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Georg Cantor

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Georg Cantor (1845-1918)

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918) nació en San Petersburgo (Rusia) en 1845, hijo de alemanes. Al enfermar su padre, en 1856 la familia se trasladó a Alemania. Cantor estudió primero en Alemania y después en la Escuela Politécnica Federal de Zúrich. Regresó a Alemania para ingresar en la Universidad de Berlín, donde pudo asistir a conferencias de ilustres matemáticos como Leopold Kronecker (1823–1891) y Karl Weierstrass (1815-1897). Durante toda su carrera profesional, trabajó en la Universidad de Halle (Alemania).

George Cantor es el creador de la Teoría de conjuntos. Demostró que hay más números reales que naturales y su riguroso estudio del concepto de infinitud le llevó a definir los números cardinales y ordinales, desarrolló importantes conceptos de topología, etc. Con respecto a la topología, definió en 1883 el famoso Conjunto de Cantor y demostró que es denso en ninguna parte y que tiene la misma cardinalidad que los números reales.

Aunque hoy día se le considera uno de los grandes matemáticos de la historia, algunos de sus coetáneos se opusieron con fervor a sus trabajos, como Henri Poincaré (1854–1912) y Leopold Kronecker, e incluso calificaron al Cantor de “charlatán”.

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1. Introducción al Conjunto de Cantor

El Conjunto de Cantor, definido por Cantor en 1883, presenta numerosas propiedades, algunas de ellas aparentemente contradictorias. Por ejemplo, es un conjunto no numerabe con infinitos puntos que no contiene ningún intervalo (es infinitamente poroso).



2. Construcción del Conjunto de Cantor

Vamos a definir el Conjunto de Cantor, \( C\), como el límite de una sucesión de conjuntos \( C_n\), siendo \(n\in\mathbb{N}\).

Consideremos el segmento de longitud 1

$$ C_0 = [0,1] $$

Biografía de Georg Cantor, 
                            	construcción del Conjunto de Cantor
                                y sus propiedades topológicas


Paso \( n = 1 \)

Dividimos el segmento \(C_0\) en tres segmentos iguales y nos quedamos con los dos segmentos que contienen a alguno de los extremos de \(C_0\) (es decir, 0 y 1).

$$ C_1 = [0, 1/3]\cup [2/3, 1] $$

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                                y sus propiedades topológicas

La longitud de cada uno de los \( 2^1 \) segmentos es \( \frac{1}{3}\).


Paso \( n = 2 \)

Dividimos cada uno de los segmentos que conforman \( C_1\) en tres segmentos iguales y nos quedamos con los que contienen a alguno de los extremos de \( C_1 \) (es decir, 0,1/3, 2/3 y 1):

$$ C_2 = [0,1/9]\cup [2/9,1/3]\cup $$

$$ \cup [2/3, 7/9]\cup[8/9,1] $$

Biografía de Georg Cantor, 
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                                y sus propiedades topológicas

La longitud de cada uno de los \( 2^2 \) segmentos es \( \frac{1}{3^2}\).


Repetimos el proceso indefinidamente:

Paso \( n \)

En el paso \( n \), la longitud de los \( 2^n \) segmentos que conforman \( C_n\) es \( \frac{1}{3^n}\).

El conjunto \( C_n \) es

$$ C_n = [0, \frac{1}{3^n}]\cup [\frac{2}{3^n},\frac{3}{3^n}]\cup $$

$$ \cup [\frac{6}{3^n},\frac{7}{3^n}] \cup ...$$

El Conjunto de Cantor, \( C\), es el límite de esta sucesión:

$$ C = \lim _{n\to \infty} C_n $$

Nótese que cada término de la sucesión está contenido en el término que le precede:

$$ ...\subset C_{n+1} \subset C_n \subset C_{n-1} \subset ... \subset C_0$$

El Conjunto de Cantor puede definirse también como

$$ C = \bigcap_{n=0}^{\infty} C_n $$

Utilizaremos las dos definiciones para demostrar las propiedades.


3. Propiedades topológicas de \( C\)

Propiedad 1:

El Conjunto de Cantor es no vacío:

$$ C \neq \emptyset $$

Ver Demostración


Propiedad 2

El Conjunto de Cantor es compacto (en la topología usual de los reales).

Ver Demostración


Propiedad 3

La longitud del Conjunto de Cantor es 0:

$$ \ell(C) = 0 $$

Nota: La longitud cero del conjunto de Cantor nos indica que éste no contiene ningún intervalo abierto.

Ver Demostración


Propiedad 4 (necesario para probar la propiedad 5):

Dado un punto \( x\in C_n \), existe un punto \( y \in C \) distinto de \( x\) tal que

$$ | x-y| \leq \frac{1}{3^n}$$

Ver Demostración


Propiedad 5

El Conjunto de Cantor es denso en sí mismo. Es decir, todo punto de \( C\) es de acumulación.

Ver Demostración


Nota: el Conjunto de Cantor es perfecto (cerrado y denso en sí mismo).

Propiedad 6

El interior del Conjunto de Cantor es vacío:

$$ int(C) = \emptyset $$

Ver Demostración


Propiedad 7

El del Conjunto de Cantor es denso en ninguna parte.

Ver Demostración



4. Dimensión de semejanza

Si se representan distintas etapas de la construcción del Conjunto de Cantor, se observa que el aspecto general del conjunto del paso \( n\) se repite en las partes del conjunto del paso siguiente (a distinta escala). Ésta es una de las propiedades de los fractales (automejantes): la autosimilitud o autosemejanza.

La dimensión de semejanza de un fractal formado por \( n\) copias de sí mismo a escala \(r \) es

$$ D = \frac{ln(n)}{ln\left(\frac{1}{r}\right)} $$

La dimensión del Conjunto de Cantor es

$$ D = \frac{ln(2)}{ln(3)}\simeq 0.6309297535$$



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