Asíntotas de funciones (con ejemplos y demostraciones)
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Asíntotas de funciones

En esta página definimos los tres tipos de asíntotas, mostramos ejemplos y resolvemos 15 problemas de calcular asíntotas y de demostraciones.

Contenido de esta página:

  1. Definición de asíntota
  2. Asíntota horizontal
  3. Asíntota vertical
  4. Asíntota oblicua
  5. 15 problemas resueltos

1. Definición de asíntota

Informalmente, decimos que la recta \(r\) es una asíntota de la función \(r\) si la gráfica de \(f\) se acerca infinitamente a la recta \(r\).

Ejemplo:

La función \(f(x) = 1/x\) tiene asíntotas en las rectas \(y = 0\) y \(x = 0\):

asíntotas de funciones. Problemas resueltos y demostraciones. Asíntota vertical, asíntota horizontal y asíntota oblicua

2. Asíntota horizontal

La recta horizontal \(y = a\) es una asíntota horizontal de \(f\) si el límite de \(f(x)\) cuando \(x\) tiende a \(+\infty\) ó a \(-\infty\) es \(a\).

La recta \(y = a\) es una asíntota horizontal por la izquierda si

$$ \lim_{x \to -\infty } f(x) = a $$

La recta \(y = a\) es una asíntota horizontal por la derecha si

$$ \lim_{x \to +\infty } f(x) = a $$

Según la función, puede ocurrir:

  • Sólo uno de los límites es finito, por lo que la asíntota lo es en uno u otro lado (derecha o izquierda).
  • Los dos límites son finitos. Si son distintos, hay una asíntota distinta en cada lado. Si coinciden, la asíntota es común en ambos lados.

Ejemplo 1:

La función exponencial \(f(x) = e^x\) tiene una asíntota horizontal en \(y = 0\), pero sólo por la izquierda (reales negativos):

asíntotas de funciones. Problemas resueltos y demostraciones. Asíntota vertical, asíntota horizontal y asíntota oblicua

El límite en \(-\infty\) es 0:

$$ \lim_{x \to -\infty } f(x) = \lim_{x \to -\infty } e^x = 0 $$

Y en \(+\infty\) es infinito:

$$ \lim_{x \to +\infty } f(x) = +\infty $$

Ejemplo 2:

La función definida por partes como

$$ f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{x} & \mbox{si } x> 0 \\ 1+\frac{1}{x} & \mbox{si } x< 0\end{array} \right.$$

tiene dos asíntotas horizontales: \(y=1\) en la rama de la izquierda e \(y = 0\) en la rama de la derecha:

asíntotas de funciones. Problemas resueltos y demostraciones. Asíntota vertical, asíntota horizontal y asíntota oblicua

3. Asíntota vertical

La recta vertical \(x = a\) es una asíntota vertical de \(f\) si el límite de \(f\) por la derecha o por la izquierda de \(a\) tiende a infinito.

La reca \(x = a\) es una asíntota vertical por la izquierda si

$$ \lim_{x \to a^- } f(x) = \pm \infty $$

La reca \(x = a\) es una asíntota vertical por la derecha si

$$ \lim_{x \to a^+ } f(x) = \pm \infty $$

Los puntos \(a\) candidatos son aquéllos para los que \(f\) no está definida. En las funciones racionales, los candidatos son los puntos que anulan al denominador.

Ejemplo:

La función racional \(f(x) = 1/x\) tiene una asíntota vertical por ambos lados en \(x = 0\):

asíntotas de funciones. Problemas resueltos y demostraciones. Asíntota vertical, asíntota horizontal y asíntota oblicua

$$ \lim_{x \to 0 } f(x) = \lim_{x \to 0 } \frac{1}{x} = \pm \infty $$

4. Asíntota oblicua

La recta \(y = ax+b\) (siendo \(a\neq 0\)) es una asíntota oblicua de \(f\) si el límite de \(f(x) – (ax+b)\) cuando \(x\) tiende a \(+\infty\) o a \(-\infty\) es 0.

La recta \(y = ax+b\) es una asíntota oblicua por la izquierda si

$$ \lim_{x \to -\infty } f(x) – (ax+b) = 0 $$

La recta \(y = ax+b\) es una asíntota oblicua por la derecha si

$$ \lim_{x \to +\infty } f(x) – (ax+b) = 0 $$

Si \(y = ax+b\) es una asíntota oblicua de \(f\), podemos calcular su pendiente con el siguiente límite:

$$ a = \lim_{x \to \pm\infty } \frac{f(x)}{x} $$

Y su ordenada, con el limite

$$ b = \lim_{x \to \pm\infty }f(x)-ax $$

Ejemplo:

La función \(f\) (color rojo)

$$ f(x) = \frac{x^2+1}{x-1} $$

tiene la asíntota oblicua \(y = x+1\) (color azul):

asíntotas de funciones. Problemas resueltos y demostraciones. Asíntota vertical, asíntota horizontal y asíntota oblicua

Comprobación:

$$ \lim_{x \to \pm\infty } f(x) – (x+1) = $$

$$ = \lim_{x \to \pm\infty } \frac{x^2+1}{x-1} – x-1 = $$

$$ = \lim_{x \to \pm\infty } \frac{x^2+1-x^2-x+x+1}{x-1} =$$

$$ = \lim_{x \to \pm\infty } \frac{2}{x-1} = 0$$

X

5. Problemas resueltos

En algunos problemas se pide calcular las asíntotas y en otros, demostrar la existencia de asíntotas.

