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Producto de Matrices

Contenido de esta página:

  • Introducción

  • Recordatorio del producto de matrices y de sus propiedades

  • 10 Ejercicios Resueltos: productos de matrices

Introducción

Probablemente, las matrices son el primer contacto que se tiene con elementos matemáticos cuyo producto no es conmutativo. Es decir, si \(A\) y \(B\) son dos matrices, no siempre se cumple \( A\cdot B = B \cdot A \). Como consecuencia, se pierden algunos resultados como, por ejemplo, la fórmula de Newton para el cuadrado de un binomio, que establece que para números reales

$$ (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 $$

Como para poder calcular el producto de matrices \(A\cdot B \) se requiere el número de columnas de \(A\) sea el mismo que el número de filas de \(B\), en ocasiones ni siquiera podemos considerar el producto \( B\cdot A\) .

En la sección se define la operación producto de matrices y se enumeran las propiedades básicas de la misma. Posteriormente, se plantean y resuelven problemas del producto de matrices (reales) de diferente dimensión y de matrices cuadradas.

Recordatorio

Definición del producto

Dadas dos matrices \(A\) y \( B \) de dimensiones \(m \times n\) y \(n \times p\), respectivamente, se define su producto \( A\cdot B \) como la matriz de dimensión \( m \times p\) tal que el elemento de la posición fila \(i\) y columna \( j \) es el resultado del producto de los vectores fila \(i\) de \(A\) y columna \(j\) de \(B\).

Matemáticamente, si las matrices son

$$ A = (a_{i,j})^{1\leq i \leq m}_{1\leq j \leq n}$$

$$ B = (b_{i,j})^{1\leq i \leq n}_{1\leq j \leq p} $$

entonces el producto \(A\cdot B\) es

$$ A\cdot B := ( m_{i,j})^{1\leq i \leq m}_{1\leq j \leq p} $$

siendo

$$ m_{i,j} := \sum_{k=1}^n {a_{i,k}\cdot b_{k,j}} $$

Consideraciones a tener en cuenta y propiedades:

  • Para poder efectuar el producto de matrices \( A\cdot B\), el número de columnas de \( A\) y el número de filas de \( B \) tiene que ser el mismo.

  • El producto de matrices no es necesariamente conmutativo, es decir, no siempre se cumple \(A \cdot B = B\cdot A\).

  • El producto de matrices es asociativo, es decir,

    $$A \cdot ( B\cdot C ) = ( A\cdot B )\cdot C$$

  • El producto de matrices es distributivo respecto de la suma, es decir,

    $$A \cdot ( B + C ) = A\cdot B + A\cdot C$$

  • El producto tiene elemento neutro, \( I_n\), que es la identidad de dimensión que corresponda y es el elemento neutro por derecha e izquierda (si la matriz es cuadrada, si no, el neutro por derecha e izquierda tiene distinta dimensión). Es decir,

    $$ A\cdot I_n = I_m\cdot A$$

    siendo \(m \times n\) la dimensión de \( A\).

Otras propiedades (como el producto de matrices diagonales o triangulares) en: ejercicios teóricos de matrices.

Temas similares: potencias de matrices.

X

Problemas Resueltos

Producto 1

Producto de una matriz columna por una matriz fila:

definición del producto de matrices, propiedades y 
										ejemplos (ejercicios resueltos)

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Producto 2

Producto de dos matrices cuadradas de dimensión 2:

definición del producto de matrices, propiedades y 
                         		ejemplos (ejercicios resueltos)

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Producto 3

Producto de dos matrices cuadradas de dimensión 3:

definición del producto de matrices, propiedades y 
										ejemplos (ejercicios resueltos)

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Producto 4

Producto de dos matrices cuadradas de dimensión 3:

definición del producto de matrices, propiedades y 
                         		ejemplos (ejercicios resueltos)

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Producto 5

Producto de dos matrices cuadradas de dimensión 3:

definición del producto de matrices, propiedades y 
                         		ejemplos (ejercicios resueltos)

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Producto 6

Producto de dos matrices diagonales y cuadradas de dimensión 3:

definición del producto de matrices, propiedades y 
										ejemplos (ejercicios resueltos)

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Producto 7

Poducto de una matriz triangular superior y una matriz triangular inferior (dimensión 3x3):

definición del producto de matrices, propiedades y 
                         		ejemplos (ejercicios resueltos)

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Producto 8

Producto de una matriz diagonal y una matriz diagonal secundaria (dimensión 3x3):

definición del producto de matrices, propiedades y 
                         		ejemplos (ejercicios resueltos)

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Producto 9

Producto de dos matrices rectangulares de dimensiones 3x2 y 2x3:

definición del producto de matrices, propiedades y 
                         		ejemplos (ejercicios resueltos)

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Producto 10

Potencia de una matriz cuadrada de dimensión 3:

definición del producto de matrices, propiedades y 
                         		ejemplos (ejercicios resueltos)

¿Qué condición debe tener una matriz para poder calcular sus potencias?

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