites laterales.

Por ejemplo, la función anterior sólo es discontinua donde cambia su definición: \(x = 0\). Por la izquierda tiende a 0 y por la derecha tiende a 1.

Más ejemplos en

X

5. 25 ejercicios resueltos

Estudiar la continuidad de las siguientes funciones \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\).

Ejercicio 1

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Solución

Ejercicio 2

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Solución

Ejercicio 3

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Solución

Ejercicio 4

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Solución

Ejercicio 5

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Solución

Ejercicio 6

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Solución

Ejercicio 7

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Solución

Ejercicio 8

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Solución

Ejercicio 9

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Solución

Ejercicio 10

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Solución

Ejercicio 11

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Ejercicio 12

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Solución

Ejercicio 13

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Ejercicio 14

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Solución

Ejercicio 15

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Solución

Ejercicio 16 (dificultad alta)

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Solución

Ejercicio 17

Explicamos el concepto de continuidad de una función (especialmente en el caso de las funciones continuas, por lo que usamos límites laterales). Proporcionamos ejemplos y resolvemos ejercicios de calcular el dominio y la continuidad. Ejercicios resueltos. Matemáticas. Bachillerato. Análisis.

siendo \(a\in\mathbb{R}\) un parámetro.

Solución

Ejercicio 18 (dificultad alta)

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donde \(b\in\mathbb{R}\) es un parámetro.

Solución

Ejercicio 19

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Solución

Ejercicio 20

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Solución

Ejercicio 21

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Solución

Ejercicio 22

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Solución

Ejercicio 23

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Solución

Ejercicio 24

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Solución

Ejercicio 25

Explicamos el concepto de continuidad de una función (especialmente en el caso de las funciones continuas, por lo que usamos límites laterales). Proporcionamos ejemplos y resolvemos ejercicios de calcular el dominio y la continuidad. Ejercicios resueltos. Matemáticas. Bachillerato. Análisis.

siendo \(r\in\mathbb{R}\) un parámetro.

Solución


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