Fractal de Vicsek (box fractal)
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Fractal de Vicsek (Box fractal)

Generamos el fractal de Vicsek (o box fractal) por la técnica de string rewriting y calculamos el área, la dimensión de Hausdorff-Besicovitch y el perímetro de este fractal. Incluye representaciones y animaciones. Fractal. Fractales.   Generamos el fractal de Vicsek (o box fractal) por la técnica de string rewriting y calculamos el área, la dimensión de Hausdorff-Besicovitch y el perímetro de este fractal. Incluye representaciones y animaciones. Fractal. Fractales.

En esta página vamos a generar el fractal de Vicsek (o box fractal) por la técnica de string rewriting que explicamos en la página String rewriting: Alfombra de Sierpiński. También, calcularemos el área, la dimensión de Hausdorff-Besicovitch y el perímetro de este fractal.

Otros fractales generados por string rewriting:

Para generar el fractal de Vicsek, comenzamos con el cuadrado unidad (de color negro). En cada iteración, el/los cuadrados los dividimos en otros 5 cuadrados iguales siguiendo un patrón. Los lados de los cuadrados en cada iteración miden una tercera parte de lo que miden en la iteración anterior.

Reglas

Para la primera versión del fractal utilizamos las siguientes reglas de sustitución:

Generamos el fractal de Vicsek (o box fractal) por la técnica de string rewriting y calculamos el área, la dimensión de Hausdorff-Besicovitch y el perímetro de este fractal. Incluye representaciones y animaciones. Fractal. Fractales.

Recordamos que representamos el símbolo 1 como un cuadrado blanco y el símbolo 0 como un cuadrado negro.


Fractal de Vicsek

Comenzamos con el símbolo 0 (iteración \(n=0\)), que es un cuadrado negro de lado 1:

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Iteración \(n=1\):

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Iteración \(n=2\):

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Iteración \(n=3\):

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Iteración \(n=4\):

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Iteración \(n=5\):

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X

Dimensión de Hausdorff

Sean \(N_n\) el número de cuadrados negros y \(L_n\) el lado de los cuadrados en la iteración \(n\). Entonces, la dimensión de Hausdorff del fractal es el siguiente límite:

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Observando las figuras:

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Por tanto, deducimos

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La dimensión de Hausdorff del fractal es

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Área y perímetro

El área del fractal es nula ya que el área en cada iteración es

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El perímetro del fractal es infinito ya que el perímetro en cada iteración es

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Fractal de Vicsek (2)

Para la primera versión del fractal utilizamos las siguientes reglas de sustitución:

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Comenzamos con el símbolo 0 (iteración \(n=0\)), que es un cuadrado negro de lado 1:

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Iteración \(n=1\):

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Iteración \(n=2\):

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Iteración \(n=3\):

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Iteración \(n=4\):

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Iteración \(n=5\):

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Referencias

  • Sloane, N. J. A. Sequences A000351/M3937 and A113209 in The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.




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