Problemas teóricos de matrices

La demostración es directa y es la misma que podemos aplicar a otro tipo de elementos matemáticos (como los números reales):

Para demostrar que una propiedad no se cumple es suficiente dar un contraejemplo, es decir, un caso particular para el que no se cumple la propiedad. En efecto, la propiedad no es cierta para matrices, al igual que otras propiedades de los reales relacionadas con el producto.

Veamos un contraejemplo:

Las matrices anteriores se dice que son divisores de 0, una por la izquierda y la otra por la derecha.

a. Como la suma de matrices se calcula sumando elementos en la misma posición, la suma dos matrices diagonales es también diagonal.

Por ejemplo,

b. Si denotamos por \(a_{ij}\) al elemento de la fila \(i\) y columna \(j\) de la matriz \(A\), entonces, el elemento de la misma posición de la matriz \(k·A\) es \(k·a_{ij}\).

La única posibilidad de que \(k·A\) sea la matriz nula es que \(k=0\) o que todos los \(a_{ij}\) sean 0 y, por tanto, \(A=0\).

c. La matriz \(A^T\) es la traspuesta de \(A\). Es decir, si los elementos de \(A\) son \(a_{ij}\), los de \(A^T\) son \(b_{ij}=a_{ji}\).

La diagonal de \(A^T\) son los elementos \(b_{ii} = a_{ii}\). Es decir, tiene la misma diagonal que \(A\).

Por ejemplo,

El elemento de la posición \((i,j)\) de la matriz \(A-A^T\) es

Los elementos de su diagonal son

Por tanto, la diagonal de \(A-A^T\) está formada por 0's.

Si la matriz \(B\) es regular, es cierto porque que podemos multiplicar por la derecha de ambos lados de la igualdad por su inversa:

Esto nos hace pensar que no se cumple si \(B\) no es regular. Vamos a buscar un contraejemplo.

Consideremos la siguiente matriz singular (no regular):

Sea la matriz

El producto \(AB\) es 0:

Si \(C\) es la matriz nula y \(B\) es otra matriz, entonces se cumple \(A·B = C·B = 0\), siendo \(A \neq C\). Por tanto, tenemos un contraejemplo.

Calculamos el cuadrado de la suma como el producto de la suma de matrices:

$$(A + B)^2 = (A + B)(A + B) =$$

$$= AA + AB + BA + BB =$$

$$= A^2 + B^2 + AB + BA $$

Para obtener la misma fórmula del binomio tenemos que sumar los dos últimos términos considerando \(AB = BA\), es decir, considerando que el producto de matrices conmuta. Esto no siempre es así.

Procedemos del mismo modo para la segunda igualdad:

Por la misma razón, no podemos cancelar el segundo y el tercer término.

Las fórmulas son ciertas para matrices cuyo producto conmute, pero no lo son en general.

Sean \(a_{ij}\) y \(b_{ij}\) los elementos de la fila \(i\) y columna \(j\) de las matrices \(A\) y \(B\), respectivamente.

Entonces, el elemento de la fila \(i\) y columna \(j\) de la matriz suma \(A+B\) es

$$ s_{ij}= a_{ij}+b_{ij}$$

Como \(a_{ij}\) y \(b_{ij}\) son iguales a 0 si \(i\neq j\) (por ser diagonales), \(s_{ij} = 0 \) si \(i\neq j\). Así que la matriz \(A+B\) es diagonal.

El elemento de la fila \(i\) y columna \(j\) de la matriz producto \(AB\) es

Pero como \(a_{ij}\) y \(b_{ij}\) son iguales a 0 si \(i\neq j\) (por ser diagonales), entonces todos los elementos de \(AB\) que no sean de la diagonal son 0. Por tanto, la matriz \(AB\) es diagonal.

Vamos a utilizar la definición formal del producto de matrices. Podéis demostrar la propiedad de una forma más sencilla e intuitiva para matrices con diemensiones pequeñas (como 2x2 ó 3x3).

