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Asíntotas de funciones

Contenido de esta página:

  1. Definiciones de asíntotas y ejemplos.

  2. 15 Problemas resueltos.


1. Definiciones y ejemplos

Definición de asíntota

Informalmente, decimos que la función \(f\) tiene una asíntota en la recta \(r\) del plano real si la gráfica de \(f\) se acerca indefinidamente a la recta \(r\).

Ejemplo: La función \(f(x) = 1/x\) tiene asíntotas en las rectas \(y = 0\) y \(x = 0\):

asíntotas de funciones. Problemas resueltos y demostraciones. Asíntota vertical, asíntota horizontal y asíntota oblicua

Asíntotas horizontales

La recta horizontal \(y = a\) es una asíntota horizontal de \(f\) si el límite de \(f(x)\) cuando \(x\) tiende a \(+\infty\) ó a \(-\infty\) es \(a\).

La recta \(y = a\) es una asíntota horizontal por la izquierda si

$$ \lim_{x \to -\infty } f(x) = a $$

La recta \(y = a\) es una asíntota horizontal por la derecha si

$$ \lim_{x \to +\infty } f(x) = a $$

Según la función, puede ocurrir:

Ejemplo 1: La función exponencial \(f(x) = e^x\) tiene una asíntota horizontal en \(y = 0\), pero sólo por la izquierda (reales negativos):

asíntotas de funciones. Problemas resueltos y demostraciones. Asíntota vertical, asíntota horizontal y asíntota oblicua

El límite en \(-\infty\) es 0:

$$ \lim_{x \to -\infty } f(x) = \lim_{x \to -\infty } e^x = 0 $$

Y en \(+\infty\) es infinito:

$$ \lim_{x \to +\infty } f(x) = +\infty $$

Ejemplo 2: La función definida por partes como

$$ f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{x} & \mbox{si } x> 0 \\ 1+\frac{1}{x} & \mbox{si } x< 0\end{array} \right.$$

tiene dos asíntotas horizontales: \(y=1\) en la rama de la izquierda e \(y = 0\) en la rama de la derecha:

asíntotas de funciones. Problemas resueltos y demostraciones. Asíntota vertical, asíntota horizontal y asíntota oblicua

Asíntotas verticales

La recta vertical \(x = a\) es una asíntota vertical de \(f\) si el límite de \(f\) por la derecha o por la izquierda de \(a\) tiende a infinito.

La reca \(x = a\) es una asíntota vertical por la izquierda si

$$ \lim_{x \to a^- } f(x) = \pm \infty $$

La reca \(x = a\) es una asíntota vertical por la derecha si

$$ \lim_{x \to a^+ } f(x) = \pm \infty $$

Los puntos \(a\) candidatos son aquéllos para los que \(f\) no está definida. En las funciones racionales, los candidatos son los puntos que anulan al denominador.

Ejemplo: La función racional \(f(x) = 1/x\) tiene una asíntota vertical por ambos lados en \(x = 0\):

asíntotas de funciones. Problemas resueltos y demostraciones. Asíntota vertical, asíntota horizontal y asíntota oblicua

$$ \lim_{x \to 0 } f(x) = \lim_{x \to 0 } \frac{1}{x} = \pm \infty $$

Asíntotas oblicuas

La recta \(y = ax+b\) (siendo \(a\neq 0\)) es una asíntota oblicua de \(f\) si el límite de \(f(x) – (ax+b)\) cuando \(x\) tiende a \(+\infty\) o a \(-\infty\) es 0.

La recta \(y = ax+b\) es una asíntota oblicua por la izquierda si

$$ \lim_{x \to -\infty } f(x) – (ax+b) = 0 $$

La recta \(y = ax+b\) es una asíntota oblicua por la derecha si

$$ \lim_{x \to +\infty } f(x) – (ax+b) = 0 $$

Si \(y = ax+b\) es una asíntota oblicua de \(f\), podemos calcular su pendiente con el siguiente límite:

$$ a = \lim_{x \to \pm\infty } \frac{f(x)}{x} $$

Y su ordenada, con el limite

$$ b = \lim_{x \to \pm\infty }f(x)-ax $$

Ejemplo: La función \(f\) (en color rojo)

$$ f(x) = \frac{x^2+1}{x-1} $$

tiene la asíntota oblicua \(y = x+1\) (en color azul):

asíntotas de funciones. Problemas resueltos y demostraciones. Asíntota vertical, asíntota horizontal y asíntota oblicua

Comprobación:

$$ \lim_{x \to \pm\infty } f(x) – (x+1) = $$

$$ = \lim_{x \to \pm\infty } \frac{x^2+1}{x-1} – x-1 = $$

$$ = \lim_{x \to \pm\infty } \frac{x^2+1-x^2-x+x+1}{x-1} =$$

$$ = \lim_{x \to \pm\infty } \frac{2}{x-1} = 0$$

2. Problemas resueltos


En algunos problemas se pide calcular las asíntotas y en otros, demostrar la existencia de asíntotas.

