Euclides y el Quinto Postulado

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Euclides

Euclides (o Euclides de Alejandría) fue un matemático griego que vivió, aproximadamente, entre los años 325 a. C. y 265 a. C. Es considerado el padre de la geometría, auqnue no se sabe exactamente si fue el autor real de todos sus textos o simplemente fueron firmados con su nombre por alguna razón desconocida.

Algunos investigadores piensan que no existió y que sus obras fueron firmadas con el nombre de Euclides en referencia al personaje histórico Euclides de Megara. Sin embargo, no existen suficientes evidencias para aceptar esta hipótesis.

Quizás la labor de Euclides no fue más que la de recopilar los numerosos resultados de la Antigüedad. Lo más sorprendente es que desarrolló la geometría por rigurosa deducción a partir de los axiomas y las definiciones.

Su obra más conocida, Elementos, es el segundo libro con más ediciones publicadas (después de la Biblia). Consta de 13 libros. El primero de ellos contiene 10 axiomas (5 postulados y 5 nociones) y 23 definiciones, a partir de los cuales se deducen 48 proposiciones entre las que se encuentra el famoso teorema de Pitágoras.


El Quinto Postulado

Los cinco postulados de Euclides, presentados en el primer libro de Elementos, son los siguientes:

Primer postulado

Por dos puntos distintos pasa una recta.


Representación gráfica:

Euclides y el quinto postulado

Segundo postulado

Un segmento rectilíneo puede prolongarse continuamente en una recta.


Representación gráfica:

Euclides y el quinto postulado

Tercer postulado

Hay una única circunferencia para cada centro y diámetro.


Representación gráfica:

Euclides y el quinto postulado

Cuarto postulado

Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.


Representación gráfica:

Euclides y el quinto postulado

Quinto postulado

Por un punto exterior a una recta pasa una única paralela.*


Representación gráfica:

Euclides y el quinto postulado

El quinto postulado (postulado de las paralelas) es el más conocido debido a la polémica suscitada entre los matemáticos de si puede ser o no demostrado a partir de los otros cuatro.

De momento, de dicho postulado no se ha demostrado ni su veracidad ni su falsedad y ni siquiera la falsedad de las geometrías que se desarrollan al negarlo.

Algunos matemáticos que intentaron demostrar el postulado fueron Adrien-Marie Legendre (1752-1833) y Johann Gauss (1777-1855).

*El quinto postulado escrito anteriormente (axioma de Playfair), de John Playfair (1748-1918), es un enunciado equivalente al original de Elementos, que dice así:

Al incidir una recta con otras dos, los ángulos internos del mismo lado son menores que el ángulo recto, las dos rectas, prolongadas indefinidamente, se encuentran en el lado en el cual los ángulos son menores que dos ángulos rectos.


Representación gráfica:

Euclides y el quinto postulado

La suma de los ángulos es menor que 180 grados:

$$ \alpha +\beta < 180^\circ $$

Nótese que el quinto postulado llama la antención puesto que su redacción es más compleja que la de los otros. También es, al menos tal como aparece escrito, mucho menos intuitivo.

Propiedad 29

La suma de los ángulos de un triángulo es dos rectos (180 grados).

Esta propiedad es, en realidad, equivalente al quinto postulado.



Geometrías No Euclideas


Ante la duda de si el quinto postulado es una consecuencia de los otros cuatro, se desarrollan geometrías en las que no se admite como axioma: las geometrías no euclídeas.

La primera geometría no euclídea es la geometría hiperbólica, desarrollada, al mismo tiempo y sin conocerse, por el ruso Nikolái Ivánovich Lobachevski (1792-1856) y el húngaro János Bolyai (1802-1860). En esta geometría se sustituye el quinto postulado por el siguiente axioma (axioma de Bolyai):

Por un punto exterior a una recta pasan al menos dos rectas paralelas.


Representación gráfica:

Euclides y el quinto postulado

Las rectas x e y son paralelas a R. Se aproximan asintóticamente a R pero nunca la intersectan.

Existen infinitas rectas paralelas a R (paralelas críticas y paralelas divergentes).

Un famoso resultado de la geometría hiperbólica es:

La suma de los ángulos de un triángulo es menor que 180 grados.

La segunda geometría no euclídea es la geometría elíptica, desarrollada por Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866). En esta geometría se sustituye el quinto postulado por el axioma:

Por un punto exterior a una recta del plano no pasa ninguna recta paralela.

Un famoso resultado de la geometría elíptica es:

La suma de los ángulos de un triángulo es mayor que 180 grados.


Aspecto de los triángulos en las geometrías euclídea, hiperbólica y elíptica:

Euclides y el quinto postulado


Geometrías Absolutas

Las geometrías (no euclídeas) hiperbólica y elíptica se construyen al cambiar el quinto postulado de Euclides por los axiomas de Bolyai y de Riemann, respectivamente. Es decir, estas geometrías sí admiten los otros cuatro (los cuatro primeros) postulados de Euclides.

Las geometrías absolutas son las que aceptan los cuatro primeros postulados de Euclides, pero no sustituyen el quinto por ningún otro. Aunque, en realidad, la geometría hiperbólica también es absoluta, aun con el axioma de Bolyai.

Las 28 primeras proposiciones de Elementos sólo requieren de los cuatro primero postulados, así que estas proposiciones son ciertas en la geometría hiperbólica y en la euclídea, pero no lo son en la elíptica.

Se dice que la geometría absoluta es un sistema axiomático incompleto, en el sentido de que se pueden añadir axiomas sin provocar la inconsistencia del sistema.


Referencias

  • Gray Jeremy; Ideas de Espacio (1992)

  • Artmann Benno; Euclid: The Creation of Mathematics (1999)

  • A. S. Smogorzhevski; Acerca de la Geometría de Lobachevski (1978)


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