Espacio topológico y base de una topología
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Espacio y topológico y base de abiertos

En esta página definimos el concepto de espacio topológico, el de base de topología (o de abiertos) y proporcionamos algunos ejemplos de espacios topológicos.

Contenido de esta página:

  1. Espacio topológico
  2. Base de una topología
  3. Topología trivial
  4. Topología discreta
  5. Topología usual de \(\mathbb{R}\)
  6. Topología usual de \(\mathbb{R}^2\)
  7. Topología de Sorgenfrey

1. Espacio topológico

Sea \(X\) un conjunto y sea \(\mathcal{T}\) una familia (llamada topología sobre \(X\)) de subconjuntos de \(X\) (llamados abiertos) cumpliendo

  • El conjunto vacío y el conjunto \(X\) son abiertos: $$\emptyset \in \mathcal{T}, X\in \mathcal{T} $$
  • La unión de abiertos es un abierto: $$ \bigcup _{A_i \in I\subseteq \mathcal{T}} A_i \in \mathcal{T} $$
  • La intersección finita de abiertos es un abierto: $$ \forall A,B \in \mathcal{T},\ A\cap B \in \mathcal{T} $$

Entonces, se dice que \(\mathcal{T}\) define una topología sobre \(X\), o que el par \((X,\mathcal{T})\) es un espacio topológico.

A los conjuntos complementarios de los abiertos se les denomina cerrados. Es decir, \(A\) es cerrado si \(X-A\) es abierto.


Otras definiciones importantes:

  • En un espacio topologico \((X,\mathcal{T})\), se dice que \(U\subseteq X\) es un entorno de un punto \(x\in X\) si existe un abierto \(A\in\mathcal{T}\) tal que \(x\in A\subseteq U\).
  • Denotamos por \(\xi (x)\) al conjunto de entornos de \(x\in X\).

Observad que un abierto \(A\in\mathcal{T}\) es un entorno de todo \(x\in A\).

2. Base de una topología

Sea \(\mathcal{B}\) una familia de abiertos de la topología \(\mathcal{T}\). Se dice que \(\mathcal{B}\) es una base de abiertos (o base de \(\mathcal{T}\)) si todo abierto de \(\mathcal{T}\) se puede expresar como unión de elementos de la base \(\mathcal{B}\).


Teorema: Sea \(\mathcal{B}\) una familia de subconjuntos de \(X\). Entonces, es una base de alguna topología \(\mathcal{T}\) sobre \(X\) si, y sólo si,

  1. La unión de todos sus elementos es el total, es decir, $$ \bigcup_{A\in \mathcal{B}}A = X $$
  2. Dados dos elementos de \(\mathcal{B}\), su intersección es unión de elementos de \(\mathcal{B}\). Es decir, $$ \forall A_1, A_2 \in \mathcal{B}, $$ $$ \exists I\subseteq \mathcal{B} : \ A_1\cap A_2 = \bigcup_{B_i\in I} B_i$$
Ver demostración

Importante:

La condición (b) anterior es equivalente a la siguiente:

Si \(B_1, B_2 \in \mathcal{B}\), entonces,

$$ \forall x\in B_1\cap B_2, \exists B\in \mathcal{B},$$ $$x\in B\subseteq B_1\cap B_2 $$

3. Topología trivial

La topología trivial o indiscreta sobre un conjunto \(X\) es

$$ \mathcal{T_t } = \{ \emptyset, X\} $$

Esta topología sólo tiene dos abiertos (el vacío y el total) y son, también, cerrados (el complementario del uno es el otro y viceversa).

La única base de abiertos para esta topología es \(\mathcal{B} = \{ X\}\).

X

4. Topología discreta

La topología discreta sobre un conjunto \(X\) es la topología formada por el conjunto potencia de \(X\) (o partes de \(X\)):

$$ \mathcal{T_d } = \mathcal{P}(X) $$

En la topología discreta,

  • Todo subconjunto de \(X\) es abierto.
  • Todo subconjunto de \(X\) es cerrado.
  • Una base para la topología discreta es $$ \mathcal{B} = \{ \{ x\} \ : \ x\in X \}$$

5. Topología usual de \(\mathbb{R}\)

La topología usual sobre \(X = \mathbb{R}\) es la topología generada por la base

$$ \mathcal{B} = \{ \ ]a,b[\ : \ a\leq b,\ a,b\in\mathbb{R} \} $$

  • Todo intervalo abierto es un conjunto abierto.

