Ejemplos y propiedades de espacios topológicos finitos
En esta página definimos espacio topológico, estudiamos los casos básicos de espacios topológicos finitos (espacio con 0, 1, 2 y 3 puntos) y demostramos algunas propiedades de estos espacios.
Contenido de esta página:
- Espacio topológico
- Comparación de topologías
- Espacios topológicos finitos
- Algunas propiedades de los espacios finitos
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1. Espacio topológico
Definición de espacio topológico:
Sea \(X\) un conjunto no vacío y sea \( \mathcal{T} \) una colección de subconjuntos de \(X\) a los que llamamos abiertos, cumpliendo
-
El vacío y el total son abiertos:
$$ \emptyset ,X \in \mathcal{T}$$
-
La intersección finita de abiertos es abierta:
$$\forall A,B\in \mathcal{T}, \ A \cap B \in \mathcal{T}$$
-
La unión de abiertos es abierta:
$$ \forall \mathcal{A} \subset \mathcal{T}, \ \bigcup_{A\in\mathcal{A}} A \in \mathcal{T} $$
Llamamos
- espacio topológico al par \((X, \mathcal{T})\),
- abiertos a los conjuntos \(A\in \mathcal{T}\),
- topología sobre \(X\) a \(\mathcal{T}\),
- punto a cualquier \(x\in X\),
- conjunto subyacente a \(X\),
- cerrados a los conjuntos \(B\) cuyo complementario es abierto. Es decir, \(B\) es cerrado si \(A = X-B \in\mathcal{T}\).
- base de abiertos a cualquier colección \(\mathcal{B}\) de abiertos tales que cualquier abierto de la topología puede expresarse como unión de abiertos de la base.
- Si no da lugar a confusión, podemos referirnos al espacio topológico \((X, \mathcal{T}) \) simplemente por \(X\).
Nota: por comodidad, es común no escribir el vacío y el total cuando se define una topología, puesto que éstos siempre deben estar incluidos.
Algunos ejemplos de topologías:
- Topología trivial o indiscreta: Dado un conjunto \(X\), la topología trivial sobre \(X\) es la que está formada únicamente por el vacío y el total: $$ \mathcal{T}_t = \{\emptyset, X\} $$
- Topología discreta: Dado un conjunto \(X\), la topología discreta sobre \(X\) es la dada por el conjunto potencia de \(X\): $$ \mathcal{T}_d = \mathcal{P(X)} $$
- Recta real con la topología usual: Sobre \(\mathbb{R}\), se define la topología usual como la generada por la base de abiertos $$ \mathcal{B} = \{ ]a,b[ : a,b\in \mathbb{R}, a< b\} $$ Es decir, los conjuntos abiertos son los intervalos abiertos y sus uniones (además del vacío y del total).
- Recta de Sorgenfrey: Sobre \(\mathbb{R}\), se define la topología de Sorgenfrey como la generada por la base de abiertos $$ \mathcal{B} = \{ [ a,b):a,b\in\mathbb{R}, a< b\} $$
Más ejemplos de espacios topológicos en espacio topológico y base de una topología.
