Problemas teóricos de matrices
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Problemas teóricos de matrices

En esta página demostramos algunas propiedades de las matrices y resolvemos otros problemas de aplicaciones de las matrices, como las ecuaciones matriciales, las aplicaciones lineales y la codificación de mensajes mediante matrices regulares.

La mayoría de las demostraciones son bastante simples e intuitivas, aunque también las hay más complejas.

Contenido de esta página:

  • Introducción
  • 15 problemas resueltos

Introducción

Algunas propiedades son sobre matrices que tienen una determinada forma que facilita el cálculo de ciertas operaciones matriciales. Por ejemplo,

  • El producto de dos matrices diagonales es la matriz diagonal cuyos elementos son los productos de los elementos de las matrices. Para dimensión 2x2:

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  • La diagonalización de una matriz permite el cálculo de las potencias de dicha matriz sin necesidad de calcular las potencias anteriores. Por ejemplo,

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X

15 Problemas resueltos

Notación:

  • Denotaremos la matriz identidad de dimensión \(n\) como \(I_n\).

  • No siempre escribiremos el punto · de la multiplicación.

Problema 1

Demostrar que si una matriz \(A\) cumple

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Entonces, \(A\) es la matriz nula (matriz de 0's).

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Problema 2

Sean \(A\) y \(B\) dos matrices cuadradas de dimensión \(n\) tales que su produco es la matriz nula, es decir, \(A·B = 0\). ¿Podemos afirmar que \(A\) ó \(B\) es la matriz nula?

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Problema 2b

  1. Demostrar que la suma y la resta de dos matrices diagonales es una matriz diagonal.

  2. Sean \(O\) la matriz de ceros, \(A\) una matriz de la misma dimensión y \(k\) un número real.

    Demostrar que \(k·A = 0\) si, y sólo si, \(k = 0\) ó \(A = O\).

  3. Si \(A\) es una matriz diagonal de dimensión \(nxn\), ¿cuál es la diagonal de \(A^T\) y la de \(A-A^T\)?

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Problema 3

Sean \(A\), \(B\neq 0\) y \(C\) tres matrices cuadradas de dimensión \(n\) que cumplen la siguiente igualdad:

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¿Se cumple que \(A = C\) ?

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Problema 4



Tenemos fórmulas para calcular el cuadrado de una suma de reales y el producto de una suma y una resta de reales:

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¿También se cumplen para matrices cuadradas?

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Problema 5

Demostrar que la suma y el producto de matrices diagonales es una matriz diagonal.

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Problema 6 (dificultad alta)

Demostrar que la suma y el producto de matrices triangulares superiores (inferiores) es una matriz triangular superior (inferior).

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Problema 7 (dificultad alta)

Demostrar que la suma de matrices simétricas es simétrica y que el producto de simétricas es una matriz simétrica si el producto es conmutativo.

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Problema 8

Demostrar que para toda matriz cuadrada \(A\), la matriz \(A+A^T\) es simétrica.

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Problema 9

Demostrar que para toda matriz cuadrada \(A\), la matriz \(A-A^T\) es antisimétrica.

Nota: una matriz cuadrada \(B\) es antisimétrica si \(B = -B^T\).

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Problema 10

Demostrar que toda matriz cuadrada puede expresarse como suma de una matriz simétrica y de una antisimétrica.

Ayuda: utilizad los dos problemas anteriores.

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Problema 11 (ecuaciones matriciales)

Sean las matrices cuadradas \(A\), \(B\) y \(C\) de dimensión \(n\), siendo \(A\) y \(B\) regulares.

Calcular la matriz \(X\) de dimensión \(n\) en cada caso:

  1. \(AX = BA\)

  2. \(a(XA) = C\), donde \(a\) es un real.

  3. \(AXB = C\)

  4. \(XA + BC = C\)

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Problema 12

Podemos usar las matrices para codificar mensajes. Numeramos el alfabeto, por ejemplo, a=1, b=2, ... , z=27. Para la codificación nos ayudamos de una matriz:

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Escribiremos las palabras en matrices con 2 filas para poder multiplicarlas por la izquierda por \(W\).

Veamos un ejemplo: si la palabra es "matriz",

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El mensaje codificado es la matriz \(WA\).

Se pide:

  • ¿Cómo se descodifica una matriz?
  • Si cambiamos de matriz de codificación, \(W\), ¿qué condición es necesaria para que el sistema funcione?
  • ¿Qué mensaje contiene la siguiente matriz?

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Problema 13

Sea \(A\) la matriz regular que cumple

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Hallar la inversa de \(A\) en función de \(A\).

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Problema 14

Decimos que una matriz \(A\) es diagonalizable con matriz de paso \(P\) si se cumple

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siendo \(D\) una matriz diagonal y \(P\) regular.

¿Por qué crees que es útil la diagonalización de una matriz para calcular sus potencias?

Calcular la potencia \(A^5\) sabiendo que \(PA =DP\) para las matrices

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¿Cuál es la matriz \(A\)?

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Problema 15

Considerar la siguiente función:

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La podemos definir mediante una matriz fila \(A\):

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De este modo, la imagen de \(f\) es un producto matricial:

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Encontrar las matrices que definen las siguientes funciones y calcular las imágenes de los puntos \(a\) y \(b\) dados:

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