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3. Espacio Métrico y su Topología

Primero, daremos la definición de distancia, de espacio métrico, de bolas abiertas y cerradas de una distancia y de topología inducida por una métrica. Después, veremos ejemplos de distancias y estudiaremos su topología inducida. Finalmente, definimos el concepto de topologías equivalentes.

Índice de contenidos:

  1. Distancia, espacio métrico, bolas y topología inducida

  2. Topología euclídea sobre ℝ, ℝ2 y ℝn

  3. Topología Taxicab sobre ℝ2

  4. Topología del máximo

  5. Espacios de funciones (ejemplos)

  6. Topologías equivalentes


1. Distancia, espacio métrico, bolas y topología inducida

Definición 1.1.

Sea X un conjunto, una distancia o métrica sobre X es la función

$$ d: X\times X \rightarrow [0,+\infty)$$

cumpliendo

  • Siempre es no negativa:

    $$ d(x,y) \geq 0, \forall x,y\in X $$

  • La distantica entre dos puntos es 0 si y sólo sí son el mismo punto:

    $$ d(x,y) = 0 \Leftrightarrow x = y $$

  • Simetría:

    $$ d(x,y) = d(y,x), \forall x,y\in X $$

  • Desigualdad triangular:

    $$ d(x,y) \leq d(x,z)+d(z,y),$$

    $$ \forall x,y,z\in X $$


Definición 1.2.

Sean X un conjunto y d una distancia sobre X. Se denomina espacio métrico al par (X, d).


Definición 1.3.

Sean (X,d) un espacio métrico, se denomina bola abierta (de la métrica d) de centro a y radio ε > 0 al conjunto

$$ B_d(a, \varepsilon) := \{ x\in X:\ d(a,x)< \varepsilon \}$$

y bola cerrada (de la métrica d) de centro a y radio ε > 0 al conjunto

$$ \overline{B_d(a, \varepsilon)} := \{ x\in X:\ d(a,x)\leq \varepsilon \}$$

Nota: Normalmente, omitiremos el subíndice d de las bolas si ésta se sobreentiende.


Teorema 1.1. / Definición 1.4.

Sean (X,d) un espacio métrico, entonces la familia de bolas abiertas en (X,d) es una base de una topología letra tau sobre X. Dicha topología se denomina topología inducida por la métrica d:

$$ \mathcal{T}_d := \{ B_d(a,\varepsilon):\ a\in X, \varepsilon > 0 \}$$


2. Topología euclídea sobre sobre ℝ, ℝ2 y ℝn

Definición 2.1.

Sobre ℝ, se define la distancia euclídea como

$$ d(x,y) = |x-y|, \forall x,y \in \mathbb{R}$$


Definición 2.2.

Sobre ℝ2, se define la distancia euclídea como

$$ d((x_1,x_2),(y_1,y_2)) = ||(x_1,x_2)-(y_1,y_2)|| = $$

$$ = \sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2}, $$

$$ \forall (x_1,x_2),(y_1,y_2) \in \mathbb{R}^2$$


Ejemplo:

La distancia euclídea entre los puntos

$$ A=(1,1), B=(3,2) $$

es

$$d(A,B) = \sqrt{4+1} = \sqrt{5} $$

La distancia euclídea coincide con la longitud (euclídea) del segmento que une los puntos.

Generalizando,

Definición 2.3.

Sobre ℝn, se define la distancia euclídea como

$$ d((x_1,...,x_n),(y_1,...,y_n)) = $$

$$ = ||(x_1,...,x_n)-(y_1,...,y_n)|| = $$

$$ = \sqrt{\sum_{1\leq i\leq n}{(x_i-y_i)^2}}, $$

$$ \forall (x_1,...,x_n),(y_1,...,y_n) \in \mathbb{R}^n$$


Definición 2.4.

Los espacios métricos euclídeos son

$$ (\mathbb{R}, d),\ (\mathbb{R}^2, d),\ (\mathbb{R}^n, d) $$

siendo, en cada espacio, d la distancia euclídea correspondiente.


No estudiamos en esta página cómo son las bolas de esta topología ya que podemos encontrar dicha información en: abiertos y cerrados de la topología usual.



3. Topología Taxicab sobre ℝ2

Para el caso n = 2, la distancia Taxicab es

Definición 3.1.

Sobre ℝ2, se define la distancia Taxicab o de Manhattan como la suma de los valores absolutos de las diferencias de sus coordenadas:

$$ d_1((x_1,x_2),(y_1,y_2)) = |x_1 - y_1|+|x_2 - y_2|, $$

$$\forall (x_1,x_2),(y_1,y_2) \in \mathbb{R}^2$$


Ejemplo:

La distancia Taxicab entre los puntos

$$ A=(1,1), B=(3,2) $$

es

$$d_1(A,B) = |1-3|+|1-2| = 3 $$

La distancia Taxicab coincide con la longitud (euclídea) de los dos segmentos (paralelos a los ejes) que unen los puntos.

Su generalización es

Definición 3.2.

