Espacio métrico y su topología

En esta página definimos distancia (o métrica), espacio métrico, bolas abiertas y cerradas de una métrica y topología inducida por una métrica. Después, proporcionamos ejemplos de distancias y su topología inducida. Finalmente, definimos el concepto de topologías equivalentes.

Contenido de esta página:

Distancia, espacio métrico, bolas y topología inducida
Topología usal
Topología taxicab
Topología del máximo
Comparación de topologías
Espacio de funciones $\mathcal{C}[0,1]$

Páginas relacionadas

Otras páginas:

1. Distancia, espacio métrico, bolas y topología inducida

Distancia y espacio métrico:

Dado un conjunto $X$, una distancia o métrica sobre $X$ es una función $ d \colon X\times X \rightarrow [0,+\infty)$ cumpliendo

Siempre es no negativa: $$ d(x,y) \geq 0, \forall x,y\in X $$
La distantica entre dos puntos es 0 si y sólo si son el mismo punto: $$ d(x,y) = 0 \Leftrightarrow x = y $$
Simetría: $$ d(x,y) = d(y,x), \forall x,y\in X $$
Desigualdad triangular: $$ d(x,y) \leq d(x,z)+d(z,y),$$ $$ \forall x,y,z\in X $$

Sean $X$ un conjunto y $d$ una distancia sobre $X$. Se denomina espacio métrico al par $(X,d)$.

Bolas abiertas y cerradas:

Dado un espacio métrico $(X,d)$,

Se denomina bola abierta (de la métrica $d$) de centro $a$ y radio $\varepsilon > 0$ al conjunto

$$ B_d(a, \varepsilon) := \{ x\in X:\ d(a,x)< \varepsilon \}$$

Y bola cerrada (de la métrica $d$) de centro $a$ y radio $\varepsilon > 0$ al conjunto

$$ \overline{B_d(a, \varepsilon)} := \{ x\in X:\ d(a,x)\leq \varepsilon \}$$

Nota: Normalmente, omitimos el subíndice $d$ de las bolas si no da lugar a confusión.

Las bolas abiertas están contenidas en las cerradas:

$$ B_d(a, \varepsilon) \subset \overline{B_d(a, \varepsilon)}$$

Topología inducida por una métrica:

Dado un espacio métrico $(X,d)$, la siguiente familia de bolas abiertas es una base de una topología $\mathcal{T}$ sobre $X$:

$$ \mathcal{B}_d := \{ B_d(a,\varepsilon):\ a\in X, \varepsilon > 0 \}$$

Dicha topología se denomina topología inducida por la métrica $d$, $\mathcal{T}_d$.

Recordad que una topología es una familia de conjuntos de $X$ que cumple determinadas condiciones. Más información en Espacio topológico y base de una topología.

2. Topología usual de $\mathbb{R}^n$

Sobre $\mathbb{R}$, se define la distancia euclídea como

$$ d(x,y) = |x-y|, \forall x,y \in \mathbb{R}$$

Por ejemplo, la distancia entro los puntos $3$ y $5$ es

$$ d(3,5) = |3-5| = 2 > 0$$

Y la bola abierta de radio $\varepsilon = 1$ y centro $0$ es el intervalo $]-0.5, 0.5[$:

$$ B_d(0,1) = ]-0.5, 0.5[ $$

Sobre $\mathbb{R}^2$, se define la distancia euclídea como

$$ d((x_1,x_2),(y_1,y_2)) = ||(x_1,x_2)-(y_1,y_2)|| = $$

$$ = \sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2}, $$

$$ \forall (x_1,x_2),(y_1,y_2) \in \mathbb{R}^2$$

Ver ejemplo

En este espacio, las bolas abiertas son círculos sin borde.

En general,

Sobre $\mathbb{R}^n$, se define la distancia euclídea como

$$ d((x_1,...,x_n),(y_1,...,y_n)) = $$

$$ = ||(x_1,...,x_n)-(y_1,...,y_n)|| = $$

$$ = \sqrt{\sum_{1\leq i\leq n}{(x_i-y_i)^2}}, $$

$$ \forall (x_1,...,x_n),(y_1,...,y_n) \in \mathbb{R}^n$$

En $\mathbb{R}^3$, las bolas abiertas son esferas (sin superficie exterior).

Podéis encontrar algunas repesentaciones de bolas de la topología usual en bolas, abiertos y cerrados de la topología usual.

Los espacios métricos euclídeos son $(\mathbb{R}^n, d)$, siendo $d$ la distancia euclídea correspondiente a cada espacio.

3. Topología taxicab de $\mathbb{R}^2$

Sobre $\mathbb{R}^2$, se define la distancia taxicab (del taxi o de Manhattan) como la suma de los valores absolutos de las diferencias de sus coordenadas:

$$ d_1((x_1,x_2),(y_1,y_2)) = |x_1 - y_1|+|x_2 - y_2|, $$

$$\forall (x_1,x_2),(y_1,y_2) \in \mathbb{R}^2$$

Por ejemplo, la distancia taxicab entre los puntos $A=(1,1)$ y $B=(3,2)$ es

$$d_1(A,B) = |1-3|+|1-2| = 3 $$

La distancia taxicab coincide con la longitud (euclídea) de los dos segmentos (paralelos a los ejes) que unen los puntos.

