Georg Cantor y el conjunto de Cantor

• Dauben, Joseph W. (1979); Georg Cantor: his mathematics and philosophy of the infinite.
• Grattan-Guinness, Ivor (1971); Towards a Biography of Georg Cantor, Annals of Science.
• Purkert, Walter; Ilgauds, Hans Joachim (1985); Georg Cantor: 1845–1918.
• Grattan-Guinness, Ivor (2000); The Search for Mathematical Roots: 1870–1940.

Los extremos 0 y 1 pertenecen al conjunto \( C_n, \forall n\in\mathbb{N} \) y, por tanto, al Conjunto de Cantor.

Los conjuntos \( C_n \) están formados por una unión finita de \( 2^n \) intervalos cerrados, por lo que cada \( C_n \) es cerrado.

Como \( C\) es una intersección (infinita) de cerrados, es cerrado.

Es inmediato que el Conjunto de Cantor es acotado ya que \( C\subset [0,1] \).

Aplicando el Teorema de Heine-Borel, el Conjunto de Cantor es compacto por ser cerrado y acotado.

En la construcción de \( C\) vimos que cada conjunto \( C_n \) está formado por \( 2^n \) intervalos de longitud \( \frac{1}{3^n}\). Luego la longitud de cada uno de estos conjuntos es

$$ \ell(C_n) = \frac{2^n}{3^n} = \left( \frac{2}{3}\right)^n $$

Por tanto, la longitud del Conjunto de Cantor es

$$ \ell(C) = \lim_{n \to \infty}\left( \frac{2}{3}\right)^n = 0 $$

Sea \( x\in C_n\), entonces pertenece a alguno de los \( 2^n \) segmentos de longitud \( \frac{1}{3^n}\) que conforman \( C_n\). Si llamamos \( a_n\) y \( b_n\) a los extremos de dicho intervalo, tenemos que

$$ x\in [a_n, b_n]\subset C_n $$

$$ a_n \leq x \leq b_n $$

Sea \( y \) el extremo que más dista de \( x\), es decir, el punto es \( y = a_n \) si \( |x-a_n| \geq |x-b_n|\) ó \( y = b_n \) en caso contrario. En cualquier caso, como \( y\) es un extremo de \( C_n \), es un punto del Conjunto de Cantor y, además, como la longitud del segmento es \( \frac{1}{3^n}\), se tiene que

$$ |x-y| \leq \frac{1}{3^n}$$

$$ x\neq y, y\in C $$

El conjunto \(C\) es denso en sí mismo si para todo punto \(x\in C\) existe una sucesión \( \{y_n\}_{n\in\mathbb{N}}\) contenida en \( C\) y que converge a \( x\).

Sea \(x \in C\), como \( C\) es la intersección de todos los conjuntos \( C_n\), entonces el punto está en \( C_n, \forall n\in\mathbb{N} \):

$$ x\in \bigcap_{n=0}^{\infty} C_n \Rightarrow$$

$$ x \in C_n, \forall n\in\mathbb{N} $$

Por la Propiedad 4, para cada natural \(n \), existe un punto \( y_n \in C\) tal que

$$ |x-y_n| \leq \frac{1}{3^n}$$

$$ x\neq y_n, y_n\in C $$

Consideremos la sucesión \( \{ y_n\}_{n\in\mathbb{N}}\). Veamos que converge a \( x\):

Sea \( \varepsilon > 0\), entonces existe \( n_0\in\mathbb{N}\) tal que \( \frac{1}{3^{n_0}} \leq \varepsilon\). Por tanto,

$$ |x-y_n| \leq \frac{1}{3^n}\leq \varepsilon , \forall n\geq n_0$$

El interior de un conjunto \( A\) es la unión de todos los abiertos que están contenidos en \(A\) o, equivalentemente,

$$ int(A) = \{ a\in A : \exists B(a,\varepsilon) \subseteq A\} $$

(es decir, el conjunto de puntos de \(A\) para los cuales \(A\) es un entorno).

Nota: \( B(a,\varepsilon) \) representa la bola abierta centrada en \( a\) y de radio \(\varepsilon\).

Probaremos que, dado un punto \( x \) de \(C\), para cualquier \( \varepsilon > 0\) se tiene

$$ B(x,\varepsilon) \cap C^c \neq \emptyset $$

siendo \( C^c \) el complementario de C:

$$ C^c = [0,1]-C $$

Esto significa que ninguna bola centrada en \(x\) está contenida en \(C\) y, por tanto, \(C\) no es un entorno de dicho punto. Es decir, \(x\) no es un punto del interior de \(C\).

Sea \( x \) un punto de \(C\) y sea \( \varepsilon > 0\). Entonces, existe un natural \( m \) tal que

$$ \sigma = \frac{1}{2^{m}} \leq \varepsilon $$

Nótese que

$$ B(x,\sigma)\subseteq B(x,\varepsilon) $$

Como \( C \subset C_n\) para todo \( n\in\mathbb{N}\), se tiene que \( x \in C_n, \forall n\in\mathbb{N}\). En particular, \( x\in C_{m} \).

Razonando como en la Propiedad 4, sabemos que \( C_m \) es la unión de \( 2^m\) intervalos cerrados de longitud \(\frac{1}{3^m}\). El punto \(x\) debe pertenecer a uno de ellos. Supongamos que este intervalo es \([a_m, b_m]\):

$$ x\in [a_m, b_m]\subset C_m $$

Pero como la longitud de este intervalo es

$$ \ell ([a_m,b_m])= \frac{1}{3^m} \leq \frac{1}{2^m},$$

entonces la bola de radio

$$ \sigma = \frac{1}{2^{m}}$$

no está contenida en dicho intervalo. Luego tenemos

$$ B(x,\sigma)\not\subseteq C_m$$

y, por tanto,

$$ B(x,\varepsilon) \cap C^c \neq \emptyset $$

Un conjunto es denso si el interior de su clausura (adherencia) es vacío.

Como el Conjunto de Cantor, \(C\), es cerrado, coincide con su clausura. Además, el interior de \( C\) es vacío. Por tanto, \( C\) es denso en ninguna parte.