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Tipos de funciones:

Inyectiva, sobreyectiva y biyectiva

Contenido de esta página:

  1. Conceptos previos (dominio, codominio, imagen, etc)

  2. Función sobreyectiva

  3. Función inyectiva

  4. Función biyectiva y función inversa

Nivel recomendado: bachillerato o superior.

1. Introducción

Concepto de función:

Una función \(f\) del conjunto \(X\) en el conjunto \(Y\) es una ley o regla que a cada elemento \(x\) de \(X\) le hace corresponder un único elemento \(y\) de \(Y\).

La función \(f\) de \(X\) en \(Y\) se representa por

$$ f: X\rightarrow Y $$

Dominio y codominio:

A los conjuntos \(X\) e \(Y\) los llamamos dominio y codominio, respectivamente, de \(f\).

Imagen y anti-imagen:

Sea \(x\) un elemento de \(X\), llamamos imagen de \(x\) mediante \(f\) al elemento \(y\) de \(Y\) que \(f\) le hace corresponder a \(x\). En este caso, escribimos \(y=f(x)\).

El conjunto de imágenes de \(f\) se denomina imagen, rango o recorrido de la función y es un subconjunto del codominio:

Conceptos de función inyectiva, sobreyectiva, biyectiva y 
función inversa. Ejemplos y problemas resueltos. Dominio, codominio, imagen, anti-imagen...

Sea \(y\) un elemento de \(Y\), su anti-imagen, si existe, es el elemento o elementos \(x\) de \(X\) tal que \(f(x)=y\).

Nota: la anti-imagen de un elemento puede ser un conjunto de elementos (más de uno). Si la función es inyectiva, la anti-imagen es un único elemento.

Ver ejemplo
X

2. Función sobreyectiva

La función \(f: X\rightarrow Y\) es sobreyectiva o suprayectiva si todo elemento del codominio tiene anti-imagen. Es decir,

funciones inyectivas, sobreyectivas, biyectivas e inversa

Ejemplos

3. Función inyectiva

La función \(f: X\rightarrow Y\) es inyectiva si los elementos del dominio que son distintos tienen imágenes distintas. Es decir,

funciones inyectivas, sobreyectivas, biyectivas e inversa

Para comprobar la inyectividad de una función \(f\), se demuestra que \(f(x)=f(y)\) implica \(x=y\).

Ejemplos

4. Función biyectiva y función inversa

La función \(f: X\rightarrow Y\) es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva.

En este caso, existe una función \(f^{-1}: Y\rightarrow X\) también biyectiva que cumple

funciones inyectivas, sobreyectivas, biyectivas e inversa

Dicho de otro modo,

funciones inyectivas, sobreyectivas, biyectivas e inversa

donde \(id_X\) e \(id_Y\) son las funciones identidad de \(X\) y de \(Y\), respectivamente. Es decir, son las funciones \(id_X: X\rightarrow X\) definida por \(id_X (x) = x\) e \(id_Y: Y\rightarrow Y\) definida por \(id_Y (y) = y\).

Ejemplo

5. Problemas Resueltos

Problema 1

Comprobar que las siguientes funciones son inyectivas pero no son sobreyectivas:

  1. Función mitad de los enteros en los reales:

    funciones inyectivas, sobreyectivas, biyectivas e inversa

  2. Función cuadrado de los naturales en los reales:

    funciones inyectivas, sobreyectivas, biyectivas e inversa

  3. Función inclusión del subconjunto propio \(X\subset Z\) en \(Z\):

    funciones inyectivas, sobreyectivas, biyectivas e inversa

    Nota: \(X\) es un subconjunto propio de \(Z\) si es un subconjunto de \(Z\) pero \(X\neq Z\).

Ver solución

Problema 2

Comprobar que las siguientes funciones son sobreyectivas pero no son inyectivas.

  1. Función valor absoluto de los enteros en los naturales:

    funciones inyectivas, sobreyectivas, biyectivas e inversa

  2. Función cuadrado de los reales en los reales no negativos:

    funciones inyectivas, sobreyectivas, biyectivas e inversa

    Nota: incluimos al 0 en el conjunto de los reales positivos.

  3. Función nula de un conjunto \(X \subseteq \mathbb{R}\) en el conjunto \(\{0\}\):

    funciones inyectivas, sobreyectivas, biyectivas e inversa

Ver solución

Problema 3

Comprobar que las siguientes funciones son biyectivas:

  1. Función identidad de \(X\):

    funciones inyectivas, sobreyectivas, biyectivas e inversa

  2. Función cubo de los reales en los reales.

    funciones inyectivas, sobreyectivas, biyectivas e inversa

Ver solución


Problema 4

Encontrar la función inversa de cada función del Problema 3.

Ver solución




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