Producto de Matrices

Contenido de esta página:

  • Introducción

  • Recordemos que... definición del producto de matrices y algunas propiedades

  • Ejercicios Resueltos: productos de matrices



Introducción

Probablemente, las matrices son el primer contacto que se tiene con elementos matemáticos cuyo producto no es conmutativo. Es decir, si \(A\) y \(B\) son dos matrices, no siempre se cumple \( A\cdot B = B \cdot A \). Como consecuencia, se pierden algunos resultados como, por ejemplo, la fórmula de Newton para el cuadrado de un binomio, que establece que para números reales

$$ (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 $$

Como para poder calcular el producto de matrices \(A\cdot B \) se requiere el número de columnas de \(A\) sea el mismo que el número de filas de \(B\), en ocasiones ni siquiera podemos considerar el producto \( B\cdot A\) .

Esto se debe a la propia definición del producto, que mostramos más abajo. Aunque se podría haber pensado en un definición que sí cumpla esta propiedad a la que tan habituados estamos, esta elección nos permite definir otros conceptos que resultan extremadamente útiles, como es el caso de la matriz inversa.

En esta sección se define la operación producto de matrices y se enumeran las propiedades básicas de la misma. Además, se plantean y resuelven problemas del producto de matrices (reales) de diferente dimensión y de matrices cuadradas.


Recordemos que...

Dadas dos matrices \(A\) y \( B \) de dimensiones \(m \times n\) y \(n \times p\), respectivamente, se define su producto \( A\cdot B \) como la matriz de dimensión \( m \times p\) tal que el elemento de la posición fila \(i\) y columna \( j \) es el resultado del producto de los vectores fila \(i\) de \(A\) y columna \(j\) de \(B\).

Matemáticamente, si las matrices son

$$ A = (a_{i,j})^{1\leq i \leq m}_{1\leq j \leq n}$$

$$ B = (b_{i,j})^{1\leq i \leq n}_{1\leq j \leq p} $$

entonces el producto \(A\cdot B\) es

$$ A\cdot B := ( m_{i,j})^{1\leq i \leq m}_{1\leq j \leq p} $$

siendo

$$ m_{i,j} := \sum_{k=1}^n {a_{i,k}\cdot b_{k,i}} $$

Consideraciones a tener en cuenta y propiedades:

  • Para poder efectuar el producto de matrices \( A\cdot B\), el número de columnas de \( A\) y el número de filas de \( B \) ha de ser el mismo.

  • El producto de matrices no es necesariamente conmutativo, es decir, no siempre se cumple que \(A \cdot B = B\cdot A\).

  • El producto de matrices es asociativo, es decir,

    $$A \cdot ( B\cdot C ) = ( A\cdot B )\cdot C$$

  • El producto de matrices es distributivo respecto de la suma, es decir,

    $$A \cdot ( B + C ) = A\cdot B + A\cdot C$$

  • El producto tiene elemento neutro, \( I_n\), que es la identidad de dimensión que corresponda y es elemento neutro por derecha e izquierda (si la matriz es cuadrada, si no, el neutro por derecha e izquierda tiene distinta dimensión). Es decir,

    $$ A\cdot I_n = I_m\cdot A$$

    siendo \(m \times n\) la dimensión de \( A\).

Otras propiedades (como el producto de matrices diagonales o triangulares) en: ejercicios teóricos de matrices.

Temas similares: potencias de matrices.


10 Ejercicios Resueltos

Calcular los siguientes productos de matrices reales.




Producto 1

definición del producto de matrices, propiedades y 
                         		ejemplos (ejercicios resueltos)

Ver Solución


Producto 2

definición del producto de matrices, propiedades y 
                         		ejemplos (ejercicios resueltos)

Ver Solución


Producto 3

definición del producto de matrices, propiedades y 
                         		ejemplos (ejercicios resueltos)

Ver Solución


Producto 4

definición del producto de matrices, propiedades y 
                         		ejemplos (ejercicios resueltos)

Ver Solución


Producto 5

definición del producto de matrices, propiedades y 
                         		ejemplos (ejercicios resueltos)

Ver Solución


Producto 6

definición del producto de matrices, propiedades y 
                         		ejemplos (ejercicios resueltos)

Ver Solución


Producto 7

definición del producto de matrices, propiedades y 
                         		ejemplos (ejercicios resueltos)

Ver Solución


Producto 8

definición del producto de matrices, propiedades y 
                         		ejemplos (ejercicios resueltos)

Ver Solución


Producto 9

definición del producto de matrices, propiedades y 
                         		ejemplos (ejercicios resueltos)

Ver Solución


Producto 10

definición del producto de matrices, propiedades y 
                         		ejemplos (ejercicios resueltos)

Ver Solución




acceso al foro



Creative Commons License
Matesfacil.com by J. Llopis is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.