Problemas Teóricos sobre Matrices

Contenido de esta página:

  • Introducción

  • 15 Problemas Resueltos: demostraciones sobre matrices (nivel básico)


Introducción

Las matrices son una herramienta muy potente en las matemáticas. La aplicación más conocida es, sin duda, la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

Sin embargo, las usamos en muchos otros campos, por ejemplo: en aplicaciones lineales, en espacios vectoriales, en cálculo diferencial de varias variables, en la resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales, en teoría de grafos...

También se usan en otros campos de la ciencia como en la optimización de la programación lineal (matemáticas aplicadas) o para almacenar información y para realizar animaciones gráficas en computación (tecnología).

En esta sección se demuestran varias propiedades de las matrices, como el producto de matrices triangulares superior o inferior, la propiedad de simetría y la diagonalización.

También veremos varios ejemplos de sus aplicaciones: la matriz como una aplicación lineal y la codificación de mensajes con el uso de matrices regulares.

Finalmente, comentamos que la mayoría de las demostraciones son bastante simples e intuitivas; pero también las hay más complejas (problemas 5 y 7).


Problemas Resueltos


Problema 1

Demostrar que si una matriz A cuadrada cumple

A = - A

Entonces, A es la matriz nula.

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Problema 2

Sean A y B dos matrices cuadradas de dimensión n con A·B = 0. ¿Es necesario que alguna de ellas sea la matriz nula?

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Problema 2B

  1. Demostrar que la suma y la resta de dos matrices diagonales es una matriz diagonal.

  2. Sean O la matriz de ceros y A otra matriz (de entradas reales), ambas de la misma dimensión y sea k un número real. Demostrar que k·A = 0 si, y sólo si, k = 0 ó A = O

  3. Si A es una matriz diagonal de dimensión n x n, ¿cuál es la diagonal de A - AT?

Las demostraciones las podemos encontrar en este enlace.



Problema 3

Sean A, B y C tres matrices cuadradas de dimensión n que cumplen

AB = CB

siendo B distinta de la matriz nula.

¿Se cumple que A = C ?

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Problema 4

Sabemos que para los reales se cumplen las siguientes igualdades (binomio de Newton y suma por diferencia)

$$(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$$ $$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2 $$

¿También se cumplen para matrices cuadradas?

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Problema 5: dificultad alta

Demostrar que la suma y el producto de matrices triangulares superiores (inferiores) es una matriz triangular superior (inferior).

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Problema 6

Demostrar que la suma y el producto de matrices diagonales es una matriz diagonal.

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Problema 7: dificultad alta

Demostrar que la suma de matrices simétricas es simétrica y que el producto de simétricas es una matriz simétrica si es conmutativo.

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Problema 8

Toda matriz cuadrada A cumple que A + AT es simétrica.

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Problema 9

Toda matriz cuadrada A cumple que A - AT es antisimétrica.

Nota: B es antisimétrica si cumple B = - BT.

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Problema 10

Toda matriz cuadrada puede expresarse como suma de una matriz simétrica y de una antisimétrica.

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Problema 11

Sean las matrices A ,B y C de dimensión n, siendo A y B regulares. Obtener la matriz X (de dimensión n) en cada caso:

  1. AX = BA

  2. a(XA) = C, donde a es un real.

  3. AXB = C

  4. XA + BC = C

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Problema 12

Podemos usar las matrices para codificar mensajes. Numeramos el alfabeto, por ejemplo, a=1,b=2,…,z=27. Para la codificación nos ayudamos de una matriz:

problemas teóricos sobre Matrices, demostraciones

Y escribiremos las palabras en matrices con 2 filas para poder premultiplicarlas (multiplicarlas por la derecha) por W.

Veamos un ejemplo: la palabra es "matriz"

problemas teóricos sobre Matrices, demostraciones

El mensaje codificado es la matriz WA.

Se pide:

  • ¿Cómo se descodifica una matriz?
  • Si cambiamos de matriz de codificación, W, ¿qué condición es necesaria para que el sistema funcione?
  • ¿Qué mensaje contiene la siguiente matriz?

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Problema 13

Sea la matriz regular A de dimensión n que verifica

A3 = A2 - 2·In

donde In es la matriz identidad de dimensión n.

Encontrar la inversa de A en función de A.

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Problema 14

Decimos que una matriz A es diagonalizable con matriz de paso P si se cumple

PA = DP

siendo D una matriz diagonal y P regular.

¿por qué crees que es útil la diagonalización de una matriz para calcular las potencias de ésta?

Calcula la potencia 5 de la matriz A sabiendo que

PA = DP

siendo las matrices

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¿Cuál es la matriz A?

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Problema 15

Una aplicación lineal

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la podemos definir mediante una matriz A como

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De este modo,

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Encontrar las matrices que definen a las aplicaciones siguientes y calcular las imágenes de los puntos a y b dados

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