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Barón de Cauchy

Contenido de esta página:

  • Biografía de Augustin Louis Cauchy

  • Sucesiones de Cauchy


1. Augustin Louis Cauchy (1789-1857)

El barón Augustin Louis Cauchy (1789-1857) nació en París (Francia). Fue uno de los primeros matemáticos que, en los 789 artículos que escribió, enunció y demostró teoremas de forma rigurosa. Los matemáticos Pierre Simon Laplace (1749-1827) y Joseph Louis Lagrange (1736-1813) fueron amigos de la familia Cauchy. De hecho, parece ser que Lagrange se interesó en la educación matemática de Cauchy, e incluso recomendaó al padre de éste que, antes de la educación propiamente matemática, se encargase de que Cauchy aprendiese varios idiomas.

En 1830, por razones políticas, tuvo que abandonar París y se trasladó a Turín (Italia). Tres años más tarde se trasladó a Praga (República Checa), donde fue tutor del hijo de Carlos X. Allí, Cauchy tuvo la oportunidad de reunirse con Bernard Bolzano (1781-1848). En el año 1838 regresó a París, donde diez años después ingresaría en La Sorbonne como profesor de astronomía.

Miembro de la Royal Society (1832) y de la Royal Society de Edimburgo (1845), se le dio su nombre a un cráter lunar, así como a un gran número de términos y resultados en la literatura ciéntifica.

Algunos de los teoremas que llevan su nombre son:

  • Fórmula de Cauchy-Binet.

  • Lema de Cauchy-Frobenius.

  • Teorema de Cauchy-Kovalevskaya.

  • Teorema de Cauchy-Peano.

  • Desigualdad de Cauchy-Schwarz.

Ver Referencias



2. Sucesiones de Cauchy

Daremos primero la definición de una sucesión de Cauchy en los espacios reales \( \mathbb{R}^k \) con la topología usual \( \mathcal{T}_u \).

Utilizaremos la función módulo \( ||\cdot||\) definida como

$$ || x || = \sqrt{\sum_{1\leq i\leq k } {x_i^2}} $$

$$ \forall x = (x_1, x_2,...,x_k) \in\mathbb{R}^k $$

Definición 1

Una sucesión \( \{x_n\}_{n\in\mathbb{N}} \subset \mathbb{R}^k \) es de Cauchy si para todo \( \varepsilon > 0\), existe un natural \( n_0 \in\mathbb{N}\) tal que

$$ ||x_n - x_m|| \leq \varepsilon,$$

$$ \forall n,m\geq n_0 $$


Interpretación geométrica y ejemplo

Una sucesión es de Cauchy si la diferencia entre cualquier par de términos es tan pequeña como se desee, \( \varepsilon \), a partir de un determinado término \(n_0\)-ésimo (\(n_0\) depende de \( \varepsilon \)).

Biografía de Cauchy y las sucesiones de Cauchy

La sucesión de la imagen es

$$ \lbrace 1/n \rbrace _{n\in \mathbb{N}}\subset \mathbb{R}$$

Demostración de que la sucesión es de Cauchy:

Dado \( \varepsilon > 0\), sea \( n_0 \in \mathbb{N}\) tal que \( 1/\varepsilon \leq n_0\). Se cumple que

$$ \frac{1}{n} \leq \varepsilon, \forall n \leq n_0 $$

Sean \(n,m > n_0 \), siendo \( m>n\) entonces

$$ \left|x_n - x_m \right| = \left| \frac{1}{n}-\frac{1}{m}\right| = $$

$$ = \left| \frac{m-n}{nm}\right| \leq \left| \frac{m}{nm}\right| = $$

$$ = \frac{1}{n} \leq \varepsilon $$


Definición 2

Sea \(( X, d)\) un espacio métrico. Una sucesión \( \{x_n\}_{n\in\mathbb{N}} \subset X \) es de Cauchy si para todo \( \varepsilon > 0\), existe un natural \( n_0 \in\mathbb{N}\) tal que

$$ d(x_n, x_m) \leq \varepsilon,$$

$$ \forall n,m\geq n_0 $$


Teorema 1

En un espacio métrico \(( X, d)\), toda sucesión \( \{x_n\}_{n\in\mathbb{N}} \) convergente es una sucesión de Cauchy.

Ver Demostración


Definición 3

Un espacio métrico \(( X, d)\) es completo si toda sucesión de Cauchy es convergente.

Por tanto, en los espacios métrico completos, una sucesión es convergente si, y sólo si, es de Cauchy.


Ejemplos:



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