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2. Espacio Topológico y Base

Definiciones, topología trivial, topología discreta, topología usual y topología Sorgenfrey.

Contenido de esta página:

  1. Espacio topológico

  2. Base de una topología

  3. La topología trivial

  4. La topología discreta

  5. Topología usual sobre ℝ

  6. Topología usual sobre ℝ2

  7. La topología de Sorgenfrey


1. Espacio Topológico

Definición 1.1.

Sea X un conjunto y sea una familia (llamada topología) de subconjuntos de X (llamados abiertos) cumpliendo

  • El conjunto vacío y el conjunto X son abiertos:

    $$\emptyset \in \mathcal{T}, X\in \mathcal{T} $$

  • La unión de abiertos es un abierto:

    $$ \bigcup _{i \in I} A_i \in \mathcal{T} $$

    donde I es un conjunto de subíndices tales que Ai son conjuntos abiertos.

  • La intersección finita de abiertos es un abierto:

    $$ \forall A,B \in \mathcal{T},\ A\cap B \in \mathcal{T} $$

Entonces, se dice que define una topología sobre X, o que el par (X,) es un espacio topológico.

A los conjuntos complementarios de los abiertos se les denomina cerrados:

$$ B = X-A\ , \ A\in \mathcal{T} $$


Nota (importante para la práctica): para demostrar que un determinado conjunto A es un abierto en la topología , es suficiente demostrar

$$ \forall x\in A, \exists B_x \in\mathcal{T},$$

$$ x \in B \subseteq A $$

(el subíndice x de Bx lo empleamos para hacer notar que el abierto Bx puede ser distinto para cada x de A).


2. Base de una topología

Definición 2.1.

Una familia de abiertos de la topología

$$ \mathcal{B} = \{ A\ : A\in \mathcal{T} \}$$

es una base de la topología si todo abierto de la topología puede expresarse como unión de elementos de la base.


Teorema 2.1.:

Una familia de subconjuntos de X es una base de alguna topología sobre X si, y sólo si

  1. La unión de todos sus elementos es el total:

    $$ \bigcup_{A\in \mathcal{B}}A = X $$

  2. Dados dos subconjuntos de la familia , su intersección es unión de elementos de la familia:

    $$ \forall A_1, A_2 \in \mathcal{B},$$

    $$ \exists I : \ A_1\cap A_2 = \bigcup_{i\in I} B_i,\ B_i\in\mathcal{B}$$

Ver Demostración


Importante:

La condición (b) anterior es equivalente a la siguiente:

Si

$$ B_1, B_2 \in \mathcal{B}$$

Entonces,

$$ \forall x\in B_1\cap B_2, \exists B\in \mathcal{B}, \ x\in B\subseteq B_1\cap B_2 $$



3. La topología trivial

La topología trivial o indiscreta sobre cualquier conjunto X es

$$ \mathcal{T_t } = \{ \emptyset, X\} $$

Esta topología sólo tiene dos abiertos y son, además, cerrados.

La única base de abiertos para esta topología es

$$ \mathcal{A} = \{ X\}$$



4. La topología discreta

La topología discreta sobre cualquier conjunto X es la topología formada por el conjunto potencia de X (partes de X):

$$ \mathcal{T_d } = \mathcal{P}(X) $$

En la topología discreta:

  • Cualquier subconjunto de X es abierto.

  • Cualquier subconjunto de X es cerrado.

  • Una base para la topología discreta es

    $$ \mathcal{A} = \{ \{ x\} \ : \ x\in X \}$$


5. La topología usual sobe ℝ

La topología usual sobre X = ℝ es la topología cuya base es el conjunto de intervalos abiertos

$$ \mathcal{A } = \{ \ ]a,b[\ : \ a\leq b,\ a,b\in\mathbb{R} \} $$

En la topología usual sobre :

  • Cualquier intervalo abierto es abierto.

  • Cada punto de ℝ es un cerrado:

    Su complementario

    $$ \mathbb{R} -\{ x \} = ]-\infty, x[ \cup ]x, \infty[ $$

    es abierto por ser una unión de abiertos.

  • Cualquier intervalo cerrado es cerrado.

  • No todos los abiertos son intervalos abiertos:

    Un conjunto formado por la unión de intervalos abiertos es un conjunto abierto, pero no es un intervalo abierto.

  • El conjunto de los números racionales

    $$ \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$$

    no es un conjunto abierto ni cerrado.