Sobre ℝn, se define la distancia Taxicab como:

$$ d_1((x_1,...,x_n),(y_1,...,y_n)) = $$

$$ =\sum_{1\leq i \leq n}{|x_i - y_i|}, $$

$$\forall (x_1,...,x_n),(y_1,...,y_n) \in \mathbb{R}^n$$


Bolas Taxicab:

La bola abierta de la métrica Taxicab tiene forma de cuadrado rotado 45 grados:

Nota: los puntos blancos no pertenecen a la bola abierta (sí a la cerrada). Se han representado para mostrar que la distancia Taxicab de estos puntos al centro a es igual a 3. Los puntos de la bola abierta deben distar menos que 3.



4. Topología del máximo sobre ℝ2

Para el caso n = 2,

Definición 4.1.

Sobre ℝ2, se define la distancia del máximo como el máximo de los valores absolutos de las diferencias de sus coordenadas:

$$ d_\infty ((x_1,x_2),(y_1,y_2)) = max\{|x_1 - y_1|,|x_2 - y_2|\}, $$

$$\forall (x_1,x_2),(y_1,y_2) \in \mathbb{R}^2$$


Ejemplo:

Las distancias del máximo entre los puntos

$$ A=(1,1), B=(3,2) $$

y los puntos

$$ A=(1,1), C=(3,4) $$

son

$$d_\infty (A,B) = max\{|1-3|,|1-2|\} = 2 $$

$$d_\infty (A,C) = max\{|1-3|,|1-4|\} = 3 $$


Bolas de la distancia del máximo:

La bola abierta de la métrica del máximo tiene forma de cuadrado:

Nota: los puntos blancos no pertenecen a la bola abierta (sí a la cerrada). Se han representado para mostrar que la distancia del máximo de estos puntos al centro A es igual a 1. Los puntos de la bola abierta deben distar menos que 1.



5. Topología del espacio de funciones C[0,1]

No estudiaremos las métricas entre funciones, pero daremos dos ejemplos para mostrar el uso de la topología en otras áreas, en este caso, en el análisis (funcional).

Definición 5.1.

Se denota al conjunto de funciones continuas en el intervalo [0,1] por

$$ \mathcal{C}([0,1]):= \{ f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R} : f\ continua \}$$

Estas funciones son integrables en [0,1] y, por tanto, también lo es su valor absoluto.

Definición 5.2.

Sobre el conjunto C([0,1]) se define la métrica

$$ d(f,g) = \int_0^1{|f(x)-g(x)|}dx $$


Ejemplo:

La distancia entre las funciones

$$ f(x) = 2x^2 \in \mathcal{C}([0,1]) $$

$$ g(x) = x^2 \in \mathcal{C}([0,1]) $$

es la integral

$$ d (f,g) = \int_0^1{ |f(x)-g(x)|}dx = $$

$$ = \int_0^1{ |2x^2-x^2|}dx = $$

$$ = \int_0^1{ x^2}dx =\frac{1}{3} $$

La distancia entre las funciones f y g representa el área de la región entre sus gráficas en el intervalo [0,1].


La distancia entre las funciones:

$$ f_2(x) = -x^3+1 \in \mathcal{C}([0,1]) $$

$$ g_2(x) = x^2 \in \mathcal{C}([0,1]) $$

es la integral

$$ d (f,g) = \int_0^1{ |f_2(x)-g_2(x)|}dx = $$

$$ = \int_0^1{ |-x^3+1-x^2|}dx \simeq 0.64404 $$

Por tanto, las funciones f y g están más cerca entre ellas que las funciones f2 y g2.


Veamos otra distancia:

Definición 5.3.

Sobre el conjunto C([0,1]) se define la métrica

$$ d_*(f,g) = \sup_{x\in[0,1]}\{|f(x)-g(x)|\} $$


Bolas de d*:

Dada una función f de C([0,1]), la bola centrada en la función f y de radio ε está constituida por las funciones cuyas gráficas se encuentran en una banda de anchura 2ε alrededor de la gráfica de f. Es decir, es el conjunto de funciones cuya gráfica se encuentra entre las gráficas de las funciones

$$ f_1(x) = f(x)+\varepsilon $$

$$ f_2(x) = f(x)-\varepsilon $$

Puesto que

$$ d_* (f,f_i) = \sup_{x\in[0,1]}\{|f(x)-f_i(x)|\} = $$

$$ = \sup_{x\in[0,1]}\{|\varepsilon|\} = \varepsilon $$

La función de la representación es:

$$ f(x) = x^3-x^2 +1,\ x\in [0,1] $$



6. Topologías equivalentes

Definición 6.1.

Dado un conjunto X, las topologías

$$ \mathcal{T}_1, \mathcal{T}_2$$

definidas sobre X son equivalentes si tienen los mismos abiertos. Esto es,

$$ A\in\mathcal{T}_1 \Leftrightarrow A\in\mathcal{T}_2$$

Por tanto, podemos escribir

$$ \mathcal{T}_1 = \mathcal{T}_2$$

Si las topologías no son equivalentes, pero

$$ \mathcal{T}_1 \subset \mathcal{T}_2$$

se dice que la topología T2 es más fina que T1, o bien, que la topología T1 es más débil que T2.

Nota: Si T2 es más fina que T1, entonces los abiertos de T1 son abiertos de T2, pero no todos los abiertos de T2 son abiertos de T1.


Ejemplo de topologías equivalentes:

Las topologías euclídea, del máximo y de Taxicab son equivalentes:

$$\mathcal{T}_e = \mathcal{T}_1 = \mathcal{T}_\infty $$


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