Problema 1
Simplificar las siguientes fracciones para indicar cuáles son equivalentes:
Solución
Indicaremos con flechas la operación realizada en cada igualdad:
Por tanto, las siguientes 3 fracciones son equivalentes:
Las siguientes 2 también:
Finalmente, la fracción
no es equivalente a ninguna de las anteriores.
Problema 2
Encontrar los valores de x para que las fracciones sean equivalentes:
Solución
Podemos proceder de distintas maneras. Nosotros pasaremos los denominadores multiplicando.
En la primera igualdad, para calcular x tenemos que pasar el 45 multiplicando:
En las siguientes fracciones tenemos
la incógnita en el denominador, por lo que tendremos que pasarla al numerador:
Análogamente,
Problema 3
Las siguientes igualdades son
entre fracciones equivalentes:
Encontrar los factores por los
cuales se ha multiplicado
(o dividido) el numerador y el
denominador de la
fracción de la izquierda para
obtener la fracción de la derecha.
Solución
Primera igualdad:
Si hemos multiplicado por x en el numerador y el denominador, entonces
Si nos fijamos en los numeradores, tenemos la siguiente igualdad (ya que los
numeradores han de ser el mismo):
Comprobamos que en el denominador también se cumple (han de ser el mismo):
Segunda igualdad:
Procedemos del mismo modo:
Finalmente, comprobamos que en el denominador también se cumple:
Nota: multiplicar por 4/6 es lo mismo
que multiplicar por 4 y después dividir por 6.
Problema 4
Simplificar las siguientes fracciones para indicar cuáles son equivalentes:
Solución
Antes de comenzar haremos un inciso:
-
si los signos del numerador y del denominador son los mismos (los dos
positivos o los dos negativos), entonces la fracción es un número positivo (regla de los signos). Si los signos son distintos, entonces la fracción es negativa;
-
el numerador y el denominador de la última fracción son números decimales (con coma).
No es habitual encontrar fracciones de este tipo debido a que los números decimales
pueden expresarse como fracciones. Si los escribimos como fracciones, tendremos una fracción en el
numerador y otra en el denominador, pero al simplificar se transforma en una fracción
de enteros.
Nosotros, en este ejercicio, no escribiremos los números decimales como fracciones.
Notemos que las dos siguientes fracciones ya son irreductibles (y equivalentes entre ellas):
Simplificamos las otras:
Todas las fracciones son equivalentes a una de las dos siguientes:
La diferencia entre ambas fracciones es que la primera representa un número
negativo y la segunda uno positivo (el mismo número pero de signo opuesto).
Las equivalencias entre las fracciones son:
Problema 5
Dar ejemplos de fracciones equivalentes a:
Solución
La intención de este ejercicio es recordar que los números enteros
(0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, ...) son también números racionales (números
que se pueden escribir como fracciones de enteros).
Importante: como número entero puede considerarse como una fracción, tiene sentido que una fracción pueda ser equivalente a un entero.
Para obtener fracciones equivalentes a 6/5 vamos a multiplicar por 3, dividir por 2
y multiplicar por -1:
Para buscar fracciones equivalentes al entero 7 vamos a escribir
7 como una fracción. Esto se puede hacer, por ejemplo, añadiéndole el denominador 1:
Nota: también podemos representar 7, por ejemplo, con la fracción 14/2.
Algunas fracciones equivalentes a 7 son:
Para los enteros -1 y 0 haremos lo mismo:
Escribimos -1 como fracción:
Algunas fracciones equivalentes a -1 son:
Escribimos 0 como fracción:
Algunas fracciones equivalentes a 0 son:
Notemos que, en realidad, solemos escribir directamente 0 en lugar de este tipo de fracciones.
Problema 6
¿Por qué no podemos multiplicar ni dividir por 0 para obtener fracciones equivalentes?
Solución
No podemos multiplicar por 0 porque se debe realizar la misma
operación en
el numerador y en el denominador. Entonces, si lo
hacemos,
tendremos
un 0 en el denominador
y no se puede dividir por 0.
Problema 7
Pensar qué tienen en común las fracciones
equivalentes a 1, es decir, a la fracción 1/1.
Solución
Para obtener fracciones equivalentes a 1, podemos multiplicar (o dividir) al numerador y
al denominador:
Es obvio que lo que tienen en común estas fracciones es que el numerador y el denominador
son el mismo número. Pero este número nunca puede ser cero.
Problema 8
¿Puede haber fracciones equivalentes a 0 de modo que los numeradores sean distintos de 0?
Solución
Escribimos 0 como una fracción:
Las fracciones equivalentes se obtienen multiplicando (o dividiendo) al numerador y
denominador por el mismo número:
El numerador siempre es 0 porque multiplicamos por 0.
En cambio, el denominador puede ser cualquier número distinto de 0.
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