    No es abierto:

    Dado cualquier punto q racional, cualquier abierto A que contiene a q es un intervalo abierto o una unión de intervalos abiertos de ℝ y, por tanto, contiene irracionales, por lo que

    $$ A \not \subseteq \mathbb{Q} $$

    No es cerrado:

    Se razona de forma análoga con el complementario

    $$ \mathbb{R-Q} $$

  • La unión infinita de conjuntos cerrados no es necesariamente un cerrado.

    Por ejemplo, la unión infinita de cerrados no abiertos

    $$ \bigcup_{n\in \mathbb{N}} \left[0, 1-\frac{1}{n}\right] = [0,1) $$

    no es ni abierto ni cerrado.

    La unión infinita de cerrados no abiertos

    $$ \bigcup_{n\in \mathbb{N}} \ [-n, n] = \mathbb{R} $$

    es un abierto por ser el espacio total y un cerrado por ser el complementario del vacío.

  • El siguiente conjunto de puntos no es abierto ni cerrado:

    $$C = \{ \frac{1}{n}:\ n \in\mathbb{N}\} $$

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    No es abierto:

    Consideremos el punto

    $$ 1\in C $$

    Los abiertos (no triviales) de la recta real son intervalos abiertos o uniones de intervalos abiertos. No existe ningún abierto que contenga a 1 y esté contenido en el conjunto C. Esto implica que C no puede escribirse como unión de abiertos.

    No es cerrado:

    El complementario de C es

    $$ C^* = \mathbb{R}-C $$

    El punto 0 pertenece al conjunto C*. Razonando de forma análoga, cualquier intervalo abierto que contiene a 0 es de la forma ]a,b[ siendo

    $$ a< 0 < b $$

    Pero sea cual sea el número b,

    $$ \exists n_0 \in \mathbb{N}, , \forall n\geq n_0, \frac{1}{n} < b$$

    y por tanto, el intervalo ]a,b[ intersecta con el conjunto C. Es decir, dicho intervalo no está contenido en el conjunto C*.

Ejemplos de bases y no bases:

  • No es una base:

    $$ \mathcal{A}_1 = \{ \ ]-\epsilon , \epsilon \ [ \ : \ \epsilon > 0 \}$$

    Por ejemplo, el intervalo ]0,1[ es un abierto y no puede ser escrito como unión de intervalos del tipo ]-ε, ε[.

  • No es una base:

    $$ \mathcal{A}_2 = \{ \ ]-n,m[\ : \ n,m\in\mathbb{N} \} $$

    Por ejemplo, el abierto ]0.5, 0.7[ no puede ser escrito como unión de intervalos del tipo ]-n,m[ sinedo n y m naturales.

  • No es una base:

    $$ \mathcal{A}_3 = \{ \ ]n,m[\ : \ n\leq m,\ n,m\in\mathbb{Z} \} $$

    Por ejemplo, el abierto ]0.5, 0.7[ no puede ser escrito como unión de estos intervalos.

  • Sí son bases:

    $$ \mathcal{A}_4 = \{ \ ]s,t[\ : \ s\leq t,\ s,t\in\mathbb{Q} \} $$

    $$ \mathcal{A}_5 = \{ \ ]s,t[\ : \ s\leq t,\ s,t\in\mathbb{R-Q} \} $$

  • Sí es una base:

    $$ \mathcal{A}_6 = \{ \ ]x-\epsilon,x+\epsilon[\ : \ x\in\mathbb{R}, \epsilon\in\mathbb{R}^+ \} $$



6. La topología usual sobe ℝ2

La topología usual sobre X = ℝ2 es la topología cuya base es el conjunto de rectángulos abiertos cuyos lados son paralelos a los ejes:

$$ \mathcal{A } = \{ \ ]x_1,x_2[ \times ]y_1,y_2[ \subseteq \mathbb{R}^2,\ x_1\leq x_2,y_1\leq y_2 \} $$

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Nota: pueden utilizarse diferentes bases para representar la misma topología. Otro ejemplo de base de la topología usual del plano real es

$$ \mathcal{B} =\{ B(a,\varepsilon): a\in\mathbb{R^2}, \varepsilon >0 \} $$

cuyos elementos son los discos abiertos centrados en a y de radio ε:

$$ B(a,\varepsilon):= \{ x\in\mathbb{R}^2: ||x-a||< \varepsilon \} $$

En la topología usual sobre ℝ2:

  • Los discos abiertos (bolas abiertas) de centro (a1, a2) y radio ε, es decir, el conjunto de puntos (x,y) tales que

    $$ (x-a_1)^2+(y-a_2)^2 < ε^2$$

    son conjuntos abiertos:

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    Nótese que para cada punto del disco (abierto) existen rectángulos de la base que lo contienen y que están dentro del disco. Por tanto, el disco es un abierto.

    En cambio, los discos cerrados

    $$ (x-a_1)^2+(y-a_2)^2 ≤ ε^2$$

    no son abiertos. Esto se debe a que dado un punto que cumple la igualdad, no existe ningún abierto que lo contenga y esté contenido en el disco:

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    Además, los discos abiertos no son cerrados y los discos cerrados sí son cerrados.

  • El conjunto obtenido al eliminar un punto de cualquier rectángulo de la base, es decir,

    $$ H = ]x_1,x_2[\times ]y_1,y_2[ - \{(p,q)\} $$

    siendo

    $$ x_1 < p < x_2,\ y_1 < q < y_2 $$

    es un conjunto abierto:

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    De forma similar,

  • Cada punto de ℝ2 es un cerrado:

    Su complementario

    $$ \mathbb{R}^2 -\{ x \} $$

    es abierto.

  • Cualquier conjunto finito de puntos es cerrado:

    $$ \{ x_1,...,x_n:\ n\in\mathbb{N}\} $$

Ejemplos de bases de abiertos y no bases:

  • Es una base la familia de discos abiertos:

    $$ \mathcal{B}_1 = \{ B(a,\varepsilon ): \ a \in\mathbb{R}^2, \varepsilon > 0 \}$$

    siendo

    $$ B(a,\varepsilon ) := \{ x\in\mathbb{R}^2:\ ||x-a||< \varepsilon \}$$

  • También son bases las siguientes familias de discos abiertos:

    $$ \mathcal{B}_2 = \{ B(a,\frac{1}{n} ): \ a \in\mathbb{R}^2, n\in\mathbb{N} \}$$

    $$ \mathcal{B}_3 = \{ B(a,q ): \ a \in\mathbb{R}^2, q\in\mathbb{Q}^+ \}$$

  • No es una base la familia formada por los discos cerrados:

    $$ \mathcal{B}_4 = \{ \overline{B(a,\varepsilon )}: \ a \in\mathbb{R}^2, \varepsilon > 0 \}$$

    siendo

    $$ \overline{B(a,\varepsilon )}: = \{ x\in\mathbb{R}^2:\ ||x-a||\leq \varepsilon \}$$

  • La familia de rectángulos cerrados

    $$ \mathcal{B}_5 = \{ \ [x_1,x_2] \times [y_1,y_2]\ : \ x_1 < x_2,\ y_1 < y_2 \} $$

    no es una base de abiertos. Pero la familia de rectángulos abiertos sí es una base:

    $$ \mathcal{B}_6 = \{ \ ]x_1,x_2[ \times ]y_1,y_2[\ : \ x_1 < x_2,\ y_1 < y_2 \} $$



7. La topología de Sorgenfrey

La topología de Sorgenfrey o del límite inferior sobre ℝ es la topología que tiene por base la familia de intervalos:

$$ \mathcal{B}_{[)} = \{ [x,y) ,\ x < y, \ x,y\in\mathbb{R} \} $$

En la topología de Sorgenfrey:

  • Todo abierto con la forma [a,b) es también un cerrado puesto que su complementario es la unión de abiertos:

    $$ (-\infty,a)\cup [b,\infty) $$

  • Un punto x de ℝ no es abierto, pero sí cerrado:

    No es abierto:

    Porque no puede ser escrito como unión de elementos de la base. Para ello, debería existir al menos un intervalo [a,b) contenido en x, lo cual no es posible.

    Es cerrado:

    Su complementario es

    $$ \mathbb{R}-{x} = (-\infty , x)\cup (x,\infty ) $$

    Los dos intervalos de la unión son abiertos por ser unión de abiertos:

    $$ (-\infty , x) = \bigcup _{n \in \mathbb{N}} [-n,x) $$

    $$ (x, \infty) = \bigcup _{n \in \mathbb{N}} \left[ x+\frac{1}{n}, n \right) $$



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