Espacio métrico y su topología
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Espacio métrico y su topología

En esta página definimos distancia (o métrica), espacio métrico, bolas abiertas y cerradas de una métrica y topología inducida por una métrica. Después, proporcionamos ejemplos de distancias y su topología inducida. Finalmente, definimos el concepto de topologías equivalentes.

Contenido de esta página:

  1. Distancia, espacio métrico, bolas y topología inducida
  2. Topología usal
  3. Topología taxicab
  4. Topología del máximo
  5. Comparación de topologías
  6. Espacio de funciones \(\mathcal{C}[0,1]\)

1. Distancia, espacio métrico, bolas y topología inducida

Distancia y espacio métrico:

Dado un conjunto \(X\), una distancia o métrica sobre \(X\) es una función \( d \colon X\times X \rightarrow [0,+\infty)\) cumpliendo

  • Siempre es no negativa: $$ d(x,y) \geq 0, \forall x,y\in X $$
  • La distantica entre dos puntos es 0 si y sólo si son el mismo punto: $$ d(x,y) = 0 \Leftrightarrow x = y $$
  • Simetría: $$ d(x,y) = d(y,x), \forall x,y\in X $$
  • Desigualdad triangular: $$ d(x,y) \leq d(x,z)+d(z,y),$$ $$ \forall x,y,z\in X $$

Sean \(X\) un conjunto y \(d\) una distancia sobre \(X\). Se denomina espacio métrico al par \((X,d)\).


Bolas abiertas y cerradas:

Dado un espacio métrico \((X,d)\),

Se denomina bola abierta (de la métrica \(d\)) de centro \(a\) y radio \(\varepsilon > 0\) al conjunto

$$ B_d(a, \varepsilon) := \{ x\in X:\ d(a,x)< \varepsilon \}$$

Y bola cerrada (de la métrica \(d\)) de centro \(a\) y radio \(\varepsilon > 0\) al conjunto

$$ \overline{B_d(a, \varepsilon)} := \{ x\in X:\ d(a,x)\leq \varepsilon \}$$

Nota: Normalmente, omitimos el subíndice \(d\) de las bolas si no da lugar a confusión.

Las bolas abiertas están contenidas en las cerradas:

$$ B_d(a, \varepsilon) \subset \overline{B_d(a, \varepsilon)}$$


Topología inducida por una métrica:

Dado un espacio métrico \((X,d)\), la siguiente familia de bolas abiertas es una base de una topología \(\mathcal{T}\) sobre \(X\):

$$ \mathcal{B}_d := \{ B_d(a,\varepsilon):\ a\in X, \varepsilon > 0 \}$$

Dicha topología se denomina topología inducida por la métrica \(d\), \(\mathcal{T}_d\).

Recordad que una topología es una familia de conjuntos de \(X\) que cumple determinadas condiciones. Más información en Espacio topológico y base de una topología.


2. Topología usual de \(\mathbb{R}^n\)

Sobre \(\mathbb{R}\), se define la distancia euclídea como

$$ d(x,y) = |x-y|, \forall x,y \in \mathbb{R}$$

Por ejemplo, la distancia entro los puntos \(3\) y \(5\) es

$$ d(3,5) = |3-5| = 2 > 0$$

Y la bola abierta de radio \(\varepsilon = 1\) y centro \(0\) es el intervalo \(]-0.5, 0.5[\):

$$ B_d(0,1) = ]-0.5, 0.5[ $$


Sobre \(\mathbb{R}^2\), se define la distancia euclídea como

$$ d((x_1,x_2),(y_1,y_2)) = ||(x_1,x_2)-(y_1,y_2)|| = $$

$$ = \sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2}, $$

$$ \forall (x_1,x_2),(y_1,y_2) \in \mathbb{R}^2$$


Ver ejemplo

En este espacio, las bolas abiertas son círculos sin borde.

En general,

Sobre \(\mathbb{R}^n\), se define la distancia euclídea como

$$ d((x_1,...,x_n),(y_1,...,y_n)) = $$

$$ = ||(x_1,...,x_n)-(y_1,...,y_n)|| = $$

$$ = \sqrt{\sum_{1\leq i\leq n}{(x_i-y_i)^2}}, $$

$$ \forall (x_1,...,x_n),(y_1,...,y_n) \in \mathbb{R}^n$$

En \(\mathbb{R}^3\), las bolas abiertas son esferas (sin superficie exterior).

Podéis encontrar algunas repesentaciones de bolas de la topología usual en bolas, abiertos y cerrados de la topología usual.

Los espacios métricos euclídeos son \((\mathbb{R}^n, d)\), siendo \(d\) la distancia euclídea correspondiente a cada espacio.


3. Topología taxicab de \(\mathbb{R}^2\)

Sobre \(\mathbb{R}^2\), se define la distancia taxicab (del taxi o de Manhattan) como la suma de los valores absolutos de las diferencias de sus coordenadas:

$$ d_1((x_1,x_2),(y_1,y_2)) = |x_1 - y_1|+|x_2 - y_2|, $$

$$\forall (x_1,x_2),(y_1,y_2) \in \mathbb{R}^2$$

Por ejemplo, la distancia taxicab entre los puntos \(A=(1,1)\) y \(B=(3,2)\) es

$$d_1(A,B) = |1-3|+|1-2| = 3 $$

La distancia taxicab coincide con la longitud (euclídea) de los dos segmentos (paralelos a los ejes) que unen los puntos.

