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Calcular la media ponderada

En esta página explicamos de forma sencilla qué es la media podenerada y cómo calcularla (también, la media ponderada con pesos normalizados). Proporcionamos una calculadora online y algunos problemas resueltos de aplicación.

Contenido de esta página:

  1. Calculadora de la media ponderada
  2. Explicación y ejemplo
  3. Pesos normalizados
  4. Problemas resueltos de aplicación

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1. Calculadora de la media ponderada

Escribir el número de datos y pulsar "Crear". Despues de introducir los datos y los pesos, pulsar "Calcular".

Sólo se admiten números enteros y decimales (utilizando el punto decimal ".").

¿Cuál es el número \(n\) de datos?

\(n = \)

2. Explicación y ejemplo

La media aritmética se calcula sumando los datos (\(x_1\), \(x_2\), ... , \(x_n\)) y dividiendo entre el número total de datos:

$$ \overline{x} = \frac{x_1+x_2+…+x_n}{n} $$

La media ponderada difiere de la aritmética en que cada dato tiene mayor o menor importancia o peso a la hora de calcular la media:

$$ \overline{x_p} = \frac{x_1\cdot p_1+x_2\cdot p_2+…+x_n\cdot p_n}{p_1 + p_2 +…+ p_n} $$

Cada factor \(p_i\) es el peso o ponderación del dato \(x_i\).

Nota: En esta página llamamos \(\overline{x}\) a la media aritmética y \(\overline{x_p}\) a la media ponderada para distinguirlas.

Observad que si los pesos de los datos son iguales (\(p_i = p\) para todo \(i\)), entonces la media ponderada coincide con la aritmética:

$$ \overline{x_p} = \frac{x_1\cdot p+x_2\cdot p+…+x_n\cdot p}{p + p +…+ p} =$$

$$ = \frac{p\cdot (x_1+x_2+…+x_n)}{n\cdot p} =$$

$$= \frac{x_1+x_2+…+x_n}{n} = \overline{x}$$


Ejemplo:

Las notas de los tres exámenes de un alumno son 7, 5 y 9 (sobre 10).

La media aritmética es

Explicamos qué es la media ponderada y cómo se calcula (también, con pesos normalizados). Proporcionamos una calculadora online y algunos problemas resueltos de aplicación. Matemáticas.

Supongamos que el peso de cada examen es 25%, 35% y 40%. Calculamos la media ponderada:

Explicamos qué es la media ponderada y cómo se calcula (también, con pesos normalizados). Proporcionamos una calculadora online y algunos problemas resueltos de aplicación. Matemáticas.

En este ejemplo, la media ponderada es mayor que la media aritmética porque las dos notas altas tienen más peso que la otra.

3. Pesos normalizados

La media ponderada la hemos definido como

$$ \overline{x_p} = \frac{ \sum_{i=1}^{n} x_i\cdot p_i }{ \sum_{i=1}^{n} p_i }$$

Definimos los pesos normalizados \(p'_i\) como

$$ p'_i = \frac{p_i}{ \sum_{k=1}^{n} p_k } $$

De este modo, la suma de los pesos es 1:

$$ \sum_{i=1}^{n} p'_i = \sum_{i=1}^{n} \frac{p_i}{ \sum_{k=1}^{n} p_k } = 1$$

La media ponderada con los pesos normalizados es

$$ \frac{ \sum_{i=1}^{n} x_i\cdot p'_i }{ \sum_{i=1}^{n} p'_i } = \sum_{i=1}^{n} x_i\cdot p'_i $$

Esta media coincide con la media ponderada inicial (con los pesos iniciales):

$$ \sum_{i=1}^{n} x_i\cdot p'_i = \sum_{i=1}^{n} \left( x_i\cdot \frac{p_i}{ \sum_{k=1}^{n} p_k } \right) = $$

$$ = \frac{1}{ \sum_{i=1}^{n} p_i } \cdot \sum_{i=1}^{n} x_i\cdot p_i = \overline{x_p} $$

4. Problemas resueltos de aplicación

Problema 1

Calcular la media ponderada de los siguientes datos:

Explicamos qué es la media ponderada y cómo se calcula (también, con pesos normalizados). Proporcionamos una calculadora online y algunos problemas resueltos de aplicación. Matemáticas.

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Problema 2

Notas y pesos de los cinco exámenes realizados por un alumno:

Explicamos qué es la media ponderada y cómo se calcula (también, con pesos normalizados). Proporcionamos una calculadora online y algunos problemas resueltos de aplicación. Matemáticas.

  1. Calcular la nota media ponderada.
  2. Si todos los exámenes tuvieran el mismo peso, ¿cuál sería la media ponderada?
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Problema 3

La nota final de matemáticas de un alumno es la media ponderada de los dos exámenes realizados, en los que obtuvo un 7 y un 9. Si la nota final de este alumno es 7.3, ¿cuál era la ponderación de cada nota?

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