EJERCICIOS RESUELTOS: ELIMINACIÓN DE GAUSS


Un sistema de ecuaciones (lineales) es un conjunto de ecuaciones (lineales) con varias incógnitas. Generalmente, las ecuaciones aparecen en varias ecuaciones. Lo que hace una ecuación con varias incógnitas es relacionarlas entre sí.

Resolver un sistema consiste en encontrar los valores de las incógnitas para los cuales se verifican todas las ecuaciones que conforman el sistema. Si hay una única solución (un valor para cada incógnita) decimos que el sistema es compatible determinado (SCD). Si hay varias (incluso infinitas) soluciones, decimos que es compatible indeterminado (SCI). Si no hay ninguna, y esto ocurre cuando dos o más ecuaciones no pueden verificarse al mismo tiempo, decimos que es incompatible (SI)

En esta sección vamos a resolver sistemas mediante el método de eliminación de Gauss, que consiste simplemente en realizar operaciones elementales fila o columna sobre la matriz ampliada del sistema hasta obtener la forma escalonada reducida. Sin embargo, cabe decir que probablemente el método más rápido es estudiar el rango de la matriz para determinar el tipo de sistema. Si es SCD, aplicamos Cramer. Si es SCI, eliminación de Gauss. Si es SI, no necesitamos realizar cálculos.

Método de resolución

  1. Aplicamos el método de eliminación de Gauss-Jordan:

    obtener la forma escalonada reducida de la matriz ampliada del sistema de ecuaciones mediante operaciones elementales fila (o columna).

  2. Una vez obtenida la matriz, aplicaremos el Teorema de Rouché-Frobenius para determinar el tipo de sistema y obtener las soluciones, que dice así:

    Sea A·X = B un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas (sobre un cuerpo en general), siendo m y n naturales (no nulos):

    • A·X = B es compatible si, y sólo si, rango( A ) = rango ( A | B ).
    • A·X = B es compatible determinado si, y sólo si, rango( A ) = n = rango( A | B ).

Nota: las operaciones elementales fila y columna nos permiten obtener sistemas equivalentes al inicial pero con una forma que facilita la obtención de las soluciones (en caso de haberlas). Asímismo, existen herramientas más rápidas para hallar las soluciones de los sistemas compatibles determinados, como la Regla de Cramer.

Ejercicios resueltos:Regla de Cramer


Ejercicios resueltos (click para ver solución)
1

sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas

2

sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas

3

sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas con fracciones

4

sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas

5

sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas



Ejercicios resueltos (click para ver solución)
6

sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas

7

sistema de dos ecuaciones y tres incógnitas

8

sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas con raíces y fracciones

9

sistema de cuatro ecuaciones y cuatro incógnitas

10

sistema de dos ecuaciones y dos incognitas con coeficientes complejos

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