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Funciones definidas a trozos

Contenido de esta página:

  • Introducción

  • Continuidad

  • 10 Problemas Resueltos

1. Introducción

Normalmente, las funciones (con una variable \(x\)) se definen con una única expresión algebraica, por ejemplo,

$$ f(x) = 3x^2 -\frac{1}{x}$$

y la variable \(x\) toma valores reales (excepto aquellos que son problemáticos, como los que anulan el denominador).

Las funciones seccionadas, segmentadas o definidas por partes o a trozos, son funciones que se definen de un modo u otro según el valor que toma la variable \(x\). Veamos un ejemplo:

Ejemplo:

$$ f(x) = \begin{cases} 2x+1 & \quad \text{si } x\leq 0 \\ x^2 & \quad \text{si } x> 0 \end{cases}$$

En esta función, si la variable toma un valor menor o igual que 0, la definición de la función es \(2x+1\), mientras que si toma un valor positivo la definición de la función es \(x^2\).

Funciones definidas a trozos. Conceptos básicos, continuidad, límites laterales. Problemas resueltos de aplicación y de los conceptos. Problemas para Bachillerato. Análisis de una variable real

El punto sólido y el punto vacío de la gráfica indican que el valor que toma \(f\) en \(x = 0\) es \(f(0) = 1\) y no \(f(0) = 0\) (porque \(x=0\) pertenece al primer intervalo de la definición de \(f\)).

La función del ejemplo anterior está definida en dos intervalos, pero pueden ser más de dos. Por ejemplo,

$$ f(x) = \begin{cases} x & \quad \text{si } x\leq -5 \\ x^2 & \quad \text{si } -5< x \leq 0\\ x^3 & \quad \text{si } 0< x \leq 1\\ 3 & \quad \text{si } x > 1 \end{cases}$$

En la siguiente sección hablamos de la continuidad de este tipo de funciones (utilizando límites y límites laterales). En la tercera sección resolvemos problemas de funciones definidas a trozos: primero, problemas sobre las funciones en sí (definición y continuidad); después, problemas de aplicación de este tipo de funciones.

2. Continuidad

Concepto de continuidad, límite y límites laterales.

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3. Problemas resueltos

Primera parte: 4 problemas sobre funciones definidas por partes.

Problema 1

Dada la siguiente función definida a trozos

Funciones definidas a trozos. Conceptos básicos, continuidad, límites laterales. Problemas resueltos de aplicación y de los conceptos. Problemas para Bachillerato. Análisis de una variable real

Se pide:

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Problema 2

Determinar la función por partes cuya gráfica es la siguiente:

Funciones definidas a trozos. Conceptos básicos, continuidad, límites laterales. Problemas resueltos de aplicación y de los conceptos. Problemas para Bachillerato. Análisis de una variable real

Calcular los siguientes límites:

Funciones definidas a trozos. Conceptos básicos, continuidad, límites laterales. Problemas resueltos de aplicación y de los conceptos. Problemas para Bachillerato. Análisis de una variable real

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Problema 3

Dada la función definida a trozos

Funciones definidas a trozos. Conceptos básicos, continuidad, límites laterales. Problemas resueltos de aplicación y de los conceptos. Problemas para Bachillerato. Análisis de una variable real

Se pide, sin representar la gráfica:

Representar la gráfica según los resultados anteriores.

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Problema 4

Representar la siguiente función a trozos:

Funciones definidas a trozos. Conceptos básicos, continuidad, límites laterales. Problemas resueltos de aplicación y de los conceptos. Problemas para Bachillerato. Análisis de una variable real

Responder:

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Segunda parte: 6 problemas de aplicación.

Problema 5

Una sala de fiestas de la Ciudad de México con aforo para 300 personas establece el precio de la entrada cada día en función del número de asistentes que se prevé que habrá en dicho día:

Funciones definidas a trozos. Conceptos básicos, continuidad, límites laterales. Problemas resueltos de aplicación y de los conceptos. Problemas para Bachillerato. Análisis de una variable real

Se pide:

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Problema 6

El equipo de merchandising de un equipo de fútbol español fabrica diariamente banderines para suplir los pedidos de las tiendas. La gráfica de la función que proporciona la cantidad diaria de banderines a fabricar en función del número de pedidos es la siguiente:

Funciones definidas a trozos. Conceptos básicos, continuidad, límites laterales. Problemas resueltos de aplicación y de los conceptos. Problemas para Bachillerato. Análisis de una variable real

Nota: se considera que el número de pedidos, \(x\), es una variable real (puede tener decimales).

Se pide:

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Problema 7

Antonio ha escrito un libro sobre la historia del fútbol y quiere imprimirlo para regalarlo a sus familiares y a sus amigos en su cumpleaños. Una empresa editorial le ha dado un presupuesto que dice lo siguiente:

El coste inicial para iniciar la impresión del libro es de 15€ y el precio de impresión de cada libro asciende a 5€ si se imprimen hasta 30 unidades y a 3€ si se imprimen más.

Se pide:

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Problema 8

El precio de una llamada a una línea telefónica de tarot se descompone en dos conceptos: el primero es el establecimiento de llamada (precio fijo) y el otro es el coste de la duración de la llamada (en función de los minutos).

El coste del establecimiento de llamada es de 0.2€ y el coste de un minuto de llamada es de 0.05€/minuto durante los primeros 60 minutos y de 0.5€/minuto a partir del minuto 60.

Se pide:

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Problema 9

Un bróker (agente financiero) está estudiando la siguiente gráfica que proporciona los valores en bolsa de las acciones de la empresa de uno de sus clientes durante las 24 horas de un determinado día:

Funciones definidas a trozos. Conceptos básicos, continuidad, límites laterales. Problemas resueltos de aplicación y de los conceptos. Problemas para Bachillerato. Análisis de una variable real

Se pide:

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Problema 10

Proporcionar un ejemplo de función por partes que sea continua en \(\mathbb{R}\) y lineal a trozos (lineal en los intervalos de definición) de modo que \(f(10) = 10\), \(f(15) = 5\) y \(f(20) = 10\).

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