  • Todo punto de \(\mathbb{R}\) es un conjunto cerrado.

    Su complementario es

    $$B= \mathbb{R} -\{ x \} = ]-\infty, x[ \cup ]x, \infty[ $$

    Como \(B\) es unión de intervalos abiertos, es abierto (por ser unión de abiertos).

  • Todo intervalo cerrado es cerrado.

  • No todos los abiertos son intervalos abiertos:

    Un conjunto formado por la unión de intervalos abiertos disjuntos es un conjunto abierto, pero no es un intervalo abierto.

  • El conjunto de los números racionales \(\mathbb{Q}\subset \mathbb{R}\) no es un conjunto abierto ni cerrado.

    No es abierto:

    Sea \(q\in\mathbb{Q}\), cualquier abierto \(A\) que contiene a \(q\) es un intervalo abierto o una unión de intervalos abiertos de \(\mathbb{R}\) y, por tanto, contiene irracionales, así que \(A \not \subseteq \mathbb{Q}\).

    No es cerrado:

    Se razona de forma análoga con el complementario \(\mathbb{R-Q}\).

  • La unión infinita de conjuntos cerrados no es necesariamente un cerrado.

    Por ejemplo, la siguiente unión infinita de cerrados no es un abierto:

    $$ \bigcup_{n\in \mathbb{N}} \left[0, 1-\frac{1}{2n}\right] = [0,1) $$

    La siguiente unión infinita de cerrados es abierto por ser el espacio total y es cerrado por ser el complementario del vacío:

    $$ \bigcup_{n\in \mathbb{N}} \ [-n, n] = \mathbb{R} $$

  • El siguiente conjunto de puntos no es abierto ni cerrado:

    $$C = \left\{ \frac{1}{n}:\ n \in\mathbb{N}\right\} $$

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    No es abierto:

    Consideremos el punto \(1\in C\).

    Los abiertos (no triviales) de la recta real son intervalos abiertos o uniones de intervalos abiertos. No existe ningún abierto que contenga a 1 y esté contenido en el conjunto \(C\). Esto implica que \(C\) no puede escribirse como unión de abiertos.

    No es cerrado:

    El complementario de \(C\) es \(C^* = \mathbb{R}-C\) y el punto 0 pertenece al conjunto \(C^*\).

    Razonando de forma análoga, cualquier intervalo abierto que contiene a 0 es de la forma \(]a,b[\) siendo \(a< 0 < b\). Pero sea cual sea el número \(b\), \( \exists n_0 \in \mathbb{N}\) tal que \(\forall n\geq n_0\), \(\frac{1}{n} < b\) y, por tanto, el intervalo \(]a,b[\) intersecta con el conjunto \(C\). Es decir, dicho intervalo no está contenido en el conjunto \(C^*\).

6. Topología usual de \(\mathbb{R}^2\)

La topología usual sobre \(X = \mathbb{R}^2\) es la topología generada por la siguiente base:

$$ \mathcal{B} = \{ \ ]x_1,y_1[ \times ]x_2,y_2[ \subseteq \mathbb{R}^2:\ x_i < y_i \} $$

Los elementos de la base son los rectángulos sin borde cuyos lados son paralelos a los ejes, por ejemplo:

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Nota: pueden utilizarse diferentes bases para representar la misma topología. Otro ejemplo de base de la topología usual del plano real es

$$ \mathcal{B}' =\{ B(a,\varepsilon): a\in\mathbb{R^2}, \varepsilon > 0 \} $$

cuyos elementos son los discos sin borde centrados en \(a\) y de radio \(\varepsilon\):

$$ B(a,\varepsilon):= \{ x\in\mathbb{R}^2: ||x-a||< \varepsilon \} $$

En esta topología,

  • Los discos abiertos (bolas abiertas) de centro \(a=(a_1,a_2)\) y radio \(\varepsilon\), es decir, el conjunto de puntos \((x,y)\) tales que \( (x-a_1)^2+(y-a_2)^2 < \varepsilon ^2\) son conjuntos abiertos:

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    Observad que para cada punto del disco existen rectángulos de la base que lo contienen y que están dentro del disco. Por tanto, el disco es un abierto.

