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4. Axiomas de numerabilidad

Índice de contenidos:

  1. Entorno y base de entornos.

  2. Primer axioma de numerabilidad (1AN).

  3. Segundo axioma de numerabilidad (2AN).

  4. 2AN implica 1AN.


1. Entorno y base de entornos

Definición 1.1.

Sea el espacio topológico \( (X, \mathcal{T}) \) y sea \( x \) un punto de \( X \). Un conjunto \( E \) de \( X \) es un entorno de \( x \) si existe un abierto \( A \) que contiene al punto \( x \) y está contenido en el conjunto \( E \). Es decir, \( E \) es un entorno de \( x \) si

$$ \exists A\in\mathcal{T}, x\in A\subseteq E \subseteq X $$

La familia de entornos de \( x \) se denota por \( \mathcal{E}(x) \).


Definición 1.2.

Sea el espacio topológico \( (X, \mathcal{T}) \) y sea \( x \) un punto de \( X \). Una base de entornos de \( x \) en la topología \( (X, \mathcal{T}) \) es una familia \( \mathcal{B}(x)\subseteq X \) cumpliendo

  • Todos los elementos de la base son entornos de \( x \):

    $$ \forall B\in \mathcal{B}(x), B\in \mathcal{E}(x)$$

  • Todo entorno de \( x \) contiene al menos un elemento de la base:

    $$ \forall E\in \mathcal{E}(x), \exists B \in \mathcal{B}(x), B\subseteq E$$


Teorema 1.1. (Caracterización de abiertos)

Sean el espacio topológico \( (X, \mathcal{T}) \), \( x \) un punto de \( X \) y \( \mathcal{B}(x)\) una base de entornos de \( x \). Entonces,

$$ A\in\mathcal{T} \Leftrightarrow $$

$$ \forall x \in A, \exists B_x \in \mathcal{B}(x), B_x\subseteq A$$

Ver Demostración



2. Primer axioma de numerabilidad (1AN)

Definición 2.1.

Se dice que un espacio topológico \( (X, \mathcal{T}) \) cumple el primer axioma de numerabilidad o bien que es 1AN si para todo punto \( x \) de \( X \) existe una base de entornos de \( x \) que sea numerable.


Ejemplo 1:

El plano real con la topología usual, \( (\mathbb{R}^2, \mathcal{T}_u ) \), es un espacio topológico 1AN:

La familia

$$ \mathcal{B}(x) =\{ B_\frac{1}{n} (x): n\in \mathbb{N} \} $$

formada por las bolas de centro \( x \) y radio \( \frac{1}{n} \):

$$ B_\frac{1}{n}(x) := \{ a\in\mathbb{R}^2 : ||a-x||< \frac{1}{n}\} $$

es una base de entornos de \( x \) en la topología usual del plano real.

Esta base es numerable.


Ejemplo 2:

El espacio topológico real \( (\mathbb{R}, \mathcal{T}_{Sorg} ) \) con la topología de Sorgenfrey

$$ \mathcal{T}_{Sorg} = \{ [a,b) : a< b, a,b\in \mathbb{R}\} $$

es un espacio 1AN:

Dado un punto \( x \), un entorno \( E \) de \( x \) contiene algún abierto de la forma

$$ A_x = [x, b)\subseteq E, x<b $$

Un base de entornos de \( x \) numerable es la familia:

$$ \mathcal{E}(x) = \{ [x, q) : x<q, q\in\mathbb{Q} \} $$


Teorema 2.1.

Todo espacio métrico \( (X, d) \) es 1AN.

Demostración:

Para cada \( x \) de \( X \) tomamos la base de entornos numerable

$$ \mathcal{B}(x) =\{ B^d_\frac{1}{n} (x): n\in \mathbb{N} \} $$

formada por las bolas abiertas de la métrica \( d \), de centro \( x \) y radio \( \frac{1}{n} \):

$$ B^d_\frac{1}{n}(x) := \{ a\in X : d(a,x)< \frac{1}{n}\} $$


Ejemplo 3:

El espacio topológico discreto \( (X, \mathcal{T}_d ) \) es 1AN puesto que la topología discreta es la inducida por la métrica:

$$ d(x,y) = \begin{cases} 1, & \quad \text{si } x\neq y\\ 0 & \quad \text{si } x=y\\ \end{cases} $$



3. Segundo axioma de numerabilidad (2AN)

Recordamos que...

Definición 3.1.

Una familia de abiertos de la topología \( \mathcal{T} \),

$$ \mathcal{B} = \{ A\ : A\in \mathcal{T} \}$$

es una base de la topología \( \mathcal{T} \) si todo abierto de la topología puede expresarse como unión de elementos de la base.


Definición 3.2.

Se dice que un espacio topológico \( (X, \mathcal{T}) \) cumple el segundo axioma de numerabilidad o bien que es 2AN si tiene alguna base abiertos que sea numerable.



Ejemplos:

  • La recta real con la topología usual, \( (\mathbb{R}, \mathcal{T}_u) \), es 2AN:

    La familia

    $$ \mathcal{B} = \{ ]p,q[ : p< q, p,q\in \mathbb{Q} \} $$

    es una base abiertos numerable.

  • El plano real con la topología usual, \( (\mathbb{R}^2, \mathcal{T}_u) \), es 2AN:

    La familia

    $$ \mathcal{B} = \{ B_\frac{1}{n}(q) : q\in \mathbb{Q}, n\in\mathbb{N} \} $$

    es una base abiertos numerable.

  • El espacio topológico trivial, \( (X, \mathcal{T}_T) \), es 2AN puesto que la única base de abiertos es numerable:

    $$ \mathcal{B} = \{ X \}$$

  • El espacio topológico discreto \( (X, \mathcal{T}_D) \) es 2AN si y sólo si \( X \) es numerable.

    Cualquier base de abiertos debe contener

    $$ \{ \{ x\} : x\in X \} $$

    por lo que el espacio es 2AN si y sólo si \( X \) es numerable.



4. 2AN implica 1AN

Teorema 4.1.

Todo espacio topológico \( (X, \mathcal{T}) \) 2AN es también 1AN.

Demostración:

Puesto que el espacio es 2AN, existe una base de abiertos numerable \( \mathcal{A} \).

Sea \( x\) un punto de \( X \).

Sea \( E\) un entorno de \( x\). Entonces, existe algún abierto \( A\in \mathcal{T} \) tal que

$$ x\in A \subseteq E $$

Como el espacio es 2AN, existe algún elemento de la base \( A_x \in\mathcal{A} \) tal que

$$ x \in A_x \subseteq A \subseteq E $$

El abierto \( A_x \) es también un entorno de \(x \).

La familia

$$ \mathcal{B}(x) =\{ A_x \in\mathcal{A} : x\in A_x\}$$

es una base de entornos de \(x\) y además es numerable por ser un subconjunto de \( \mathcal{A}\).



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