Eliminación de Gauss

Contenido de esta página:

  • Introducción al método de Gauss y de Gauss-Jordan

  • Recordemos que... operaciones elementales fila y Gauss vs. Gauss-Jordan

  • Método de Resolución

  • Ejercicios Resueltos: resolución de sistemas por Gauss-Jordan y Rouché - Frobenius

Introducción al método de Gauss

Un sistema de ecuaciones (lineales) es un conjunto de ecuaciones (lineales) con varias incógnitas. Generalmente, las incógnitas aparecen en varias ecuaciones.

Lo que hace una ecuación con varias incógnitas es relacionarlas entre sí.

Resolver un sistema consiste en encontrar los valores de todas las incógnitas para los cuales se verifican todas las ecuaciones que conforman el sistema. Si alguna de las ecuaciones no se verifica, entonces no se trata de una solución.

  • Si hay una única solución (un valor para cada incógnita) decimos que el sistema es compatible determinado (SCD).

  • Si hay varias (en este caso hay infinitas) soluciones, decimos que es compatible indeterminado (SCI).

  • Si no hay ninguna, y esto ocurre cuando dos o más ecuaciones no pueden verificarse al mismo tiempo, decimos que es incompatible (SI). Por ejemplo, el sistema de ecuaciones

    $$ \begin{cases} \begin{array}{lcl} y & = & 0 \\ 2x + y & = & 0 \\ 2x + y & = & 2 \end{array} \end{cases}$$

    es incompatible ya que la segunda ecuación exige x = 0 y la tercera, x = 1.

En esta sección vamos a resolver sistemas mediante el método de eliminación de Gauss, que consiste simplemente en realizar operaciones elementales fila o columna sobre la matriz ampliada del sistema hasta obtener la forma escalonada o escalonada reducida (Gauss-Jordan).

Sin embargo, cabe decir que probablemente el método más rápido es estudiar el rango de la matriz para determinar el tipo de sistema. Si es SCD, aplicamos Cramer. Si es SCI, eliminación de Gauss. Si es SI, no necesitamos realizar cálculos.

Recordemos que...

En un sistema de ecuaciones, una operación elemental fila consiste en

  • Multiplicar toda una ecuación por en escalar no nulo.

  • Intercambiar el orden de las filas.

  • Sumar a una ecuación otra ecuación multiplicada por un escalar.

Este tipo de operaciones no alteran la solución del sistema. Es por esto que decimos que los sistemas son equivalentes.

Gauss y Gauss - Jordan

La diferencia entre los métodos de Gauss y de Gauss-Jordan es que el primero finaliza al obtener un sistema equivalente en forma escalonada, mientras que el segundo finaliza al obtener un sistema equivalente en forma escalonada reducida.

Método de resolución

  1. Aplicamos el método de eliminación de Gauss-Jordan:

    obtener la forma escalonada reducida de la matriz ampliada del sistema de ecuaciones mediante operaciones elementales fila (o columna).

    Una vez tenemos la matriz en forma escalonada reducida, la obtención de la solución es inmediata.

  2. Aplicaremos el Teorema de Rouché-Frobenius para determinar el tipo de sistema:

    Sea A·X = B un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas (sobre un cuerpo en general), siendo m y n naturales (no nulos):

    • A·X = B es compatible si, y sólo si, rango( A ) = rango ( A | B ).
    • A·X = B es compatible determinado si, y sólo si, rango( A ) = n = rango( A | B ).

Nota: las operaciones elementales fila y columna nos permiten obtener sistemas equivalentes al inicial pero con una forma que facilita la obtención de las soluciones (en caso de haberlas). Asimismo, existen herramientas más rápidas para hallar las soluciones de los sistemas compatibles determinados, como la Regla de Cramer.

Problemas Resueltos

Ejercicio 1

resolución de sistemas mediante Eliminación de Gauss-Jordan

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Ejercicio 2

resolución de sistemas mediante Eliminación de Gauss-Jordan

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Ejercicio 3

resolución de sistemas mediante Eliminación de Gauss-Jordan

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Ejercicio 4

resolución de sistemas mediante Eliminación de Gauss-Jordan

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Ejercicio 5

resolución de sistemas mediante Eliminación de Gauss-Jordan

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Ejercicio 6

resolución de sistemas mediante Eliminación de Gauss-Jordan

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Ejercicio 7

resolución de sistemas mediante Eliminación de Gauss-Jordan

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Ejercicio 8

resolución de sistemas mediante Eliminación de Gauss-Jordan

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Ejercicio 9

resolución de sistemas mediante Eliminación de Gauss-Jordan

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Ejercicio 10

resolución de sistemas mediante Eliminación de Gauss-Jordan

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