Bolas, abiertos y cerrados de la topología usual
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Bolas, abiertos y cerrados de la topología usual

La topología usual sobre \(\mathbb{R}^n\) puede definirse de varias formas. En esta página definimos los abiertos y cerrados de esta topología a partir de las bolas abiertas de la distancia euclídea. Proporcionamos ejemplos y algunas propiedades básicas.

Contenido de esta página:

  1. Bola abierta
  2. Bola cerrada
  3. Conjunto abierto
  4. Conjunto cerrado

1. Bola abierta

Sean \(a = (a_1, a_2, ...,a_n)\in \mathbb{R}^n\) y \(r> 0\). Llamamos bola abierta de centro \(a\) y radio \(r\) al conjunto

$$ B_r(a) := \{ x\in\mathbb{R}^n \ : \ d(x,a) < r \}$$

donde \(d(x,y)\) es la distancia euclídea de \(\mathbb{R}^n\):

  • Si \(n = 1\), $$ d(x,a) = |x-a| $$
  • Si \(n = 2\), $$ d(x,a) = \sqrt{(x_1-a_1)^2+(x_2-a_2)^2} $$
  • Si \(n = 3\), $$ d(x,a) = \sqrt{(x_1-a_1)^2+(x_2-a_2)^2+(x_3-a_3)^2} $$

Representación:

  • En la recta real (\(n = 1\)), la bola abierta \(B_r(a)\) es el intervalo abierto \(]a-r, a+r[\):

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  • En el plano real (\(n = 2\)), la bola abierta \(B_r(a)\) de centro \(a =(a_1, a_2)\) es el círculo sin borde de centro \(a\) y radio \(r\):

    $$ B_r(a)= \{ (x,y)\in \mathbb{R}^2 \ : \ (x-a_1)^2+(y-a_2)^2 < r^2 \} $$

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  • En el espacio real (\(n=3\)), la bola abierta \(B_r(a)\) de centro \(a =(a_1, a_2,a_3)\) es el interior de la esfera de centro \(a\) y radio \(r\):

    $$ B_r(a)= \{ (x_1,x_2,x_3)\in \mathbb{R}^3 \ : \ \sqrt{\sum_{1\leq i\leq 3}(x_i-a_i)^2}< r^2 \} $$

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Nota: si cambiamos la distancia euclídea por otra métrica, las bolas tienen otras formas (ver espacio métrico y su topología).

2. Bola cerrada


Sean \(a = (a_1, a_2, ...,a_n)\in \mathbb{R}^n\) y \(r> 0\). Llamamos bola cerrada de centro \(a\) y radio \(r\) al conjunto

$$ \overline{B_r(a)} := \{ x\in\mathbb{R}^n \ : \ d(x,a) \leq r \}$$

La diferencia entre la bola abierta y la cerrada es que la cerrada incluye el borde y la abierta no.

Por ejemplo, una bola cerrada del plano es

$$ \overline{B_r(a)}= \{ (x,y)\in \mathbb{R}^2 \ : \ (x-a_1)^2+(y-a_2)^2 \leq r^2 \} $$

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Es fácil ver que \(B_r (a) \subset \overline{B_r(a)}\).

3. Conjunto abierto

Un subconjunto \(A \subseteq \mathbb{R}^n\) es abierto si

$$ \forall x\in A,\ \exists B_x,\ x \in B_x \subseteq A $$

siendo \(B_x\) una bola abierta que contiene a \(x\).

Es decir, \(A\) es un conjunto abierto si para cualquier punto \(x\in A\) existe una bola abierta \(B_x\) contenida en \(A\) a la que \(x\) pertenece. Observad que un abierto \(A\) puede expresarse como unión de bolas abiertas:

$$ A = \bigcup_{x\in A} B_x $$

Nota: el conjunto vacío y el conjunto total (\(\mathbb{R}^n\)) son abiertos en todas las topologías (por definición).


Ejemplos y propiedades:

  • Toda bola abierta \(B_r(a)\) es un conjunto abierto.

    Para cada punto \(x\) del conjunto \(A = B_r(a)\), el punto \(x\) está en la bola \(A\) contenida en \(A\).

  • El cuadrado sin borde \(I^2 =(0,1) \times (0,1)\) es un conjunto abierto del plano real:

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    Para cualquier punto \(x\in I^2\) podemos encontrar una bola \(B_x\) que contiene a \(x\) y contenida en \(I^2\).

  • Las bolas cerradas \(\overline{B_r(x)}\) no son conjuntos abiertos.

    Dado un punto \(a\) del borde de la bola, es decir, un punto \(a\) cumpliendo \(d(x,a) = r\), no existe ninguna bola abierta que contenga al punto \(a\) y que esté contenida en la bola cerrada.