Sean las matrices triangulares superiores de dimensión \(n\):

Como son triangulares superiores,

La matriz suma tiene en la posición \((i,j)\) al elemento

Y por tanto, la matriz suma es triangular superior.

El producto \(AB\) tiene en la posición \((i,j)\) al elemento

Vamos a escribir el sumatorio como una suma:

Supongamos \(i > j\):

$$ k\leq i-1 < i \rightarrow $$

$$ i > k $$

Por tanto, \(a_{i,k} = 0 \).

Luego el primer sumatorio es 0.

Por otro lado,

$$ k \geq i+1 > j+1 > j$$

Por tanto, \(b_{k,j} = 0\).

Con lo que el segundo sumatorio también es 0.

Además, como \(b_{i,j} = 0\),

$$ a_{i,i}·b_{i,j} = 0 $$

Por tanto, el producto es triangular superior.

Cambiando las desigualdades tenemos la demostración para triangulares inferiores.

Una matriz cuadrada \(A =(a_{ij})\) es simétrica si \(A = A^T\), es decir, si \(a_{ij} = a_{ji}\).

Sean \(A=(a_{ij})\) y \(B=(b_{ij})\) matrices simétricas de la misma dimensión \(n\). Se tiene que

Calculamos la suma \(A+B\):

Supongamos ahora que \(A·B\ = B·A\). Queremos ver que \(AB = (AB)^T\).

El elemento de la posición \((i,j)\) del producto \(AB\) es

siendo \(h_{ji}\) el elemento de la posición \((j,i)\) del producto \(BA\).

Por hipótesis, \(AB = BA\), así que

$$ h_{j,i} = d_{j,i} $$

Junto con lo anterior tenemos

Una matriz cuadrada \(B\) es si métrica si \(B=B^T\). Por tanto, tenemos que demostrar

Pero esto es inmediato aplicando las propiedades de las traspuestas:

Tenemos que demostrar la igualdad

Aplicamos las propiedades de las matrices traspuestas:

Por el Problema 8 sabemos que dada una matriz cuadrada \(A\), la matriz \(A + A^T\) es simétrica y, por el Problema 9, que \(A-A^T\) es antisimétrica.

Por tanto, podemos escribir \(A\) como la suma de una simétrica y una antisimétrica como

a. Multiplicando por la izquierda por la inversa de \(A\),

b. Si \(a = 0\), la igualdad sólo se cumple si \(C\) es la matriz nula y, en este caso, la matriz \(X\) puede ser cualquiera.

Si \(a \neq 0\), tiene inverso, y multiplicando por la izquierda por \(a^{-1}\) y por la derecha por \(A^{-1}\),

c. Multiplicando por la inversa de \(A\) por la izquierda y por la inversa de \(B\) por la derecha,

d. Aislamos \(XA\) a un lado y multiplicamos por la derecha por la inversa \(A^{-1}\):

Para descodificar una matriz sólo debemos multiplicar por la izquierda por la inversa de \(W\). Por tanto, la condición que tenemos que exigir a \(W\) es que sea regular (para que exista su inversa).

La matriz codificada \(H\) es el producto \(W·A\).

Calculamos la matriz \(A\) que es la que contiene el mensaje. Para ello, multiplicamos por \(W^{-1}\):

La matriz contiene el mensaje “traspuesta”.

Operando un poco,

Por tanto, la inversa de \(A\) es

Supongamos que queremos calcular la potencia \(A^k\). Como la matriz \(P\) es regular, podemos multiplicar por su inversa:

Es decir, por inducción,

Y como \(D\) es diagonal, su potencia \(k\) es la matriz diagonal cuyos elementos son las potencias \(k\) de los elementos de \(D\). Así, las potencias de \(A\) se calculan rápidamente sin necesidad de calcular las \(k-2\) potencias anteriores.

Para las matrices dadas,

La matriz \(A\) la obtenemos fácilmente multiplicando por la izquierda por la inversa \(P^{-1}\) en \(PA = DP\):

Para la función \(f\):

La función \(g\) se define mediante una matriz de dimensión \(2x3\):