logotipo matesfacil

Suma, producto por un escalar y transpuesta (matrices)

En esta página vamos a ver la suma (y la resta) de matrices, el producto de un escalar por una matriz y la trasposición de matrices.

Contenido de esta página:

  1. Introducción

  2. Definición de la suma de matrices

  3. Producto por un escalar

  4. Matriz Traspuesta

  5. Ejercicios Resueltos

Calculadoras de matrices:

1. Introducción

Como en los números reales, los enteros, los racionales y otros elementos matemáticos, en las matrices también está definida la operación suma (y resta). Más formalmente, podemos decir que se trata de una operación binaria interna en el grupo de las matrices de la misma dimensión con coeficientes complejos. Esto es, la suma de matrices es una operación entre dos matrices de la misma dimensión y su resultado es otra matriz también de la misma dimensión, ya sean matrices cuadradas o rectangulares.

2. Suma

La operación se define de una manera muy sencilla: la matriz suma de dos matrices con la misma dimensión es la matriz que tiene en la posición fila i y columna j la suma de los elementos de la misma posición en las matrices que sumamos. Es decir, la suma de matrices se calcula sumando los elementos que ocupan la misma posición.

Ejemplo:

$$ \left(\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}\right) + \left(\begin{matrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{matrix}\right) = $$

$$ = \left(\begin{matrix} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8 \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} 6 & 8 \\ 7 & 12 \end{matrix}\right)$$

De forma análoga, la resta de matrices se calcula restando los elementos que ocupan la misma posición.

Más formalmente, dadas las matrices de la misma dimensión \(A = (a_{i,j})\) y \(B = (b_{i,j})\), la operación \(A+B\) se define como

$$ A + B = (a_{i,j}+b_{i,j})$$

Y la resta como

$$ A - B = (a_{i,j}-b_{i,j})$$

La suma de matrices es conmutativa. Es decir,

$$ A + B = B + A $$

3. Producto por un escalar

El producto de una matriz \(A = (a_{i,j})\) por un escalar \(\alpha\) se define como

$$ \alpha\cdot A = (\alpha\cdot a_{i,j}) $$

Es decir, se calcula multiplicando todos los elementos de la matriz por el escalar.

Ejemplo:

$$ 3\cdot \left(\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} 3\cdot 1 & 3\cdot 2 \\ 3\cdot 3 & 3\cdot 4 \end{matrix}\right) =$$

$$ = \left(\begin{matrix} 3 & 6 \\ 9 & 12 \end{matrix}\right) $$


Esta operación también es conmutativa:

$$ \alpha \cdot A = A\cdot \alpha $$

Nota: el producto entre dos matrices no es conmutativo.

4. Matriz transpuesta

La matriz transpuesta (o traspuesta) de la matiz \(A\) se denota por \(A^T\) y es la matriz que tiene por filas a las columnas de \(A\).

Ejemplo:

$$ A= \left(\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{matrix}\right) $$

$$ A^T =\left(\begin{matrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \end{matrix}\right) $$

Observaciones y propiedades:

  • La columna \(i\) de \(A\) es la fila \(i\) de \(A^T\).

  • Si la dimensión de \(A\) es \(n \times m\), la de su transpuesta \(A^T\) es \( m \times n\).

  • Si la matriz es cuadrada y diagonal, la matriz traspuesta es igual a la propia matriz.

  • La traspuesta de la matriz traspuesta de \(A\) es la propia matriz \(A\):

    $$ (A^T)^T = A $$

  • La traspuesta de la suma de matrices es

    $$ (A + B)^T = A^T + A^T $$

  • La traspuesta del producto de matrices es

    $$ (A\cdot B)^T = B^T\cdot A^T $$

  • La traspuesta del producto de un escalar \(\alpha \) por una matriz \(A\) es

    $$ (\alpha \cdot A)^T = \alpha \cdot A^T $$

X

5. Ejercicios Resueltos

En esta sección calculamos matrices transpuestas, sumas, restas y productos por escalares de matrices de distintas dimensiones.

Ejercicio 1

a) Suma de dos matrices cuadradas de dimensión 2:

sumas y matrices transpuestas

b) Suma de dos matrices rectangulares:

$$ \left(\begin{matrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{matrix}\right) + \left(\begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}\right) $$

c) Suma de dos matrices columna:

$$ \left(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 3 \\ 2 \end{matrix}\right) + \left(\begin{matrix} -1 \\ 0 \\ -2 \\ -1 \end{matrix}\right) $$

Solución

Ejercicio 2

a) Producto de una matriz rectangular por un escalar:

$$ 5\cdot \left(\begin{matrix} 1 & -2 & 0 \\ 2 & -1 & -3 \end{matrix}\right) $$

b) Producto por un escalar y suma de dos matrices cuadradas de dimensión 2:

sumas y matrices transpuestas

Solución

Ejercicio 3

Producto por un escalar y suma de dos matrices cuadradas de dimensión 3:

sumas y matrices transpuestas

Solución


Ejercicio 4

a) Transpuesta de una matriz cuadrada de dimensión 2:

$$ \left(\begin{matrix} 1 & -2 \\ 2 & -1 \end{matrix}\right)^T $$

b) Transpuesta de una matriz cuadrada de dimensión 3:

$$ \left(\begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & -3 \\ 0 & 2 & 5 \end{matrix}\right)^T $$

c) Transpuesta de una matriz rectangular (2x3):

$$ \left(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -2 & -3 \end{matrix}\right)^T $$

d) Transpuesta y suma de dos matrices rectangulares (2x3):

sumas y matrices transpuestas

Solución

Ejercicio 5

Producto por un escalar, resta de dos matrices cuadradas y transposción:

sumas y matrices transpuestas

Solución

Ejercicio 6

Resta y transpuesta de matrices cuadradas de dimensión 3. \(I_3\) representa la matriz identidad de dimensión 3:

traspuesta de una resta de matrices de dimensión 3x3

Solución

Ejercicio 7

Múltiples operaciones entre matrices columna (dimensión 3x1):

sumas y matrices transpuestas

Solución

Ejercicio 8

Múltiples operaciones entre matrices de dimensión 2x2:

sumas y matrices transpuestas

Solución


acceso al foro