    En cambio, no son abiertos los discos cerrados

    $$ \overline{B(a,\varepsilon )} = \{(x,y): (x-a_1)^2+(y-a_2)^2 \leq \varepsilon^2 \} $$

    Los puntos del borde son los que no pueden pertenecer a rectángulos abiertos contenidos en el disco.

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    Además, los discos abiertos no son cerrados y los discos cerrados sí son cerrados.

  • El conjunto obtenido al eliminar un punto de cualquier rectángulo de la base, es decir,

    $$ H = ]x_1,y_1[\times ]x_2,y_2[ - \{(z_1,z_2)\} $$

    siendo \(x_i <z_i< y_i\), es un conjunto abierto.

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  • Cada punto de \(\mathbb{R}^2\) es cerrado

    Su complementario \(\mathbb{R}^2 -\{ x \}\) es abierto.

  • Cualquier conjunto finito de puntos es cerrado

Ejemplos de bases y no bases:

  • La siguiente familia de discos abiertos es una base:

    $$ \mathcal{B}_1 = \{ B(a,\varepsilon ): \ a \in\mathbb{R}^2, \varepsilon > 0 \}$$

    siendo

    $$ B(a,\varepsilon ) := \{ x\in\mathbb{R}^2:\ ||x-a||< \varepsilon \}$$

  • También son bases las siguientes familias de discos abiertos:

    $$ \mathcal{B}_2 = \{ B\left(a,\frac{1}{n} \right): \ a \in\mathbb{Q}^2, n\in\mathbb{N} \}$$

    $$ \mathcal{B}_3 = \{ B\left(a,q \right): \ a \in\mathbb{Q}^2, q\in\mathbb{Q}^+ \}$$

    Nota: estas dos bases son numerables (el espacio es 2AN). No todas las topologías admiten una base numerable.

  • No es una base la familia formada por los discos cerrados:

    $$ \mathcal{B}_4 = \{ \overline{B(a,\varepsilon )}: \ a \in\mathbb{R}^2, \varepsilon > 0 \}$$

    siendo

    $$ \overline{B(a,\varepsilon )}: = \{ x\in\mathbb{R}^2:\ ||x-a||\leq \varepsilon \}$$

  • La siguiente familia de rectángulos cerrados no es una base:

    $$ \mathcal{B}_5 = \{ \ [x_1,y_1] \times [x_2,y_2]\ : \ x_i < y_i \} $$

    Pero la familia de cuadrados abiertos sí es una base:

    $$ \mathcal{B}_6 = \{ \ ]x_1,y_1[ \times ]x_2,y_2[\ : y_1 - x_1 = y_2-x_2 > 0 \} $$

  • También, podemos utilizar triángulos abiertos o conjuntos con otras formas para construir una base.

7. Topología de Sorgenfrey

La topología de Sorgenfrey o del límite inferior sobre \(\mathbb{R}\) es la topología generada por la siguiente base:

$$ \mathcal{B}_{Sor} = \{ [x,y) ,\ x < y, \ x,y\in\mathbb{R} \} $$

En la topología de Sorgenfrey,

  • Todo abierto con la forma \([a,b)\) es también un cerrado puesto que su complementario es unión de abiertos:

    $$ \mathbb{R}-[a,b) = (-\infty,a)\cup [b,+\infty) $$

  • Un punto \(x\) de \(\mathbb{R}\) no es abierto, pero sí cerrado

    No es abierto:

    Porque no puede ser escrito como unión de elementos de la base.

    Es cerrado:

    Su complementario es unión de abiertos:

    $$ \mathbb{R}-\{x\} = (-\infty , x)\cup (x,+\infty ) $$

    Los dos intervalos de la unión son abiertos por ser unión de abiertos:

    $$ (-\infty , x) = \bigcup _{n \in \mathbb{N}} [x-n,x) $$

    $$ (x, +\infty) = \bigcup _{n \in \mathbb{N}} \left[ x+\frac{1}{2n}, x+n \right) $$



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