Euclides y el quinto postulado

En esta página proporcionamos una breve biografía de Euclides de Alejandría y enunciamos sus cinco postulados. También, comentamos la importancia del quinto postulado y presentamos las geometrías que no lo consideran como axioma: las geometrías no euclídeas y las absolutas.

Contenido de esta página:

1. Biografía de Euclides de Alejandría
2. Quinto postulado de Euclides
3. Geometrías no euclídeas
4. Geometrías absolutas
5. Referencias

Euclides (o Euclides de Alejandría) fue un matemático griego que vivió, aproximadamente, entre los años 325 a. C. y 265 a. C. Es considerado el padre de la geometría, auqnue no se sabe exactamente si fue el autor real de todos sus textos o simplemente fueron firmados con su nombre por alguna razón desconocida.

Algunos investigadores piensan que no existió y que sus obras fueron firmadas con el nombre de Euclides en referencia al personaje histórico Euclides de Megara. Sin embargo, no existen suficientes evidencias para aceptar esta hipótesis.

Quizás la labor de Euclides no fue más que la de recopilar los numerosos resultados de la Antigüedad. Lo más sorprendente es que desarrolló la geometría por rigurosa deducción a partir de los axiomas y las definiciones.

Su obra más conocida, Elementos, es el segundo libro con más ediciones publicadas (después de la Biblia). Consta de 13 libros y el primero de ellos contiene 10 axiomas (5 postulados y 5 nociones) y 23 definiciones, a partir de los cuales se deducen 48 proposiciones entre las que se encuentra el famoso teorema de Pitágoras.

Los cinco postulados de Euclides, presentados en el primer libro de Elementos, son los siguientes:

Primer postulado

Representación gráfica:

Segundo postulado

Representación gráfica:

Tercer postulado

Representación gráfica:

Cuarto postulado

Representación gráfica:

Quinto postulado

Representación gráfica:

El quinto postulado (postulado de las paralelas) es el más conocido debido a la polémica suscitada entre los matemáticos de si puede ser o no demostrado a partir de los otros cuatro. De momento, de dicho postulado no se ha demostrado ni su veracidad ni su falsedad y ni siquiera la falsedad de las geometrías que se desarrollan al negarlo.

Algunos matemáticos que intentaron demostrar este postulado fueron Adrien-Marie Legendre (1752-1833) y Johann Gauss (1777-1855).

*El quinto postulado citado anteriormente (axioma de Playfair), de John Playfair (1748-1918), es un enunciado equivalente al original de Elementos, que dice así:

Representación gráfica:

La suma de los ángulos es menor que 180 grados:

$$ \alpha +\beta < 180^\circ $$

Nota: el quinto postulado llama la antención puesto que su redacción es más compleja que la de los otros. También es, al menos tal como aparece escrito, mucho menos intuitivo. De hecho, la propiedad 29 de Elementos es, en realidad, equivalente al quinto postulado:

Ante la duda de si el quinto postulado es una consecuencia de los otros cuatro, se desarrollan geometrías en las que éste no se admite como axioma. Son las llamadas geometrías no euclídeas.

Geometría hiperbólica:

La primera geometría no euclídea es la geometría hiperbólica, desarrollada, al mismo tiempo y sin conocerse, por el ruso Nikolái Ivánovich Lobachevski (1792-1856) y el húngaro János Bolyai (1802-1860). En esta geometría se sustituye el quinto postulado por el siguiente axioma (axioma de Bolyai):

Representación gráfica:

Las rectas x e y son paralelas a la recta R. Se aproximan asintóticamente a R, pero nunca la intersectan.

Existen infinitas rectas paralelas a R (paralelas críticas y paralelas divergentes).

Un famoso resultado de la geometría hiperbólica es:

Geometría elíptica:

La segunda geometría no euclídea es la geometría elíptica, desarrollada por Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866). En esta geometría se sustituye el quinto postulado por el siguiente axioma:

Un famoso resultado de la geometría elíptica es:

Triángulos en las distintas geometrías:

El aspecto de los triángulos en las geometrías euclídea, hiperbólica y elíptica son

Las geometrías (no euclídeas) hiperbólica y elíptica se construyen al cambiar el quinto postulado de Euclides por los axiomas de Bolyai y de Riemann, respectivamente. Es decir, estas geometrías sí admiten los otros cuatro postulados de Euclides (los cuatro primeros) y añaden un quinto.

Las geometrías absolutas son las que también aceptan los cuatro primeros postulados de Euclides, pero no sustituyen el quinto por ningún otro. Aunque, en realidad, la geometría hiperbólica también es absoluta, aun con el axioma de Bolyai.

Las 28 primeras proposiciones de Elementos sólo requieren de los cuatro primero postulados, así que estas proposiciones son ciertas en la geometría hiperbólica y en la euclídea, pero no lo son en la elíptica.

Se dice que la geometría absoluta es un sistema axiomático incompleto, en el sentido de que se pueden añadir axiomas sin provocar la inconsistencia del sistema.

• Gray Jeremy; Ideas de Espacio (1992)
• Artmann Benno; Euclid: The Creation of Mathematics (1999)
• A. S. Smogorzhevski; Acerca de la Geometría de Lobachevski (1978)