Cálculo de determinantes de matrices
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Cálculo de determinantes de matrices

Contenido de esta página:

  1. Introducción
  2. Reglas para cada dimensión
  3. Ejemplos de determinantes

Enlaces:


1. Introducción

La función determinante es de gran importancia en el álgebra ya que, por ejemplo, nos permite saber si un matriz es regular (si tiene inversa) y, por tanto, si un sistema de ecuaciones lineales tiene solución. Además, en el caso de que el sistema de ecuaciones tenga una única solución, podemos calcularla aplicando determinantes (regla de Cramer). Otras aplicaciones: el cálculo del producto vectorial de dos vectores y determinar si un conjunto de vectores es linealmente independiente.

Es importante que recordéis:

  • Una matriz tiene inversa si su determinante es distinto de 0.

  • Las filas de una matriz o sus columnas son linealmente dependientes si, y sólo si, su determinante es 0.

La función determinante se define para matrices cuadradas. Su definición formal (como función multilineal alternada) es complicada, pero existen reglas y métodos para calcular los determinantes.

Denotaremos el elemento de la fila \(i\) y la columna \(j\) de la matriz \(A\) por \(a_{ij}\).

Página recomendada: Determinantes de matrices con parámetros.

2. Reglas para cada dimensión

Tenemos una regla para cada dimensión.

Dimensión 1x1

Si la dimensión de la matriz es 1, sólo tiene un elemento y su determinante es dicho elemento:

Reglas para calcular el determinante de matrices de dimensión 1, 2 y 3 y la regla de Laplace por filas y columnas. Con ejemplos y ejercicios resueltos. Matemáticas para bachillerato y universidad. Álgebra matricial.

Dimensión 2x2

La matriz cuadrada de dimensión 2 tiene la forma

Reglas para calcular el determinante de matrices de dimensión 1, 2 y 3 y la regla de Laplace por filas y columnas. Con ejemplos y ejercicios resueltos. Matemáticas para bachillerato y universidad. Álgebra matricial.

Regla: calculamos el determinante restan el producto de los elementos de las diagonales:

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Ver ejemplo

Dimensión 3x3

La matriz cuadrada de dimensión 3 tiene la forma

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Regla: calculamos el determinante mediante la llamada regla de Sarrus. Una forma de aplicar la regla de Sarrus es escribir las tres columnas de la matriz seguidas de la primer y la segunda columna:

Reglas para calcular el determinante de matrices de dimensión 1, 2 y 3 y la regla de Laplace por filas y columnas. Con ejemplos y ejercicios resueltos. Matemáticas para bachillerato y universidad. Álgebra matricial.

Los elementos de las diagonales con flecha hacia abajo (azul) se multiplican y se suman; los de las otras diagonales (rojo) se multiplican y se restan:

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Normalmente, podemos aplicar la regla de Sarrus sin necesidad de escribir 5 columnas, pero tenéis que pensar vosotros mismos la regla porque es complicado explicarla y entenderla por escrito.

Ver ejemplo

Regla de Laplace

La regla de Laplace para calcular determinantes se puede aplicar para matrices cuadradas de cualquier dimensión, pero normalmente se hace para dimensión mayor que 3.

Hay dos versiones de la regla: desarrollo por una fila y desarrollo por una columna.

Consejo: desarrollar por la fila o la columna que tenga más ceros.

Desarrollo por la fila \(i\) de la matriz \(A\) de dimensión \(n\):

Reglas para calcular el determinante de matrices de dimensión 1, 2 y 3 y la regla de Laplace por filas y columnas. Con ejemplos y ejercicios resueltos. Matemáticas para bachillerato y universidad. Álgebra matricial.

siendo \(A_{ij}\) la matriz de dimensión \(n-1\) resultante al eliminar la fila \(i\) y la columna \(j\) de \(A\).

Por tanto, si la matriz es dimensión \(n\), tendremos que calcular \(n\) determinantes de matrices de dimensión \(n-1\). Esta es la razón por la que solo usamos esta regla cuando no hay otra opción (dimensión mayor que 3).

Para ver la fórmula de forma más intuitiva, observad el desarrollo por la fila \(1\) de una matriz de dimensión 3:

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Hemos escrito el símbolo \(\times\) en las entradas de la matriz que se han eliminado, obteniendo así determinantes de matrices 2x2.

Desarrollo por la columna \(j\) de la matriz \(A\) de dimensión \(n\) es

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Ver ejemplo
X

3. Ejemplos de determinantes

Determinante 1

Matriz de dimensión 2x2

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Determinante 2

Matriz de dimensión 2x2

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Determinante 3

Matriz de dimensión 2x2

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Determinante 4



Matriz de dimensión 3x3

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Determinante 5

Matriz simétrica de dimensión 3x3

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Determinante 6

Matriz de dimensión 3x3 (aplicar Laplace)

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Determinante 7

Matriz diagonal de dimensión 3x3

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Determinante 8

Matriz de dimensión 4x4

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Determinante 9

Matriz de dimensión 4x4

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Determinante 10

Matriz de dimensión 3x3 con entradas complejas

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