Fractal de Vicsek (Box fractal)

$Generamos el fractal de Vicsek (o box fractal) por la técnica de string rewriting y calculamos el área, la dimensión de Hausdorff-Besicovitch y el perímetro de este fractal. Incluye representaciones y animaciones. Fractal. Fractales.$ $Generamos el fractal de Vicsek (o box fractal) por la técnica de string rewriting y calculamos el área, la dimensión de Hausdorff-Besicovitch y el perímetro de este fractal. Incluye representaciones y animaciones. Fractal. Fractales.$

En esta página vamos a generar el fractal de Vicsek (o box fractal) por la técnica de string rewriting que explicamos en la página String rewriting: Alfombra de Sierpiński. También, calcularemos el área, la dimensión de Hausdorff-Besicovitch y el perímetro de este fractal.

Otros fractales generados por string rewriting:

Para generar el fractal de Vicsek, comenzamos con el cuadrado unidad (de color negro). En cada iteración, el/los cuadrados los dividimos en otros 5 cuadrados iguales siguiendo un patrón. Los lados de los cuadrados en cada iteración miden una tercera parte de lo que miden en la iteración anterior.

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Reglas

Para la primera versión del fractal utilizamos las siguientes reglas de sustitución:

Recordamos que representamos el símbolo 1 como un cuadrado blanco y el símbolo 0 como un cuadrado negro.

Fractal de Vicsek

Comenzamos con el símbolo 0 (iteración $n=0$), que es un cuadrado negro de lado 1:

Iteración $n=1$:

Iteración $n=2$:

Iteración $n=3$:

Iteración $n=4$:

Iteración $n=5$:

Dimensión de Hausdorff

Sean $N_n$ el número de cuadrados negros y $L_n$ el lado de los cuadrados en la iteración $n$. Entonces, la dimensión de Hausdorff del fractal es el siguiente límite: