Espacio y topológico y base de abiertos

En esta página definimos el concepto de espacio topológico, el de base de topología (o de abiertos) y proporcionamos algunos ejemplos de espacios topológicos.

Contenido de esta página:

1. Espacio topológico
2. Base de una topología
3. Topología trivial
4. Topología discreta
5. Topología usual de \(\mathbb{R}\)
6. Topología usual de \(\mathbb{R}^2\)
7. Topología de Sorgenfrey

Otras definiciones importantes:

• En un espacio topologico \((X,\mathcal{T})\), se dice que \(U\subseteq X\) es un entorno de un punto \(x\in X\) si existe un abierto \(A\in\mathcal{T}\) tal que \(x\in A\subseteq U\).
• Denotamos por \(\xi (x)\) al conjunto de entornos de \(x\in X\).

Observad que un abierto \(A\in\mathcal{T}\) es un entorno de todo \(x\in A\).

Teorema: Sea \(\mathcal{B}\) una familia de subconjuntos de \(X\). Entonces, es una base de alguna topología \(\mathcal{T}\) sobre \(X\) si, y sólo si,

1. La unión de todos sus elementos es el total, es decir, $$ \bigcup_{A\in \mathcal{B}}A = X $$
2. Dados dos elementos de \(\mathcal{B}\), su intersección es unión de elementos de \(\mathcal{B}\). Es decir, $$ \forall A_1, A_2 \in \mathcal{B}, $$ $$ \exists I\subseteq \mathcal{B} : \ A_1\cap A_2 = \bigcup_{B_i\in I} B_i$$

Importante:

La condición (b) anterior es equivalente a la siguiente:

Si \(B_1, B_2 \in \mathcal{B}\), entonces,

$$ \forall x\in B_1\cap B_2, \exists B\in \mathcal{B},$$ $$x\in B\subseteq B_1\cap B_2 $$

Esta topología sólo tiene dos abiertos (el vacío y el total) y son, también, cerrados (el complementario del uno es el otro y viceversa).

La única base de abiertos para esta topología es \(\mathcal{B} = \{ X\}\).

En la topología discreta,

• Todo subconjunto de \(X\) es abierto.
• Todo subconjunto de \(X\) es cerrado.
• Una base para la topología discreta es $$ \mathcal{B} = \{ \{ x\} \ : \ x\in X \}$$

• Todo intervalo abierto es un conjunto abierto.

• Todo punto de \(\mathbb{R}\) es un conjunto cerrado.

  Su complementario es

  $$B= \mathbb{R} -\{ x \} = ]-\infty, x[ \cup ]x, \infty[ $$

  Como \(B\) es unión de intervalos abiertos, es abierto (por ser unión de abiertos).

• Todo intervalo cerrado es cerrado.

• No todos los abiertos son intervalos abiertos:

  Un conjunto formado por la unión de intervalos abiertos disjuntos es un conjunto abierto, pero no es un intervalo abierto.

• El conjunto de los números racionales \(\mathbb{Q}\subset \mathbb{R}\) no es un conjunto abierto ni cerrado.

  No es abierto:

  Sea \(q\in\mathbb{Q}\), cualquier abierto \(A\) que contiene a \(q\) es un intervalo abierto o una unión de intervalos abiertos de \(\mathbb{R}\) y, por tanto, contiene irracionales, así que \(A \not \subseteq \mathbb{Q}\).

  No es cerrado:

  Se razona de forma análoga con el complementario \(\mathbb{R-Q}\).

• La unión infinita de conjuntos cerrados no es necesariamente un cerrado.

  Por ejemplo, la siguiente unión infinita de cerrados no es un abierto:

  $$ \bigcup_{n\in \mathbb{N}} \left[0, 1-\frac{1}{2n}\right] = [0,1) $$

  La siguiente unión infinita de cerrados es abierto por ser el espacio total y es cerrado por ser el complementario del vacío:

  $$ \bigcup_{n\in \mathbb{N}} \ [-n, n] = \mathbb{R} $$

• El siguiente conjunto de puntos no es abierto ni cerrado:

  $$C = \left\{ \frac{1}{n}:\ n \in\mathbb{N}\right\} $$

  

  No es abierto:

  Consideremos el punto \(1\in C\).

  Los abiertos (no triviales) de la recta real son intervalos abiertos o uniones de intervalos abiertos. No existe ningún abierto que contenga a 1 y esté contenido en el conjunto \(C\). Esto implica que \(C\) no puede escribirse como unión de abiertos.

  No es cerrado:

  El complementario de \(C\) es \(C^* = \mathbb{R}-C\) y el punto 0 pertenece al conjunto \(C^*\).

  Razonando de forma análoga, cualquier intervalo abierto que contiene a 0 es de la forma \(]a,b[\) siendo \(a< 0 < b\). Pero sea cual sea el número \(b\), \( \exists n_0 \in \mathbb{N}\) tal que \(\forall n\geq n_0\), \(\frac{1}{n} < b\) y, por tanto, el intervalo \(]a,b[\) intersecta con el conjunto \(C\). Es decir, dicho intervalo no está contenido en el conjunto \(C^*\).

Los elementos de la base son los rectángulos sin borde cuyos lados son paralelos a los ejes, por ejemplo:

Nota: pueden utilizarse diferentes bases para representar la misma topología. Otro ejemplo de base de la topología usual del plano real es

$$ \mathcal{B}' =\{ B(a,\varepsilon): a\in\mathbb{R^2}, \varepsilon > 0 \} $$

cuyos elementos son los discos sin borde centrados en \(a\) y de radio \(\varepsilon\):

$$ B(a,\varepsilon):= \{ x\in\mathbb{R}^2: ||x-a||< \varepsilon \} $$

En esta topología,

• Los discos abiertos (bolas abiertas) de centro \(a=(a_1,a_2)\) y radio \(\varepsilon\), es decir, el conjunto de puntos \((x,y)\) tales que \( (x-a_1)^2+(y-a_2)^2 < \varepsilon ^2\) son conjuntos abiertos:

  

  Observad que para cada punto del disco existen rectángulos de la base que lo contienen y que están dentro del disco. Por tanto, el disco es un abierto.

  En cambio, no son abiertos los discos cerrados

  $$ \overline{B(a,\varepsilon )} = \{(x,y): (x-a_1)^2+(y-a_2)^2 \leq \varepsilon^2 \} $$

  Los puntos del borde son los que no pueden pertenecer a rectángulos abiertos contenidos en el disco.

  

  Además, los discos abiertos no son cerrados y los discos cerrados sí son cerrados.

• El conjunto obtenido al eliminar un punto de cualquier rectángulo de la base, es decir,

  $$ H = ]x_1,y_1[\times ]x_2,y_2[ - \{(z_1,z_2)\} $$

  siendo \(x_i <z_i< y_i\), es un conjunto abierto.

  

• Cada punto de \(\mathbb{R}^2\) es cerrado

  Su complementario \(\mathbb{R}^2 -\{ x \}\) es abierto.

• Cualquier conjunto finito de puntos es cerrado

Ejemplos de bases y no bases:

• La siguiente familia de discos abiertos es una base:

  $$ \mathcal{B}_1 = \{ B(a,\varepsilon ): \ a \in\mathbb{R}^2, \varepsilon > 0 \}$$

  siendo

  $$ B(a,\varepsilon ) := \{ x\in\mathbb{R}^2:\ ||x-a||< \varepsilon \}$$

• También son bases las siguientes familias de discos abiertos:

  $$ \mathcal{B}_2 = \{ B\left(a,\frac{1}{n} \right): \ a \in\mathbb{Q}^2, n\in\mathbb{N} \}$$

  $$ \mathcal{B}_3 = \{ B\left(a,q \right): \ a \in\mathbb{Q}^2, q\in\mathbb{Q}^+ \}$$

  Nota: estas dos bases son numerables (el espacio es 2AN). No todas las topologías admiten una base numerable.

• No es una base la familia formada por los discos cerrados:

  $$ \mathcal{B}_4 = \{ \overline{B(a,\varepsilon )}: \ a \in\mathbb{R}^2, \varepsilon > 0 \}$$

  siendo

  $$ \overline{B(a,\varepsilon )}: = \{ x\in\mathbb{R}^2:\ ||x-a||\leq \varepsilon \}$$

• La siguiente familia de rectángulos cerrados no es una base:

  $$ \mathcal{B}_5 = \{ \ [x_1,y_1] \times [x_2,y_2]\ : \ x_i < y_i \} $$

  Pero la familia de cuadrados abiertos sí es una base:

  $$ \mathcal{B}_6 = \{ \ ]x_1,y_1[ \times ]x_2,y_2[\ : y_1 - x_1 = y_2-x_2 > 0 \} $$

• También, podemos utilizar triángulos abiertos o conjuntos con otras formas para construir una base.

En la topología de Sorgenfrey,

• Todo abierto con la forma \([a,b)\) es también un cerrado puesto que su complementario es unión de abiertos:

  $$ \mathbb{R}-[a,b) = (-\infty,a)\cup [b,+\infty) $$

• Un punto \(x\) de \(\mathbb{R}\) no es abierto, pero sí cerrado

  No es abierto:

  Porque no puede ser escrito como unión de elementos de la base.

  Es cerrado:

  Su complementario es unión de abiertos:

  $$ \mathbb{R}-\{x\} = (-\infty , x)\cup (x,+\infty ) $$

  Los dos intervalos de la unión son abiertos por ser unión de abiertos:

  $$ (-\infty , x) = \bigcup _{n \in \mathbb{N}} [x-n,x) $$

  $$ (x, +\infty) = \bigcup _{n \in \mathbb{N}} \left[ x+\frac{1}{2n}, x+n \right) $$

---