Fracción generatriz de números decimales

En esta página recordamos las definiciones de número decimal exacto, periódico puro y periódico mixto y explicamos cómo obtener la fracción generatriz de cada uno de estos tipos de decimales.

Contenido de esta página:

1. Introducción
2. Decimal exacto
3. Decimal periódico puro
4. Decimal periódico mixto
5. Problemas resueltos

Por ejemplo, el número decimal (periódico puro)

0.428571428571428571428571428571...

tiene período 428571 y está generado por la fracción tres séptimos:

$$ \frac{3}{7} = 0.428571...$$

Nota: recordad que una fracción es irreductible si el máximo común divisor de su numerador y denominador es 1, es decir, si la fracción no se puede simplificar.

Vamos a ver un método para obtener la fracción generatriz para cada unos de los tres tipos de números decimales (exacto, periódico puro y periódico mixto).

Recordatorio:

• la parte entera de un número decimal es el número que hay a la izquierda de la coma,
• y la parte decimal o fraccionaria de un número decimal es el número que hay a la derecha de la coma.

Por ejemplo, la parte decimal de 9,10101010... es 9 y la parte decimal es 10101010...

Notación:

• Los puntos suspensivos detrás de un decimal indican que el número de decimal es infinito.
• El punto decimal lo denotaremos con una coma: ",".

Método para obtener la fracción generatriz de un decimal exacto, como el número

Por ejemplo, los números 2,46 y 1,2345 son decimales exactos.

Fracción generatriz:

Explicamos el método mientras calculamos la fracción generatriz de 2,46:

1. Escribimos en el numerador el número sin la coma y en el denominador escribimos 10 elevado al número de decimales, es decir, el denominador es un 1 seguido de tantos 0’s como decimales tiene el número.

   

2. Simplificamos la fracción: tenemos que descomponer el numerador y el denominador en números primos:

   

   Simplificamos la fracción escribiendo numerador y denominador como potencias de primos:

   

   Luego la fracción generatriz del número decimal exacto 2,46 es

   

Nota: recordamos que existen varios métodos para simplificar una fracción, por ejemplo:

• Dividir numerador y denominador entre su máximo común divisor.
• Dividir sucesivamente numerador y denominador entre sus divisores comunes (hasta que no tengan más divisores comunes que el 1).
• Escribir numerador y denominador como productos de potencias de números primos, entonces, los exponentes de las potencias con igual base se restan (el del numerador menos el del denominador), como hicimos en el ejemplo anterior.

Método para obtener la fracción generatriz de un decimal periódico puro, como el numero

Por ejemplo, el número 3,23232323... es un decimal periódico puro con periodo 23.

Es habitual escribir a este tipo de decimales con la parte entera (delante de la coma), la coma y únicamente una vez el período (enfatizado):

Fracción generatriz:

Explicamos el método mientras calculamos la fracción generatriz de 3,232323...:

1. En el numerador escribimos el número decimal sin la coma (sólo con un período) y le restamos la parte entera (el número que hay delante de la coma). En el denominador escribimos el número que tiene tantos 9's como cifras tiene el período:

   La parte entera de 3,232323... es 3 y su periodo tiene 2 cifras:

   

2. Simplificamos la fracción: en este caso, la fracción ya es irreductible (no se puede simplificar más).

   Luego la fracción generatriz de 3,232323... es

   

Método para obtener la fracción generatriz de un número decimal periódico mixto, como el número

Por ejemplo, el número 5,02121212... es periódico mixto, siendo 02 su anteperiodo y 12 su periodo. Podemos escrilo como

Fracción generatriz:

Explicamos el método mientras calculamos la fracción generatriz de 5,06121212...:

1. En el numerador escribimos el número decimal sin la coma (sólo con un período) y le restamos el número formado por todas las cifras anteriores al período (incluidas las cifras de delante de la coma).

   En el denominador escribimos tantos 9’s como cifras tiene el período seguidos de tantos 0’s como cifras tiene el anteperíodo:

   

2. Simplificamos la fracción:

   

   Luego la fracción generatriz de 5,06121212... es

   

Problema A

Clasificar los siguientes números decimales indicando su parte entera y, en caso de haberlos, su anteperíodo y período:

Problema B

Clasificar y obtener la fracción generatriz de los siguientes números decimales:

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