Axiomas de numerabilidad
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Axiomas de numerabilidad

En esta página definimos entorno de un punto, base de entornos, espacio 1AN y 2AN. Proporcionamos ejemplos y demostramos algunas propiedades relacionadas con los axiomas de numerabilidad.

Contenido de esta página:

  1. Entorno y base de entornos
  2. Primer axioma de numerabilidad (1AN)
  3. Segundo axioma de numerabilidad (2AN)
  4. Algunas propiedades

1. Entorno y base de entornos

Para hablar de numerabilidad, necesitamos los conceptos de entorno y de base de entornos de un punto de un espacio topológico.

Sean \( (X, \mathcal{T}) \) un espacio topológico y \( x \) un punto de \( X \). Un conjunto \( E_x\subseteq X \) es un entorno de \(x\) si existe un abierto \( A\in\mathcal{T} \) contenido en el entorno y al que pertenece \(x\). Es decir, \( E_x \) es un entorno de \( x \) si

$$ \exists A\in\mathcal{T}, x\in A\subseteq E_x $$

El conjunto de entornos de \( x \) se denota por \( \mathcal{E}(x) \).


Sean \( (X, \mathcal{T}) \) un espacio topológico y \( x \) un punto de \( X \). Una base de entornos de \( x \) en la topología \(\mathcal{T}\) es una familia de subconjuntos de \(X\), \( \mathcal{B}(x)\subseteq X \), cumpliendo

  • Todos los elementos de la base son entornos de \( x \): $$ \forall B\in \mathcal{B}(x), B\in \mathcal{E}(x)$$
  • Todo entorno de \( x \) contiene al menos un elemento de la base: $$ \forall E_x\in \mathcal{E}(x), \exists B \in \mathcal{B}(x), B\subseteq E_x$$

Recordad que un conjunto \(A\) es abierto si es un entorno de todos sus puntos.

2. Primer axioma de numerabilidad (1AN)

Se dice que un espacio topológico \( (X, \mathcal{T}) \) cumple el primer axioma de numerabilidad (también, que es 1AN ó ANI) si para todo punto \( x \) de \( X \) existe una base de entornos numerable de \(x\).

Ejemplo 1

El plano real con la topología usual, \( (\mathbb{R}^2, \mathcal{T}_u ) \), es un espacio topológico 1AN.

Recordad que la bola abierta de radio \(\varepsilon > 0\) y centro \(x\) es

$$ B(x,\varepsilon ) := \{ a\in\mathbb{R}^2 : |a-x|< \varepsilon \} $$

La familia \(\mathcal{B}(x) =\{ B_\frac{1}{n} (x): n\in \mathbb{N} \} \) es una base de entornos de \(x\). Esta base es numerable por serlo \(\mathbb{N}\).


Podemos extender este ejemplo a cualquier espacio métrico:

Proposición 1: todo espacio métrico \((X,d)\) es 1AN.

Ver demostración

Ejemplo 2

La recta real con la topología de Sorgenfrey es un espacio 1AN.

La topología de Sorgenfrey es

$$ \mathcal{T}_{Sorg} = \{ [a,b) : a< b, a,b\in \mathbb{R}\} $$

Dado un punto \( x \), cualquier entorno de \( x \) contiene algún abierto de la forma \(A_x = [x, b)\), \(x<b\).

Un base de entornos numerable de \( x \) es

$$ \mathcal{E}(x) = \{ [x, q) : x<q, q\in\mathbb{Q} \} $$


Ejemplo 3

El espacio topológico discreto \( (X, \mathcal{T}_d ) \) es 1AN puesto que la topología discreta es la inducida por la métrica

$$ d(x,y) = \begin{cases} 1, & \quad \text{si } x\neq y\\ 0 & \quad \text{si } x=y\\ \end{cases} $$

3. Segundo axioma de numerabilidad (2AN)

Necesitamos el concepto de base de una topología:

Sea \(\mathcal{B}\) una familia de abiertos de la topología \( \mathcal{T} \). Decimos que \(\mathcal{B}\) es una base de la topología (o una base de abiertos) si todo abierto de la topología puede expresarse como unión de elementos de la base.


Se dice que un espacio topológico \( (X, \mathcal{T}) \) cumple el segundo axioma de numerabilidad (también, que es 2AN ó ANII) si tiene alguna base de abiertos numerable.

Ejemplo 1

La recta real con la topología usual es 2AN. Un ejemplo de base de abiertos numerable es

$$ \mathcal{B} = \{ ]p,q[ : p< q, p,q\in \mathbb{Q} \} $$


Ejemplo 2

El plano real con la topología usual es 2AN. Un ejemplo de base de abiertos numerable es

$$ \mathcal{B} = \{ B_\frac{1}{n}(q) : q\in \mathbb{Q}, n\in\mathbb{N} \} $$


Ejemplo 3

El espacio topológico trivial \( (X, \mathcal{T}_T) \) es 2AN puesto que la única base de abiertos es numerable: \( \mathcal{B} = \{ X \}\).


Ejemplo 4

El espacio topológico discreto \( (X, \mathcal{T}_D) \) es 2AN si y sólo si \( X \) es numerable.

Como todo punto es abierto, cualquier base de abiertos debe contener a \(\{ x\}\) para todo \(x\in X\), por lo que el espacio es 2AN si, y sólo si, \( X \) es numerable.

X

4.Algunas propiedades

Teorema 1: todo espacio topológico 2AN es también 1AN.

Ver demostración

Teorema 2: todo espacio métrico \((X,d)\) separable es 2AN.

Ver demostración

Corolario: todo espacio topológico metrizable y separable es 2AN.


Teorema 3: todo espacio topológico 2AN es de Lindelöf.

Ver demostración




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