Producto de Matrices

Contenido de esta página:

  • Introducción

  • Recordemos que... definición del producto de matrices y algunas propiedades

  • Ejercicios Resueltos: productos de matrices


Introducción

Probablemente, las matrices son el primer contacto que se tiene con elementos matemáticos cuyo producto no es conmutativo. Es decir, no se cumple que A·B = B·A. Como consecuencia, perderemos algunos resultados como, por ejemplo, el binomio de Newton que nos dice que

( a + b )2 = a2 + b2 + 2ab

Para poder multiplicar las matrices A y B se exige el número de columnas de A sea el mismo que el de filas de B. Con lo que, en ocasiones, ni siquiera podemos considerar el producto B·A.

Esto se debe a la propia definición del producto, que mostramos más abajo. Aunque se podría haber pensado en un definición que sí cumpla esta propiedad a la que tan habituados estamos, esta elección nos permite definir otros conceptos que resultan extremadamente útiles, como es el caso de la matriz inversa.

En esta sección definimos el concepto de producto de matrices y mostramos las propiedades directas de la misma. Además, se plantean y resuelven problemas del producto de matrices (reales) de diferente dimensión y de matrices cuadradas.


Recordemos que...

dadas dos matrices A y B de dimensiones m x n y n x p, respectivamente, se define su producto como

Es decir, el elemento ( i , j ) del producto es el producto de los vectores fila i de A y columna j de B:

También podemos verlo como: el elemento ( i , j ) es el producto de los vectores fila i de A y columna j de B.

Consideraciones a tener en cuenta:

  • Para poder efectuar el producto de matrices A·B, el número de columnas de A y el número de filas de B ha de ser el mismo.

  • El producto de matrices no es necesariamente conmutativo, es decir, no siempre se cumple que AB=BA

  • El producto de matrices es asociativo, es decir, A·( B·C ) = ( A·B )·C

  • El producto de matrices es distributivo respecto de la suma, es decir, A·( B + C ) = A·B + A·C

  • El producto tiene elemento neutro, I, que es la identidad de dimensión que corresponda y es elemento neutro por derecha e izquierda (si la matriz es cuadrada, si no, el neutro por derecha e izquierda tienen distinta dimensión), es decir, A·In = Im·A siendo mxn la dimensión de A.

Temas similares: forma general de las potencias de matrices.


Ejercicios Resueltos


EJERCICIOS RESUELTOS (click para ver la solución)
1

producto de matrices columna y fila

2

producto de matrices cuadradas

3

producto de matrices cuadradas de dimension 3

4

producto de matrices cuadradas de dimension 3

5

producto de matrices cuadradas de dimension 3



EJERCICIOS RESUELTOS (click para ver la solución)
6

producto de matrices diagonales

7

producto de matrices triangulares

8

producto de matrices diagonales principal y diagonal inversa

9

producto de matrices de distinta dimension

10

potencia de una matriz



acceso al foro

Creative Commons License
Matesfacil.com by J. Llopis is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.