Generalización a \(\mathbb{R}^n\):

Sobre \(\mathbb{R}^n\), se define la distancia taxicab como

$$ d_1((x_1,...,x_n),(y_1,...,y_n)) = $$

$$ =\sum_{1\leq i \leq n}{|x_i - y_i|}, $$

$$\forall (x_1,...,x_n),(y_1,...,y_n) \in \mathbb{R}^n$$

Bolas de taxicab:

En \(\mathbb{R}^2\), las bolas abiertas de la métrica taxicab tienen forma de cuadrados rotados 45 grados:

Nota: los puntos blancos no pertenecen a la bola abierta (sí a la cerrada).

4. Topología del máximo

Sobre \(\mathbb{R}^2\), se define la distancia del máximo como el máximo de los valores absolutos de las diferencias de sus coordenadas:

$$ d_\infty ((x_1,x_2),(y_1,y_2)) = max\{|x_1 - y_1|,|x_2 - y_2|\}, $$

$$\forall (x_1,x_2),(y_1,y_2) \in \mathbb{R}^2$$

Por ejemplo, la distancia del máximo entre los puntos \(A = (1,1)\) y \(B = (3,2)\) y la entre \(A\) y \(C=(3,4)\) es

$$d_\infty (A,B) = max\{|1-3|,|1-2|\} = 2 $$

$$d_\infty (A,C) = max\{|1-3|,|1-4|\} = 3 $$

Bolas del máximo:

La bola abierta de la métrica del máximo tiene forma de cuadrado:

Nota: los puntos blancos no pertenecen a la bola abierta (sí a la cerrada).

5. Comparación de topologías

Dado un conjunto \(X\), las topologías \(\mathcal{T}_1\) y \(\mathcal{T}_2\) sobre \(X\) son equivalentes si tienen los mismos abiertos. Es decir, si

$$ A\in\mathcal{T}_1 \Leftrightarrow A\in\mathcal{T}_2$$

Por tanto, podemos escribir \(\mathcal{T}_1 = \mathcal{T}_2\).

Si las topologías no son equivalentes, pero \(\mathcal{T}_1 \subset \mathcal{T}_2\), se dice que la topología \(\mathcal{T}_2\) es más fina que \(\mathcal{T}_1\), o bien, que la topología \(\mathcal{T}_1\) es más débil que \(\mathcal{T}_2\).

Ejemplo de topologías equivalentes:

Las topologías inducidas por las métricas euclídea, del máximo y de taxicab son equivalentes:

$$\mathcal{T}_e = \mathcal{T}_1 = \mathcal{T}_\infty $$

X

6. Espacio de funciones \(\mathcal{C}[0,1]\)

A continuación, definimos dos métricas sobre el conjunto de las funciones continuas en \([0,1]\).

Se denota al conjunto de funciones continuas en el intervalo [0,1] por

$$ \mathcal{C}([0,1]):= \{ f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R} : f\text{ continua} \}$$

Estas funciones son integrables en \([0,1]\) y, por tanto, también lo es su valor absoluto.

Sobre el conjunto \(\mathcal{C}([0,1])\) se define la métrica

$$ d(f,g) = \int_0^1{|f(x)-g(x)|}dx $$

Por ejemplo, la distancia entre las funciones \(f(x) = 2x^2\) y \(g(x) = x^2\) es la integral

$$ d (f,g) = \int_0^1{ |f(x)-g(x)|}dx = $$

$$ = \int_0^1{ |2x^2-x^2|}dx = $$

$$ = \int_0^1{ x^2}dx =\frac{1}{3} $$

Gráficas de las funciones:

La distancia entre las funciones \(f\) y \(g\) representa el área de la región entre sus gráficas en el intervalo \([0,1]\).

La distancia entre las funciones \(f_2(x) = -x^3+1\) y \(g_2(x) = x^2\) es

$$ d (f,g) = \int_0^1{ |f_2(x)-g_2(x)|}dx = $$

$$ = \int_0^1{ |-x^3+1-x^2|}dx \simeq 0.64404 $$

Gráficas de las funciones:

Por tanto, las funciones \(f\) y \(g\) están más cerca entre ellas que las funciones \(f_2\) y \(g_2\).

Veamos otra métrica:

Sobre el conjunto \(\mathcal{C}([0,1])\) se define la métrica

$$ d_*(f,g) = \sup_{x\in[0,1]}\{|f(x)-g(x)|\} $$

Bolas de \(d_*\):

Dada una función \(f\) de \(\mathcal{C}([0,1])\), la bola centrada en la función \(f\) y de radio \(\varepsilon > 0\) está constituida por las funciones cuyas gráficas se encuentran en una banda de anchura \(2\varepsilon \) alrededor de la gráfica de \(f\). Es decir, es el conjunto de funciones cuya gráfica se encuentra entre las gráficas de las funciones \(f_1(x) = f(x)+\varepsilon\) y \(f_2(x) = f(x)-\varepsilon \) puesto que

$$ d_* (f,f_i) = \sup_{x\in[0,1]}\{|f(x)-f_i(x)|\} = $$

$$ = \sup_{x\in[0,1]}\{|\varepsilon|\} = \varepsilon $$

La función de la gráfica es:

$$ f(x) = x^3-x^2 +1,\ x\in [0,1] $$





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