Puntos topológicamente indistinguibles

\(1 \rightarrow 2\)

La demostración es inmediata puesto que \(x\) e \(y\) tienen los mismos entornos.

\(2 \rightarrow 3\)

Todo abierto \(A\) que contiene a \(x\) es un entorno de \(x\). Por tanto, existe un entorno básico \(B\in\mathcal{B}(x)\) con \(B\subseteq A\). Como \(B\) también es un entorno básico de \(y\), \(y\in B \subseteq A\). Por tanto, \(x\in A \rightarrow y\in A\).

Razonando del mismo modo, \(y\in A \rightarrow x\in A\). Luego \( x\in A \leftrightarrow y\in A\).

\(3 \rightarrow 4\)

Sea \(z\in ad\{x\}\).

Sea \(B\) un entorno de \(z\). Existe un abierto \(A\) tal que \(z\in A \subseteq B\). En particular, \(A\) es un entorno de \(z\), así que \(x \in A\) y, por tanto, \(y\in A\subseteq B\). Luego \(z\in ad\{y\}\).

De forma análoga, se demuestra \(ad\{y\}\subseteq ad\{x\}\).

\(4 \rightarrow 5\)

Es inmediato.

\(5 \rightarrow 6\)

Es inmediato.

\(6 \rightarrow 1\)

Sea \(B\) un entorno de \(x\). Entonces, existe un entorno básico de \(x\), \(A\), tal que \(x \in A\subseteq B\).

Como \(A\) es un entorno básico de \(x\), entonces \(y\in A\subseteq B\), por lo que \(B\) es un entorno de \(y\).

De forma análoga, los entornos de \(y\) lo son de \(x\).

Hemos visto que de 1 a 6 son equivalentes. Veamos ahora que 3 y 7 son equivalentes:

\(3 \rightarrow 7\)

Si \(A\) es abierto y contiene a \(y\), entonces contiene \(x\) (por hipótesis).

Si \(B\) es cerrado y contiene a \(y\), el complementario \(C = X-B\) es abierto y no contiene a \(y\). Por hipótesis, \(C\) no contiene a \(x\), así que \(x\) está en \(B\).

\(7 \rightarrow 3\)

Todo entorno \(B\) de \(x\) contiene un abierto al que \(x\) pertenece. Por hipótesis, \(y\) pertenece a dicho abierto, así que \(B\) también es entorno de \(y\).