Fracció irreductible

Si calculem la divisió "numerador" dividit entre "denominador", obtenim el mateix resultat:

Sigui \(x/y\) una fracció reductible.

L'existència d'una fracció irreductible equivalent és immediata ja que només cal dividir numerador i denominador entre el seu màxim comú divisor.

Per provar la unicitat, suposem que les fraccions \(a/b\) i \(c/d\) són dues fraccions irreductibles equivalents a \(x/y\).

Tenim

Com que \(ad = cb\), la factorització en factors primers de \(ad\) ha de coincidir amb la de \(cb\).

Com que \(a\) i \(b\) són nombres coprimers, no comparteixen factors en les seves factoritzacions i, per tant, la factorització d'\(a\) ha d'estar continguda en la de \(c\).

Raonant de la mateixa manera per a \(c\) i \(d\), la factorització de \(c\) ha d'estar continguda en la d'\(a\).

Per tant, \(a\) i \(c\) tenen la mateixa factorització, pel que \(a=c\). Com a conseqüència, \(d=b\):

Açò implica \(a =c\) i, per tant, les fraccions \(a/b\) i \(c/d\) són iguals.

Calcularem el màxim comú divisor del numerador i del denominador de cada fracció. Si aquest és 1, són irreductibles.

• El màxim comú divisor de 3 i 6 és

  

  Per tant, la fracció \(3/6\) no és irreductible.

• El màxim comú divisor de 5 i 9 és

  

  Per tant, la fracció \(5/9\) sí és irreductible.

• El màxim comú divisor de 11 i 3 és

  

  Per tant, la fracció \(11/3\) sí és irreductible.

• El màxim comú divisor de 2 i 5 és

  

  Per tant, la fracció \(2/5\) sí és irreductible.

• El màxim comú divisor de 8 i 12 és

  

  Per tant, la fracció \(8/12\) no és irreductible.

• El màxim comú divisor de 6 i 15 és

  

  Per tant, la fracció \(6/15\) no és irreductible.

• El màxim comú divisor de 21 i 15 és

  

  Per tant, la fracció \(21/15\) no és irreductible.

• El màxim comú divisor de 1 i 3 és

  

  Per tant, la fracció \(1/3\) sí és irreductible.

Anem a dividir el numerador i el denominador de cada fracció entre el seu màxim comú divisor:

• El màxim comú divisor de 15 i 30 és

  

  Dividim en la fracció:

  

• El màxim comú divisor de 16 i 22 és

  

  Dividim en la fracció:

  

• El màxim comú divisor de 25 i 20 és

  

  Dividim en la fracció:

  

Un opció per resoldre aquest problema és calcular la fracció irreductible de cada una de les fraccions per saber si és \(2/5\) ó \(3/2\). Per variar un poc, resoldrem el problema d'una altra manera. Recordeu que si les fraccions \(a/b\) i \(c/d\) són equivalents, aleshores podem igualar-les:

Podem passar els denominadors de cada fracció multiplicant al numerador de l'altra fracció:

• La fracció \(6/4\) és equivalent a la fracció \(3/2\) ja que

  

• La fracció \(9/6\) és equivalent a la fracció \(3/2\) ja que

  

• La fracció \(10/25\) és equivalent a la fracció \(2/5\) ja que

  

• La fracció \(15/10\) és equivalent a la fracció \(3/2\) ja que

  

La fracció \(3/5\) és irreductible perquè el màxim comú divisor de 3 i 5 és 1.

La fracció \((3·n)/(5·n)\) no és irreductible perquè el màxim comú divisor de \(3·n\) i \(5·n\) és \(n\neq 1\).

Totes les fraccions s'obtenen multiplicant el numerador i el denominador de la fracció \(3/5\) per 1, 2, 3, 4 i 5, respectivament:

La fracció \(3/5\) és irreductible, però les altres no ho són (són reductibles). La fracció irreductible de totes les fraccions és \(3/5\).