Generalización a $\mathbb{R}^n$:

Sobre $\mathbb{R}^n$, se define la distancia taxicab como

$$ d_1((x_1,...,x_n),(y_1,...,y_n)) = $$

$$ =\sum_{1\leq i \leq n}{|x_i - y_i|}, $$

$$\forall (x_1,...,x_n),(y_1,...,y_n) \in \mathbb{R}^n$$

Bolas de taxicab:

En $\mathbb{R}^2$, las bolas abiertas de la métrica taxicab tienen forma de cuadrados rotados 45 grados:

Nota: los puntos blancos no pertenecen a la bola abierta (sí a la cerrada).

4. Topología del máximo

Sobre $\mathbb{R}^2$, se define la distancia del máximo como el máximo de los valores absolutos de las diferencias de sus coordenadas:

$$ d_\infty ((x_1,x_2),(y_1,y_2)) = max\{|x_1 - y_1|,|x_2 - y_2|\}, $$

$$\forall (x_1,x_2),(y_1,y_2) \in \mathbb{R}^2$$

Por ejemplo, la distancia del máximo entre los puntos $A = (1,1)$ y $B = (3,2)$ y la entre $A$ y $C=(3,4)$ es

$$d_\infty (A,B) = max\{|1-3|,|1-2|\} = 2 $$

$$d_\infty (A,C) = max\{|1-3|,|1-4|\} = 3 $$

Bolas del máximo:

La bola abierta de la métrica del máximo tiene forma de cuadrado:

Nota: los puntos blancos no pertenecen a la bola abierta (sí a la cerrada).

5. Comparación de topologías

Dado un conjunto $X$, las topologías $\mathcal{T}_1$ y $\mathcal{T}_2$ sobre $X$ son equivalentes si tienen los mismos abiertos. Es decir, si

$$ A\in\mathcal{T}_1 \Leftrightarrow A\in\mathcal{T}_2$$

Por tanto, podemos escribir $\mathcal{T}_1 = \mathcal{T}_2$.

Si las topologías no son equivalentes, pero $\mathcal{T}_1 \subset \mathcal{T}_2$, se dice que la topología $\mathcal{T}_2$ es más fina que $\mathcal{T}_1$, o bien, que la topología $\mathcal{T}_1$ es más débil que $\mathcal{T}_2$.

Ejemplo de topologías equivalentes:

Las topologías inducidas por las métricas euclídea, del máximo y de taxicab son equivalentes:

$$\mathcal{T}_e = \mathcal{T}_1 = \mathcal{T}_\infty $$

6. Espacio de funciones $\mathcal{C}[0,1]$

A continuación, definimos dos métricas sobre el conjunto de las funciones continuas en $[0,1]$.

Se denota al conjunto de funciones continuas en el intervalo [0,1] por

$$ \mathcal{C}([0,1]):= \{ f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R} : f\text{ continua} \}$$

Estas funciones son integrables en $[0,1]$ y, por tanto, también lo es su valor absoluto.

Sobre el conjunto $\mathcal{C}([0,1])$ se define la métrica

$$ d(f,g) = \int_0^1{|f(x)-g(x)|}dx $$

Por ejemplo, la distancia entre las funciones $f(x) = 2x^2$ y $g(x) = x^2$ es la integral

$$ d (f,g) = \int_0^1{ |f(x)-g(x)|}dx = $$

$$ = \int_0^1{ |2x^2-x^2|}dx = $$

$$ = \int_0^1{ x^2}dx =\frac{1}{3} $$

Gráficas de las funciones:

La distancia entre las funciones $f$ y $g$ representa el área de la región entre sus gráficas en el intervalo $[0,1]$.

La distancia entre las funciones $f_2(x) = -x^3+1$ y $g_2(x) = x^2$ es

$$ d (f,g) = \int_0^1{ |f_2(x)-g_2(x)|}dx = $$

$$ = \int_0^1{ |-x^3+1-x^2|}dx \simeq 0.64404 $$

Gráficas de las funciones:

Por tanto, las funciones $f$ y $g$ están más cerca entre ellas que las funciones $f_2$ y $g_2$.

Veamos otra métrica:

Sobre el conjunto $\mathcal{C}([0,1])$ se define la métrica

$$ d_*(f,g) = \sup_{x\in[0,1]}\{|f(x)-g(x)|\} $$

Bolas de $d_*$:

Dada una función $f$ de $\mathcal{C}([0,1])$, la bola centrada en la función $f$ y de radio $\varepsilon > 0$ está constituida por las funciones cuyas gráficas se encuentran en una banda de anchura $2\varepsilon $ alrededor de la gráfica de $f$. Es decir, es el conjunto de funciones cuya gráfica se encuentra entre las gráficas de las funciones $f_1(x) = f(x)+\varepsilon$ y $f_2(x) = f(x)-\varepsilon $ puesto que

$$ d_* (f,f_i) = \sup_{x\in[0,1]}\{|f(x)-f_i(x)|\} = $$

$$ = \sup_{x\in[0,1]}\{|\varepsilon|\} = \varepsilon $$

La función de la gráfica es:

$$ f(x) = x^3-x^2 +1,\ x\in [0,1] $$

Matesfacil.com by J. Llopis is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.