Calcular la media ponderada

En esta página explicamos de forma sencilla qué es la media podenerada y cómo calcularla (también, la media ponderada con pesos normalizados). Proporcionamos una calculadora online y algunos problemas resueltos de aplicación.

Contenido de esta página:

1. Calculadora de la media ponderada
2. Explicación y ejemplo
3. Pesos normalizados
4. Problemas resueltos de aplicación

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Escribir el número de datos y pulsar "Crear". Despues de introducir los datos y los pesos, pulsar "Calcular".

Sólo se admiten números enteros y decimales (utilizando el punto decimal ".").

¿Cuál es el número \(n\) de datos?

\(n = \)

Crear datos

Calcular

La media aritmética se calcula sumando los datos (\(x_1\), \(x_2\), ... , \(x_n\)) y dividiendo entre el número total de datos:

$$ \overline{x} = \frac{x_1+x_2+…+x_n}{n} $$

Nota: En esta página llamamos \(\overline{x}\) a la media aritmética y \(\overline{x_p}\) a la media ponderada para distinguirlas.

Observad que si los pesos de los datos son iguales (\(p_i = p\) para todo \(i\)), entonces la media ponderada coincide con la aritmética:

$$ \overline{x_p} = \frac{x_1\cdot p+x_2\cdot p+…+x_n\cdot p}{p + p +…+ p} =$$

$$ = \frac{p\cdot (x_1+x_2+…+x_n)}{n\cdot p} =$$

$$= \frac{x_1+x_2+…+x_n}{n} = \overline{x}$$

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Ejemplo:

Las notas de los tres exámenes de un alumno son 7, 5 y 9 (sobre 10).

La media aritmética es

Supongamos que el peso de cada examen es 25%, 35% y 40%. Calculamos la media ponderada:

En este ejemplo, la media ponderada es mayor que la media aritmética porque las dos notas altas tienen más peso que la otra.

La media ponderada la hemos definido como

$$ \overline{x_p} = \frac{ \sum_{i=1}^{n} x_i\cdot p_i }{ \sum_{i=1}^{n} p_i }$$

De este modo, la suma de los pesos es 1:

$$ \sum_{i=1}^{n} p'_i = \sum_{i=1}^{n} \frac{p_i}{ \sum_{k=1}^{n} p_k } = 1$$

La media ponderada con los pesos normalizados es

$$ \frac{ \sum_{i=1}^{n} x_i\cdot p'_i }{ \sum_{i=1}^{n} p'_i } = \sum_{i=1}^{n} x_i\cdot p'_i $$

Esta media coincide con la media ponderada inicial (con los pesos iniciales):

$$ \sum_{i=1}^{n} x_i\cdot p'_i = \sum_{i=1}^{n} \left( x_i\cdot \frac{p_i}{ \sum_{k=1}^{n} p_k } \right) = $$

$$ = \frac{1}{ \sum_{i=1}^{n} p_i } \cdot \sum_{i=1}^{n} x_i\cdot p_i = \overline{x_p} $$

Problema 1

Calcular la media ponderada de los siguientes datos:

Problema 2

Notas y pesos de los cinco exámenes realizados por un alumno:

1. Calcular la nota media ponderada.
2. Si todos los exámenes tuvieran el mismo peso, ¿cuál sería la media ponderada?

Problema 3

La nota final de matemáticas de un alumno es la media ponderada de los dos exámenes realizados, en los que obtuvo un 7 y un 9. Si la nota final de este alumno es 7.3, ¿cuál era la ponderación de cada nota?

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