Los primeros problemas están dedicados a las asíntotas verticales; los siguientes, a las horizontales; y los últimos, a las oblicuas.

Algunas de las demostraciones pueden ser comprensibles para los alumnos de Bachillerato, otras son más técnicas.

Problema 1

Encontrar las asíntotas verticales de la función racional

$$ f(x) = \frac{3}{x-1}$$

Solución

Problema 2

Comprobar que una función racional

$$ f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} $$

donde \(P(x)\) y \(Q(x)\) son polinomios, tiene asíntotas verticales en las raíces de \(Q(x)\) que no son raíces de \(P(x)\).

Nota: demostración de dificultad baja.

Solución

Problema 3

¿Cuántas asíntotas verticales tiene la siguiente función?

$$ f(x) = \frac{x^2-1}{x^2+x} $$

Solución

Problema 4

Calcular la asíntota horizontal de la siguiente función en la que el grado del polinomio del denominador es mayor que el del numerador:

$$ f(x) = \frac{x+2}{x^2+2}$$

Solución

Problema 5

Calcular la asíntota horizontal de la siguiente función en la que el grado del polinomio del denominador es igual que el grado del polinomio del numerador:

$$ f(x) = \frac{6x-1}{2-3x} $$

Solución

Problema 6

Comprobar que si \(f\) es la función racional

$$ f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} $$

donde \(P(x)\) y \(Q(x)\) son polinomios sin raíces comunes, entonces:

Nota: demostración de dificultad baja.

Solución

Problema 7

En caso de haberlas, indicar las asíntotas horizontales de las siguientes funciones:

$$ f(x) = \frac{1-x^2}{x^2-2} $$

$$ g(x) = \frac{2x+1}{3x^2-2x} $$

$$ h(x) = \frac{x^7-2}{2x^2+3x} $$

Nota: las expresiones de las funciones están simplificadas.

Solución

Problema 8

En caso de haberlas, calcular las asíntotas horizontales de las siguientes funciones definidas por partes:

$$ f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{3-4x^2}{x^2+x+1} & \mbox{si } x\geq 0 \\ \frac{1}{x+1} & \mbox{si } x< 0\end{array} \right.$$

$$ g(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{x^2-1}{x} & \mbox{si } x\geq 0 \\ \frac{2x^6-1}{x^5-x^6} & \mbox{si } x< 0\end{array} \right.$$

Solución

Problema 9

Calcular la asíntota oblicua de la función

$$ f(x) = \frac{x^2-x^3}{x^2+1} $$

Solución

Problema 10

Calcular la asíntota oblicua de la función

$$ f(x) = \frac{3-x^2}{2x+2} $$

Solución

Problema 11

Demostrar que la recta \(y=ax+b\) ( con \(a\neq 0\)) es una asíntota oblicua de \(f\) si, y solamente si, existen los límites

$$ \lim_{x \to \pm\infty } \frac{f(x)}{x} = a$$

$$ \lim_{x \to \pm\infty } f(x)-ax = b$$

Nota: demostración de dificultad media.

Solución

Problema 12

Comprobar que si \(f\) es la función racional

$$ f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} $$

donde \(P(x)\) y \(Q(x)\) son polinomios sin raíces comunes de modo que el grado de \(P\) es una unidad mayor que el grado de \(Q\), entonces \(f\) tiene una asíntota oblicua.

Nota: demostración de dificultad alta.

Solución

Problema 13

Encontrar todas las asíntotas de la función

$$ f(x) = \frac{x+2}{x^2-9} $$

Solución

Problema 14

Encontrar todas las asíntotas de la función

$$ f(x) = \frac{3x^5-2x}{x^4-5x^2+4} $$

Solución

Problema 15

Encontrar todas las asíntotas de la función

$$ f(x) = \frac{e^x}{x} $$

Solución


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