Los primeros problemas están dedicados a las asíntotas verticales; los siguientes, a las horizontales; y los últimos, a las oblicuas.

Algunas de las demostraciones pueden ser comprensibles para los alumnos de bachillerato, otras son más técnicas.

Problema 1

Encontrar las asíntotas verticales de la función racional

$$ f(x) = \frac{3}{x-1}$$

Solución

Problema 2

Comprobar que una función racional

$$ f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} $$

donde \(P(x)\) y \(Q(x)\) son polinomios, tiene asíntotas verticales en las raíces de \(Q(x)\) que no son raíces de \(P(x)\).

Nota: demostración de dificultad baja.

Solución

Problema 3

¿Cuántas asíntotas verticales tiene la siguiente función?

$$ f(x) = \frac{x^2-1}{x^2+x} $$

Solución

Problema 4

Calcular la asíntota horizontal de la siguiente función en la que el grado del polinomio del denominador es mayor que el del numerador:

$$ f(x) = \frac{x+2}{x^2+2}$$

Solución

Problema 5

Calcular la asíntota horizontal de la siguiente función en la que el grado del polinomio del denominador es igual que el grado del polinomio del numerador:

$$ f(x) = \frac{6x-1}{2-3x} $$

Solución

Problema 6

Comprobar que si \(f\) es la función racional

$$ f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} $$

donde \(P(x)\) y \(Q(x)\) son polinomios sin raíces comunes, entonces:

  • Si el grado de \(Q\) es mayor que el de \(P\), entonces \(y = 0\) es una asíntota horizontal de \(f\).
  • Si el grado \(P\) es mayor que el de \(Q\), entonces \(f\) no tiene asíntota horizontal.
  • Si el grado de \(P\) es \(n\) y es igual que el grado de \(Q\), entonces \(y = a_n/b_n\) es una asíntota horizontal de \(f\) siendo \(a_n\) y \(b_n\) los coeficientes directores de los polinomios \(P\) y \(Q\), respectivamente.

Nota: demostración de dificultad baja.

Solución

Problema 7

En caso de haberlas, indicar las asíntotas horizontales de las siguientes funciones:

$$ f(x) = \frac{1-x^2}{x^2-2} $$

$$ g(x) = \frac{2x+1}{3x^2-2x} $$

$$ h(x) = \frac{x^7-2}{2x^2+3x} $$

Nota: las expresiones de las funciones están simplificadas.

Solución

Problema 8

En caso de haberlas, calcular las asíntotas horizontales de las siguientes funciones definidas por partes:

$$ f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{3-4x^2}{x^2+x+1} & \mbox{si } x\geq 0 \\ \frac{1}{x+1} & \mbox{si } x< 0\end{array} \right.$$

$$ g(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{x^2-1}{x} & \mbox{si } x\geq 0 \\ \frac{2x^6-1}{x^5-x^6} & \mbox{si } x< 0\end{array} \right.$$

Solución

Problema 9

Calcular la asíntota oblicua de la función

$$ f(x) = \frac{x^2-x^3}{x^2+1} $$

Solución

Problema 10

Calcular la asíntota oblicua de la función

$$ f(x) = \frac{3-x^2}{2x+2} $$

Solución

Problema 11

Demostrar que la recta \(y=ax+b\) ( con \(a\neq 0\)) es una asíntota oblicua de \(f\) si, y solamente si, existen los límites

$$ \lim_{x \to \pm\infty } \frac{f(x)}{x} = a$$

$$ \lim_{x \to \pm\infty } f(x)-ax = b$$

Nota: demostración de dificultad media.

Solución

Problema 12

Comprobar que si \(f\) es la función racional

$$ f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} $$

donde \(P(x)\) y \(Q(x)\) son polinomios sin raíces comunes de modo que el grado de \(P\) es una unidad mayor que el grado de \(Q\), entonces \(f\) tiene una asíntota oblicua.

Nota: demostración de dificultad alta.

Solución

Problema 13

Encontrar todas las asíntotas de la función

$$ f(x) = \frac{x+2}{x^2-9} $$

Solución

Problema 14

Encontrar todas las asíntotas de la función

$$ f(x) = \frac{3x^5-2x}{x^4-5x^2+4} $$

Solución

Problema 15

Encontrar todas las asíntotas de la función

$$ f(x) = \frac{e^x}{x} $$

Solución




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