logotipo matesfacil

Límites de Sucesiones

En esta página resolvemos problemas de límites de sucesiones. Los problemas se clasifican en dos tipos:

  • Cálculo de límites

  • Cálculo de cuántos términos cumplen determinadas propiedades (como la distancia al límite)

Contenido de esta página:

  • Breve recordatorio

  • 11 problemas resueltos

Temas relacionados:

Nota: Los razonamientos que seguimos para el cálculo de límites de sucesiones son los mismos que los que seguimos para el de límites de funciones (una sucesión es una función definida sobre los naturales). Esto significa que en los límites de las sucesiones pueden aparecer indeterminaciones que ya sabemos cómo resolver: cálculo de límites e indeterminaciones.

Cuando los términos generales de las sucesiones se complican, utilizamos los criterios de convergencia, pero no los necesitaremos en esta página.

Recordatorio

Una sucesión \(a_n\) es convergente a \(L\neq \infty\) (\(L\) es finito) si

Límites de sucesiones: problemas resueltos de límites de sucesiones y de calcular el número de términos que cumplen determinadas propiedades, como la distancia al límite.

En este caso dice que la sucesión \(a_n\) converge a su límite \(L\) y lo expresamos por \(a_n \rightarrow L\). En caso contrario, la sucesión diverge.

Aclaraciones:

  • Si el límite de \(a_n\) es \(+\infty\) ó \(-\infty\), la sucesión diverge.

  • Si el límite de \(a_n\) no existe, la sucesión diverge.

  • La sucesión \(a_n\) sólo converge cuando su límite es finito.

Nota: hacemos las anteriores aclaraciones ya que, para nosotros, la divergencia es la no convergencia, así que una sucesión es convergente o divergente. Algunos consideran que la divergencia es tener límite infinito y, por tanto, una sucesión puede ser convergente (límite finito), divergente (límite infinito) o no convergente ni divergente (sin límite).

X

Problemas Resueltos

Problema 1

Calcular, si existe, el límite de las siguientes sucesiones de cocientes polinomiales:

  • \( a_n= 5/n \)

  • \( a_n= 3 - \frac{2}{n}\)

  • \( a_n= 3 + \frac{1}{n}\)

  • \( a_n= \frac{n^2}{1+n}\)

  • \( a_n = \frac{n^2-2}{2n^2-1} \)

Ver solución

Problema 2

Determinar si las siguientes sucesiones geométricas convergen y calcular su límite:

  • \( a_n = 2\cdot 3^{n-1} \)

  • \( a_n = 5\cdot \left(1/2 \right)^{n-1} \)

  • \( a_n = \frac{1}{5^n} \)

  • \( a_n = 5\cdot \left(3/2 \right)^n \)

  • \( a_n = \frac{3^n}{5^{n-1}} \)

Ver solución

Problema 3 (dificultad alta)

Teniendo en cuenta el término general

Límites de sucesiones: problemas resueltos de límites de sucesiones y de calcular el número de términos que cumplen determinadas propiedades, como la distancia al límite.

¿Cuándo es convergente una progresión geométrica?

Ayuda: considerar los siguientes casos:

  • Si \(r > 1\).

  • Si \(r=1\).

  • Si \(0< r < 1\).

  • Si \(r=0\).

  • Si \(-1 < r < 0\).

  • Si \(-1 ≤ r\).

Ver solución

Problema 4

Calcular, si existe, el límite de las siguientes sucesiones:

  • \( a_n=\frac{(2n^2-1)(n+1)}{5n^3} \)

  • \( a_n = \frac{(n+1)(n+2)}{(n-1)n^2} \)

  • \( a_n = \frac{(1-n)(n+1)}{n} \)

  • \( a_n = \frac{(n+1)(2-n)(5-n)}{(n+3)(2n-1)n} \)

  • \( a_n = \frac{(n-1)(1-2n)}{(1-3n)(2-n)} \)

Ver solución

Problema 5

Calcular los límites de las siguientes sucesiones con raíces:

  • \( a_n = \frac{\sqrt{n+1}}{3n-1} \)

  • \( a_n = \frac{\sqrt[3]{8n^2+3}}{\sqrt[6]{n^4-2}} \)

  • \( a_n = \frac{\sqrt[5]{5n^2+3}}{2\cdot\sqrt[10]{n^4-2}} \)

Ver solución


Problema 6

Hallar el límite de la siguiente sucesión:

Límites de sucesiones: problemas resueltos de límites de sucesiones y de calcular el número de términos que cumplen determinadas propiedades, como la distancia al límite.

Ver solución

Problema 7

¿Cuántos términos de la sucesión \(a_n\) son mayores que 0.01?

Límites de sucesiones: problemas resueltos de límites de sucesiones y de calcular el número de términos que cumplen determinadas propiedades, como la distancia al límite.

Ver solución

Problema 8

¿A partir de qué \(n\) natural se cumple que la distancia entre los términos de la sucesión \(a_n\) y su límite \(L\) es menor que 0.005?

Límites de sucesiones: problemas resueltos de límites de sucesiones y de calcular el número de términos que cumplen determinadas propiedades, como la distancia al límite.

Nota: la distancia entre \(a_n\) y \(L\) es \(d= |a_n - L|\).

Ayuda: Inecuaciones con valor absoluto.

Ver solución

Problema 9 (dificultad alta)

¿A partir de qué natural se cumple que la distancia entre los términos de la sucesión \(a_n\) y su límite \(L\) es menor o igual que 0.15?

Límites de sucesiones: problemas resueltos de límites de sucesiones y de calcular el número de términos que cumplen determinadas propiedades, como la distancia al límite.

Ver solución

Problema 10 (dificultad alta)

¿Cuántos términos de la sucesión \(a_n\) son menores que 100?

Límites de sucesiones: problemas resueltos de límites de sucesiones y de calcular el número de términos que cumplen determinadas propiedades, como la distancia al límite.

Nota: debe resolverse una inecuación de segundo grado.

Ver solución

Problema 11 (dificultad alta)

Sea la sucesión

Límites de sucesiones: problemas resueltos de límites de sucesiones y de calcular el número de términos que cumplen determinadas propiedades, como la distancia al límite.

Comprobar que si \(n\) y \(m\) son mayores que 20, entonces la diferencia entre los términos \(a_n\) y \(a_m\) es menor que 0.05.

Nota: esta propiedad de las sucesiones tiene nombre: sucesión de Cauchy.

Ver solución





acceso al foro

ejercicios interactivos de matemáticas