Fractal Polvo de Cantor (Cantor dust)
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Cantor dust (Polvo de Cantor)

Generamos el polvo de Cantor (Cantor dust) por la técnica de string rewriting y calculamos la dimensión de Hausdorff del fractal. Fractal. Fractales.

En esta página vamos a generar el fractal Cantor dust por la técnica de string rewriting que explicamos en la página String rewriting: Alfombra de Sierpiński. También, calcularemos la dimensión de Hausdorff de este fractal.

Otros fractales generados por string rewriting:

El fractal Cantor dust es la versión bidimensional del conjunto de Cantor (también, existe la versión tridimensional). Al igual que el conjunto de Cantor, Cantor dust tiene medida cero.

Reglas

Las dos reglas que utilizamos para generar Cantor dust son las siguientes:

Generamos el polvo de Cantor (Cantor dust) por la técnica de string rewriting y calculamos la dimensión de Hausdorff del fractal. Fractal. Fractales.

Recordamos que representamos el símbolo 1 como un cuadrado blanco y el símbolo 0 como un cuadrado negro.


Cantor dust (Polvo de Cantor)

Comenzamos con el símbolo 0 (iteración \(n=0\)), que es un cuadrado negro de lado 1:

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Iteración \(n=1\):

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Iteración \(n=2\):

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Iteración \(n=3\):

Generamos el polvo de Cantor (Cantor dust) por la técnica de string rewriting y calculamos la dimensión de Hausdorff del fractal. Fractal. Fractales.

Iteración \(n=4\):

Generamos el polvo de Cantor (Cantor dust) por la técnica de string rewriting y calculamos la dimensión de Hausdorff del fractal. Fractal. Fractales.

Iteración \(n=5\):

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X

Dimensión de Hausdorff

Sean \(N_n\) el número de cuadrados negros y \(L_n\) el lado de los cuadrados en la iteración \(n\). Entonces, la dimensión de Hausdorff del fractal es el siguiente límite:

Generamos el polvo de Cantor (Cantor dust) por la técnica de string rewriting y calculamos la dimensión de Hausdorff del fractal. Fractal. Fractales.

Observando las figuras:

Generamos el polvo de Cantor (Cantor dust) por la técnica de string rewriting y calculamos la dimensión de Hausdorff del fractal. Fractal. Fractales.

Por tanto, deducimos

Generamos el polvo de Cantor (Cantor dust) por la técnica de string rewriting y calculamos la dimensión de Hausdorff del fractal. Fractal. Fractales.

La dimensión de Hausdorff del fractal es

Generamos el polvo de Cantor (Cantor dust) por la técnica de string rewriting y calculamos la dimensión de Hausdorff del fractal. Fractal. Fractales.

El área del fractal es nula ya que el área en cada iteración es

Generamos el polvo de Cantor (Cantor dust) por la técnica de string rewriting y calculamos la dimensión de Hausdorff del fractal. Fractal. Fractales.


Referencias

  • Mandelbrot, B. B. The Fractal Geometry of Nature. New York: W. H. Freeman, p. 80, 1983.

  • Ott, E. Chaos in Dynamical Systems. New York: Cambridge University Press, pp. 103-104, 1993.




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