Sistemas resueltos por Eliminación de Gauss y de Gauss-Jordan
logotipo matesfacil

Eliminación de Gauss y de Gauss-Jordan

En esta página vamos a resolver 10 sistemas de ecuaciones lineales (SEL) de dimensión 2x2, 3x3 y 4x4 mediante el método de eliminación de Gauss, que consiste, simplemente, en realizar operaciones elementales fila o columna sobre la matriz ampliada del sistema hasta obtener la forma escalonada o escalonada reducida (Gauss-Jordan).

Contenido de esta página:

  1. Introducción a los SEL
  2. Operaciones elementales fila
  3. Método de Gauss y el teorema de Rouché-Frobenius
  4. 10 sistemas resueltos por eliminación de Gauss

Enlace: Calculadora online de la regla de Cramer.


1. Introducción a los SEL

SEL, solución de un SEL, representación matricial y tipos de SEL.

Ver texto

2. Operaciones elementales fila

Dada una matriz, llamamos operaciones elementales filas a las siguientes operaciones:

  • Multiplicar toda una fila por un escalar no nulo.

  • Intercambiar el orden de dos filas.

  • Sumar a una fila el resultado de multiplicar otra fila por un escalar.

En el siguiente apartado definimos la matriz ampliada de un SEL. Al realizar operaciones elementales fila sobre esta matriz, lo hacemos sobre las ecuaciones del sistema.

También, se pueden realizar operaciones elementales columna, pero omitimos este procedimiento porque esto supone intercambiar el orden de los sumandos de las ecuaciones del SEL.

X

3. Método de resolución

La matriz ampliada del sistema \(AX = b\) es la matriz formada por las matrices \(A\) y \(b\), separadas normalmente por una raya:

Explicamos el método de eliminación de Gauss y de Gauss-Jordan y los aplicamos para resolver 10 sistemas de ecuaciones. También, aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius para determinar el tipo de sistema (compatible determinado, compatible indeterminado e incompatible). Álgebra matricial, matrices. Bachillerato, Universidad. Matemáticas.

La fila \(i\) de la matriz ampliada contiene los coeficientes de las incógnitas y el término independiente de la ecuación \(i\) del sistema.

Con todo lo visto, ya podemos explicar el método de eliminación de Gauss y el de Gauss-Jordan.

Eliminación de Gauss y de Gauss-Jordan:

Dado un sistema \(AX=b\), el método de eliminación de Gauss consiste en hallar la forma escalonada de la matriz ampliada del sistema, \(A^*=(A|b)\).

Al terminar, tendremos la matriz (triangular superior) ampliada de un sistema de ecuaciones equivalente (con la o las mismas soluciones) mucho más sencillo de resolver. Aplicaremos el teorema de Rocuhé-Frobenius (enunciado más adelante) para determinar el tipo de sistema. Finalmente, resolveremos el sistema (si es compatible).

Dado un sistema \(AX=b\), el método de eliminación de Gauss-Jordan consiste en hallar la forma escalonada reducida de la matriz ampliada del sistema, \(A^*=(A|b)\).

La diferencia entre los métodos de Gauss y de Gauss-Jordan es que el primero finaliza al obtener un sistema equivalente en forma escalonada, mientras que el segundo finaliza al obtener un sistema equivalente en forma escalonada reducida.

Nota: las definiciones de forma escalonada y forma escalonada reducida de una matriz podéis encontrarlas en matrices equivalentes.

Teorema de Rocuhé-Frobenius:

Sea A·X = b un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas (sobre un cuerpo en general), siendo m y n naturales (no nulos):

  • A·X = b es compatible si, y sólo si, rango( A ) = rango ( A | b ).
  • A·X = b es compatible determinado si, y sólo si, rango( A ) = n = rango( A | b ).
  • Si los rangos son distintos, el sistema es incompatible.

Demostración y ejemplos del teorema de Rouché-Frobenius.

4. Sistemas resueltos por Gauss

Comentario: el método más rápido para resolver un SEL es estudiar el rango de la matriz para determinar el tipo de sistema. Si es SCD, aplicamos la regla de Cramer. Si es SCI, eliminación de Gauss. Si es SI, no hay que realizar cálculos.


Sistema 1 (dimensión 2x2)

Explicamos el método de eliminación de Gauss y de Gauss-Jordan y los aplicamos para resolver 10 sistemas de ecuaciones. También, aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius para determinar el tipo de sistema (compatible determinado, compatible indeterminado e incompatible). Álgebra matricial, matrices. Bachillerato, Universidad. Matemáticas.

Ver solución

Sistema 2 (dimensión 2x2)

Explicamos el método de eliminación de Gauss y de Gauss-Jordan y los aplicamos para resolver 10 sistemas de ecuaciones. También, aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius para determinar el tipo de sistema (compatible determinado, compatible indeterminado e incompatible). Álgebra matricial, matrices. Bachillerato, Universidad. Matemáticas.

Ver solución

Sistema 3 (dimensión 2x2)

Explicamos el método de eliminación de Gauss y de Gauss-Jordan y los aplicamos para resolver 10 sistemas de ecuaciones. También, aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius para determinar el tipo de sistema (compatible determinado, compatible indeterminado e incompatible). Álgebra matricial, matrices. Bachillerato, Universidad. Matemáticas.

Ver solución

Sistema 4 (dimensión 3x3)

Explicamos el método de eliminación de Gauss y de Gauss-Jordan y los aplicamos para resolver 10 sistemas de ecuaciones. También, aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius para determinar el tipo de sistema (compatible determinado, compatible indeterminado e incompatible). Álgebra matricial, matrices. Bachillerato, Universidad. Matemáticas.

Ver solución

Sistema 5 (dimensión 3x3)

Explicamos el método de eliminación de Gauss y de Gauss-Jordan y los aplicamos para resolver 10 sistemas de ecuaciones. También, aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius para determinar el tipo de sistema (compatible determinado, compatible indeterminado e incompatible). Álgebra matricial, matrices. Bachillerato, Universidad. Matemáticas.

Ver solución

Sistema 6 (dimensión 3x3)

Explicamos el método de eliminación de Gauss y de Gauss-Jordan y los aplicamos para resolver 10 sistemas de ecuaciones. También, aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius para determinar el tipo de sistema (compatible determinado, compatible indeterminado e incompatible). Álgebra matricial, matrices. Bachillerato, Universidad. Matemáticas.

Ver solución

Sistema 7 (dimensión 2x3)

Explicamos el método de eliminación de Gauss y de Gauss-Jordan y los aplicamos para resolver 10 sistemas de ecuaciones. También, aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius para determinar el tipo de sistema (compatible determinado, compatible indeterminado e incompatible). Álgebra matricial, matrices. Bachillerato, Universidad. Matemáticas.

Ver solución

Sistema 8 (dimensión 3x3)

Explicamos el método de eliminación de Gauss y de Gauss-Jordan y los aplicamos para resolver 10 sistemas de ecuaciones. También, aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius para determinar el tipo de sistema (compatible determinado, compatible indeterminado e incompatible). Álgebra matricial, matrices. Bachillerato, Universidad. Matemáticas.

Ver solución

Sistema 9 (dimensión 4x4)

Explicamos el método de eliminación de Gauss y de Gauss-Jordan y los aplicamos para resolver 10 sistemas de ecuaciones. También, aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius para determinar el tipo de sistema (compatible determinado, compatible indeterminado e incompatible). Álgebra matricial, matrices. Bachillerato, Universidad. Matemáticas.

Ver solución

Sistema 10 (dimensión 2x2)

Explicamos el método de eliminación de Gauss y de Gauss-Jordan y los aplicamos para resolver 10 sistemas de ecuaciones. También, aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius para determinar el tipo de sistema (compatible determinado, compatible indeterminado e incompatible). Álgebra matricial, matrices. Bachillerato, Universidad. Matemáticas.

Ver solución




acceso al foro

ejercicios interactivos de matemáticas


Eliminación de Gauss y de Gauss-Jordan - © - matesfacil.com

Creative Commons License
Matesfacil.com by J. Llopis is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.