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  • La unión de abiertos es un abierto.

    Caso de la unión finita:

    Supongamos que se trata de la unión de dos abiertos \(A_1\) y \(A_2\).

    Sea \(x\) un punto de esta unión, entonces es un punto de \(A_1\) o de \(A_2\).

    Supongamos, sin pérdida de generalidad, que \(x\) está en \(A_1\). Como \(A_1\) es un abierto, contiene una bola abierta \(B_x\) que contiene a \(x\). Entonces, la bola \(B_x\) también está contenida en la unión \(A_1 \cup A_2\):

    $$ x\in B_x\subseteq A \subseteq A\cup B $$

  • La intersección finita de bolas abiertas es un abierto.

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    Supongamos que tenemos dos bolas abiertas \(A_1\) y \(A_2\) y que \(x\) es un punto de la intersección \(C = A \cap B\).

    Sean \(r_1\) y \(r_2\) los radios de las bolas abiertas \(A_1\) y \(A_2\), respectivamente. Y sean \(a_1\) y \(a_2\) sus respectivos centros.

    Como \(x\) está en \(C\), está en \(A_1\) y en \(A_2\). Por tanto, la distancia de \(x\) a los centros de las bolas es menor que \(r_1\) y \(r_2\).

    Sean

    $$ k_1 = r_1 - d(x,a) $$

    $$ k_2 = r_2 - d(x,b) $$

    $$ \alpha = \min \left\lbrace \frac{k_1}{2}, \frac{k_2}{2}\right\rbrace $$

    Entonces, la bola de centro \(x\) y de radio \(\alpha\) está contenida estrictamente en las bolas \(A_1\) y \(A_2\) y, por tanto, en su intersección \(C\):

    $$ x \in B_\alpha (x) \subset A_1 \cap A_2$$

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    En la imagen, el disco rojo es la bola \(A_1\) y el disco azul es la bola \(A_2\). El segmento rojo mide \(k_1\) y el segmento azul mide \(k_2\). La bola verde tiene radio \(\alpha\).

  • La intersección finita de abiertos es un abierto.

    Es consecuencia de que la intersección finita de bolas abiertas sea un abierto.

X

4. Conjunto cerrado

Un conjunto \(A \subseteq \mathbb{R}^n\) es cerrado si su complementario \(B = \mathbb{R}^n-A\) es un conjunto abierto.

$$B= \mathbb{R}^n - A := \{ x\in\mathbb{R}^n\ : \ x\not \in A \} $$

Ejemplos y propiedades:

  • Toda bola cerrada es un conjunto cerrado.

    Representación de una bola cerrada del plano real:

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    Representación del complementario de la bola cerrada:

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  • Cualquier punto es un conjunto cerrado.

  • La circunferencia \(S_1\) del plano

    $$ S^1 = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ : \ x^2+y^2 = 1 \}$$

    es un conjunto cerrado.

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    Dado un punto \(x\) de la circunferencia, no existe ninguna bola abierta que lo contenga y que esté contenida en la circunferencia.

  • Un conjunto puede ser no abierto y no cerrado.

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  • Un conjunto puede ser abierto y cerrado.

    En la topología usual, los únicos conjuntos que son abiertos y cerrados son el conjunto vacío y el conjunto total \(\mathbb{R}^n\).

    En general, en los espacios conexos, los únicos conjuntos abiertos y cerrados son el vacío y el espacio total.

  • La unión finita de cerrados es un cerrado.

    Sean \(A_1\) y \(A_2\) dos conjuntos cerrados y sea \(C\) su unión: \(C = A_1 \cup A_2\).

    Los complementarios de \(A_1\) y \(A_2\) son

    $$X_1 = \mathbb{R}^n -A_1 $$

    $$X_2 = \mathbb{R}^n -A_2 $$

    Son conjuntos abiertos porque \(A_1\) y \(A_2\) son cerrados.

    Por tanto, su intersección \( Z = X_1 \cap X_2\) también es un abierto (intersección finita de abiertos).

    Por las leyes de De Morgan, \(Z\) es el complementario de \(C\) (la intersección de los complementarios es el complementario de la unión).

    Como \(Z\) es el complementario de \(C\) y es abierto, entonces \(C\) es cerrado.

  • La intersección de cerrados es un cerrado.

    Caso de intersección finita:

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    Sean \(A\) y \(B\) dos cerrados, para probar que su intersección es cerrada hay que probar que su complementario es abierto.

    Por De Morgan, el complementario de la intersección de \(A\) y \(B\) es la unión de los complementarios de \(A\) y de \(B\). Pero como los complementarios de \(A\) y de \(B\) son abiertos, su unión también lo es.




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