Multiplicar y dividir fracciones

Ejemplo: multiplicamos las fracciones dos séptimos y cinco tercios:

La fracción obtenida ya es irreductible.

Como regla mnemotécnica, suelen escribirse las flechas PARALELAS (PRODUCTO) para indicar los números que deben multiplicarse; para el COCIENTE (división) se utilizan las felchas CRUZADAS.

Ejemplo: dividimos las fracciones dos séptimos y cinco tercios:

Las flechas indican los números que multiplicamos (en cruz).

• Regla mnemotécnica: el Producto se calcula multiplicando en Paralelo y el Cociente (división) se calcula multiplicando en Cruz.

• La división puede representarse como una fracción de fracciones. Por ejemplo,

  

  Regla mnemotécnica: en el numerador multiplicamos el de arriba, 2, por el de abajo, 7; y en el denominador, los dos del medio, 7 y 5.

• Producto por el inverso: el producto de una fracción por su inverso (cambiamos numerador por denominador) es 1. Por ejemplo, el inverso de \(2/7\) es

  

  Entonces,

  

  Nota: no ocurre lo mismo con la división. Si dividimos la fracción por sí misma, obtenemos 1; pero no si la dividimos por su inversa (obtenemos su cuadrado):

  

• El producto es conmutativo:

  

  Pero la división NO es conmutativa:

  

  Excepto en el caso en el que

  

Si queremos calcular el producto o la división de una fracción por un número, podemos escribir el número como una fracción cuyo denominador es 1 y aplicar las reglas que hemos visto.

Ejemplo: consideremos el entero 3 y la fracción

Podemos escribir el entero como

Su producto es:

Las divisiones son

Habitualmente nos encontramos con problemas (de aplicación de las fracciones) en los que tenemos que calcular sumas y restas de fracciones, o bien, fracciones de una cierta cantidad.

Recordad que cuando queremos calcular la fracción de una cantidad, multiplicamos la fracción por dicha cantidad. Por ejemplo, calculamos dos tercios de 27:

En ocasiones, las cantidades de las cuales queremos conocer su fracción es también una fracción (ver ejercicio 9). Entonces, tenemos que calcular el producto de las dos fracciones.

Por ejemplo, dos tercios de tres cuartos son

Nota: en la última igualdad hemos reducido la fracción.

Recordad que dividir entre un número es lo mismo que multiplicar por su inverso. Por ejemplo, como el inverso de \(2\) es \(2^{-1} = 1/2\),

$$ 3:2 = \frac{3}{2} = 3·\frac{1}{2} = 3·2^{-1}$$

Podemos hacer lo mismo con las fracciones (el inverso de una fracción se obtiene intercambiando numerador y denominador).

Ejemplo:

El producto se calcula multiplicando el natural en el numerador:

Simplificamos el resultado dividiendo entre 3:

El segundo producto es

No podemos simplificar el resultado ya que la fracción es irreductible.

Para tabajar con fracciones, escribiremos los dos números naturales como fracciones. Esto lo podemos hacer, por ejemplo, añadiendo el denominador 1 (hay otras formas, por ejemplo, \(2 = 4/2\)).

Recordad que la división se calcula multiplicando en cruz.

Dividimos:

Los resultados ya son fracciones irreductibles.

Recordad que el producto de fracciones se calcula multiplicando los numeradores y los denominadores en paralelo.

El primer producto es

Reducimos la fracción dividiendo dos veces entre 2 (o una vez entre 4):

El segundo producto es

No hemos calculado el producto del denominador porque así es más rápido simplificar (tenemos 21 en el numerador y en el denominador):

El tercer producto es

Reducimos la fracción:

Nota: hemos dividido por 16 directamente. Esto es lo mismo que dividir por 2 cuatro veces.

La división de fracciones se calcula multiplicando numeradores y denominadores en cruz.

La primera división es

Reducimos la fracción dividiendo entre 2 y entre 3:

La segunda división es

Simplificamos dividiendo dos veces entre 5:

La tercera división es

Reducimos:

La mejor forma de resolver este problema es despejar la incógnita. Los denominadores dividien y los numeradores multiplican, así que los numeradores pasan al otro lado de la igualdad como denominadores y viceversa.

Primera ecuación:

Segunda ecuación:

En las dos siguientes ecuaciones vamos a escribir las divisiones como multiplicaciones, es decir, intercambiamos numerador y denominador de las fracciones que dividen (las de la derecha del signo :).

Tercera ecuación:

Cuarta ecuación:

Una tercera cuarta parte es la fracción \(3/4\) y la mitad es la fracción \(1/2\). Por tanto, la mitad de una tercera cuarta parte se calcula multiplicando ambas fracciones:

Dos tercios son la fracción

y tres quintos son

Multiplicamos las fracciones:

Luego dos tercios de tres quintas partes son dos quintas partes.

Dividimos las fracciones (las flechas indican los productos que realizamos):

Simplificamos el resultado dividiendo entre 10, 2 y 3::

El depósito contiene tres octavas partes, que es la fracción

Consumimos tres quintas partes, que es la fracción:

Luego tres quintas partes de tres octavas partes es el producto

Por tanto, usamos nueve cuadrigésimas partes del total.

Tenemos una división de fracciones en el numerador y otra en el denominador. Vamos a calcular primero estas dos y, después, a dividir los resultados.

La división del numerador es:

La división del denominador es:

Dividimos las dos fracciones que hemos obtenido:

Finalmente, simplificamos el resultado dividiendo dos veces entre 2: