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Brook Taylor

Contenido de esta página:

  1. Biografía de Brook Taylor

  2. Definición del Polinomio de Taylor y desmostración de la Fórmula de Taylor

  3. Ejemplos de aplicación de la Fórmula de Taylor

    • Polinomios \( P_n(f,x_0)(x)\) de \( f(x) = e^x\)

    • Aproximación de \(cos(0.5)\) con 4 decimales exactos


1. Brook Taylor (1685-1731)

Brook Taylor (1685-1731) nació en Edmonton (Inglaterra). Estudió derecho en la Universidad de Cambridge y se doctoró en el año 1714. Habiendo estudiado matemáticas con John Machin (profesor de astronomía) y John Keill (discípulo de Isaac Newton), resolvió el problema del “centro de oscilación” en el año 1708, aunque no fue publicado hasta 1714. En 1712 ingresó en la Royal Society.

Entre sus obras destaca Methodus Incrementorum Directa et Inversa publicada en 1715, en la que se presenta el teorema conocido ahora como Fórmula de Taylor o Teorema de Taylor.

Ver Referencias



2. Teorema de Taylor

Definición

Sea \( f:]a,b[\rightarrow \mathbb{R}\) una función que admite derivada de orden \( n\) en el punto \( x_0 \in ]a,b[\). Se define el polinomio de Taylor de orden \(n\) alrededor del punto \(x_0\) como

$$ P_n(f,x_0)(x) = f(x_0)+ $$

$$ +\sum_{k=1}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k $$

donde \( f^{(k)}\) representa la derivada \(k\)-ésima de \( f\) (derivada de orden \(k\)).

Si \( x_0 = 0\), el polinomio se denomina serie de Maclaurin de la función \( f\).


Nota: para facilitar la lectura, en ocasiones escribiremos \(P_n(f,x_0)\) para referirnos a \(P_n(f,x_0)(x)\).


Teorema: Fórmula de Taylor con resto de Lagrange

Sea \( f:]a,b[\rightarrow \mathbb{R}\) una función derivable hasta el orden \( n+1\). Dados \(x,x_0\in]a,b[\), existe \(\xi\) entre \(x\) y \(x_0\) tal que

$$f(x) – P_n(f,x_0)(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$$

Ver Demostración



3. Aplicaciones de la Fórmula de Taylor

El polinomio \( P_n(f,x_0)\) es una aproximación de la función \(f\) en el intervalo \(]a,b[\) con un error que podemos acotar fácilmente.

En esta sección calcularemos los polinomios de Taylor de orden 2 y de orden 5 de la función exponencial, mostraremos sus gráficas y acotaremos el error en el intervalo \([0,1]\). Después, calcularemos el valor de \(cos(0.5)\) con al menos 4 decimales exactos.

Función exponencial

Polinomio de Taylor de orden 2 y de orden 5 de la función exponencial \(f(x) = e^x\) en el punto \(x_0 = 0\):

Las derivadas de la función \( f(x) = e^x \)son:

$$f^{(n)}(x) = e^x, \forall n $$

Por tanto,

$$ f^{(n)}(0) = e^0=1, \forall n$$

El polinomio de orden 5 es

$$P_5(f,0) =1+x+\frac{x^2}{2} +$$

$$ + \frac{x^3}{3!} +\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}=$$

$$ = 1+x+\frac{x^2}{2} +$$

$$ + \frac{x^3}{6} +\frac{x^4}{24}+\frac{x^5}{120}$$

Y el de orden 2 es

$$P_2(f,0) =1+x+\frac{x^2}{2} $$

Las gráficas de \(f\), de \( P_2(f,0)\) y de \( P_5(f,0)\) son

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                        	demostración de la Fórmula de Taylor (con ejemplos de 
                            aplicación

Obsérvese que el error de los polinomios es menor en los puntos que menos distan de \( x_0 = 0\).

Acotamos el error en el intervalo [0,1]:

En el caso de \(P_2\), el error es

$$f(x)-P_2(f,0) =$$

$$=\frac{f^{(3)}(\xi)}{3!}\cdot x^3 = $$

$$\leq\frac{e^x\cdot x^3}{6}$$

Por tanto,

$$ | f(x)-P_2(f,0)| \leq \frac{e}{6} \simeq 0.45304... $$

Nota: en realidad, en la práctica observamos que en el intervalo \([0,1]\), el error es menor que 0.22.

En el caso de \(P_5 \), la cota es

$$|f(x)-P_5(f,0)| \leq \frac{e}{5!} \simeq 0.02265$$

Nota: en la práctica, obtenemos que el error es menor que 0.00162.

Aproximación de \(cos(0.5)\)

Aproximamos el valor de \(cos(0.5)\) con al menos 4 decimales exactos.

Utilizaremos un polinomio de Taylor de orden \( n\) de la función \( f(x) = cos(x)\) alrededor del punto \( x_0 = 0\). El orden \(n \) debe ser suficientemente grande para obtener 4 decimales exactos, es decir, el error de la aproximación debe ser menor que \(0.00001=10^{-5}\).

Existe un punto \( \xi\in [0,0.5]\) tal que el error del polinomio \( P_n(f, 0)\) es

$$E=\left|\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(0.5)^{n+1}\right|$$

Las derivadas de \(f(x)=cos(x)\) son el seno y el coseno. Tendremos en cuenta que

$$ |cos(x)|, |sin(x)|\leq 1, \forall x$$

Exigimos que el error sea menor que \(10^{-5}\) para obtener el orden \(n\) que se requiere:

$$E\leq \left|\frac{0.5^{n+1}}{(n+1)!}\right| \leq 10^{-5} $$

Por tanteo, debe escogerse un \(n \geq 6\).

El polinomio de Taylor de orden 6 de \(f\) es

$$ P_6(f,0) (x)= 1-\frac{x^2}{2} +$$

$$ + \frac{x^4}{24} - \frac{x^6}{720} $$

Evaluando el polinomio en 0.5, obtenemos

$$cos(0.5) = P_6(f,0) (0.5) = $$

$$=\frac{40439}{46080}\simeq 0.8775824652$$

Nota: en realidad, la aproximación tiene 6 decimales exactos.

Nota 2: como \(sin(0) = 0\), se tiene que \( P_4(f,0) = P_5(f,0)\). Por tanto, el error cometido por ambos polinomios es el mismo, obteniéndose 3 decimales exactos. Por ello debe utilizarse \( n\geq 6\) y esto hace que el error disminuya drásticamente (por el factorial del denominador).


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