Cálculo de Determinantes

Contenido de esta página:

  • Introducción y Reglas según la dimensión

  • Cálculo de Determinantes (Ejemplos)


Introducción y Reglas

Los determinantes nos permiten saber la compatibilidad de los sistemas de ecuaciones lineales y nos facilitan la obtención de la solución en el caso de sistemas compatibles determinados (Regla de Cramer).

También tienen otras aplicaciones, por ejemplo: podemos usarlos para determinar si un conjunto de vectores son linealmente independientes y por tanto, forma una base del espacio vectorial; para obtener ecuaciones de planos, superfícies, rectas, etc.

En reaildad, las aplicaciones anteriores se basan en la invertibilidad de las matrices. Si una matriz (cuadrada) es regular, su determinante es distinto de 0; si no lo es, es decir, si es singular, vale 0.

En esta sección vamos a calcular determinantes de matrices (cuadradas) de dimensiones 2, 3 y 4, siendo una de ellas de entradas complejas. Para el caso de dimensión 3 usaremos la regla de Sarrus y para dimensión 4, el desarrollo por filas o columnas de Laplace.

El determinante se define para matrices cuadradas. Su definición formal es complicada y se basa en el conjunto de permutaciones, pero existen varios métodos para calcularlos según la dimensión de la matriz:

  • Si la dimensión es 1, la matriz es de la forma

    Se define su determinante como:

  • Si la dimensión es 2, la matriz es de la forma

    Se define su determinante como:

    Puede servir como regla mnemotécnica el diagrama

  • Si la dimensión es 3, la matriz es de la forma

    Se define su determinante como:

    La fórmula anterior se conoce como la Regla de Sarrus.

  • Si la dimensión es mayor o igual que 4 tenemos que desarrollar el determinante por Laplace

    por la fila i de A como

    o por la columna j de A como

  • Si la matriz es diagonal, el determinante es el producto de los elementos de la diagonal.


Cálculo de Determinantes


EJERCICIOS RESUELTOS (click para ver la solución)
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