Topología inducida (subespacio)

En esta página definimos subespacio topológico (abierto y cerrado), enunciamos algunas propiedades directas y proporcionamos tres ejemplos de subespacios.

Contenido de esta página:

1. Definiciones
2. Algunas propiedades
3. Ejemplos de subespacios

Notación: como es habitual, nos refeiremos al espacio topológico \((X,\mathcal{T})\) simplemente por \(X\). Además, en todo el texto, consideramos el subespacio \(S\subseteq X\).

Definición equivalente:

Subespacio abierto y cerrado:

Lógicamente, si \(i\) es abierta, los abiertos de \(S\) también son abiertos de \(X\). Además, como \(S\) es abierto en \(S\), su imagen \(i(S)=S\) también es abierta en \(X\).

En realidad, si \(S\) es abierto, sus abiertos son, por definición, abiertos en \(X\), ya que la intersección de abiertos es un abierto.

Por tanto, podemos decir que un subespacio \(S\) es abierto si, y sólo si, \(S\) es abierto en \(X\).

Razonando de forma parecida, \(S\) es un subespacio cerrado si es cerrado en \(X\).

Las siguientes propiedades son consecuencia directa de la definición. Las propiedades topológicas que heredan los subespacios las estudiamos en la página "propiedades topológicas hereditarias".

A continuación, proporcionamos tres ejemplos de subespacios topológicos.

Ejemplo 1

La topología de un subespacio \(S\) de un espacio indiscreto es la topología indiscreta sobre \(S\).

Dado \(X\), la topología indiscreta (o topología trivial) es \(\mathcal{T} = \{\emptyset , X\}\).

Dado \(S\subseteq X\), la topología inducida es \( \mathcal{T}_{|S} = \{\emptyset , S\}\).

Ejemplo 2

En la recta real con la topología usual \(\mathcal{T}\), los abiertos son los intervalos con la forma \((a,b)\) y sus uniones.

Sea \(I = [0,1] \subseteq \mathbb{R}\). Consideremos la topología inducida sobre \(I\), \(\mathcal{T}_{|I}\).

El intervalo \(A = [0,1/2)\) no es abierto en \(\mathbb{R}\), pero es abierto en la topología \(\mathcal{T}_{|I}\), puesto que es la intersección del abierto \(A' = (-1/2, 1/2) \in \mathcal{T}\) con \(I\):

$$ [0, 1/2) = (-1/2, 1/2) \cap [0,1] $$

El intervalo \(B = (1/2, 1]\) también un abierto de \(\mathcal{T}_{|I}\), pero no de \(\mathcal{T}\).

El subespacio \(I\) es un subespacio cerrado y el subespacio \(I' = (0,1)\) es un subespacio abierto.

Ejemplo 3

La topología de un subespacio \(S\) del espacio \(X\) con la topología cofinita es

• la topología cofinita si \(S\) es infinito,
• la topología discreta si \(S\) es finito.

Los abiertos de la topología cofinita sobre \(X\) son los conjuntos \(X\) cuyo complementario es finito:

$$ \mathcal{T}_{cof} = \{A\subseteq X: X-A \text{ es finito}\}$$

La topología discreta sobre \(X\) es su conjunto potencia:

$$\mathcal{T}_d = \{\mathcal{P}(X)\} $$

Supongamos que \(S\) es un subespacio finito:

Sea \(U'\) un subconjunto de \(S\). Como \(S\) es finito, tanto \(U'\) como su complementario son finitos. Por tanto, \(U'\) es abierto en \(X\), lo que implica que \(U' = U'\cap S\) es abierto en \(S\).

Como todo subconjunto de \(S\) es abierto, la topología de \(S\) es la discreta.

Supongamos ahora que \(S\) no es finito:

Sea \(U'\subseteq S\) un abierto. Entonces, existe un abierto \(U\) de \(X\) tal que \(U' = U\cap S\).

Como \(U\) es abierto, su complementario \(F = X-U\) es finito.

$$ U \cap S = (X-F)\cap S = $$

$$ = (S\cap X) - (S\cap F) = S-(S\cap F)$$

Como \(F\) es finito, \(S\cap F\) es finito. Por tanto, el complementario de \(S\cap F\) en \(S\) (es decir, \(S-(S\cap F) = U' \)) es abierto en la topología sobre \(S\).

Luego la topología inducida sobre \(S\) es la topología cofinita sobre \(S\).

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