Matriz adjunta y matriz inversa (mediante la matriz adjunta)
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Matriz inversa y matriz adjunta

En esta página explicamos cómo calcular la matriz adjunta y la matriz inversa de una matriz cuadrada.

Contenido de esta página:

  • Introducción
  • Inversa mediante adjunción (método)
  • 10 problemas resueltos (calcular la matriz inversa)

Calculadoras de matrices:

Introducción

Las matrices son una herramienta valiosa en todas las ramas de las matemáticas, pero, sobre todo, lo son cuando son matrices inversibles (es decir, con inversa). Existen muchos y diversos métodos para la obtención de la matriz inversa, cada uno de ellos con sus ventajas y desventajas.

Entre los métodos más básicos, destacan el de Gauss y el que vamos a explicar en esta página (inversa mediante adjunción). En el primero se realizan operaciones elementales fila y en el segundo se calculan determinantes.

Recordad:

  • Sólo tienen inversa algunas matrices cuadradas.

  • Una matriz tiene inversa si su determinante es distinto de 0.

  • Si una matriz tiene inversa, se dice que es inversible o regular. En caso contrario, se dice que es irregular o singular.

  • La inversa de \(A\) se denota por \(A^{-1}\) y cumple

    $$ A\cdot A^{-1} = I $$

    $$ A^{-1} \cdot A = I $$

Inversa mediante adjunción

Sea \(A\) una matriz cuadrada y regular de dimensión \(n\), entonces la matriz inversa de \(A\), \(A^{-1}\), viene dada por

Método para calcular la matriz inversa a partir de la matriz adjunta (fórmula). Incluye ejemplos y 10 problemas resueltos del cálculo de la matriz adjunta y de la matriz inversa (dimensiones 2x2, 3x3 y 4x4). Álgebra matricial. Matrices. Bachiller, bachillerato, universidad. Matemáticas

donde

  • \(|A|\) es el determinante de \(A\)

  • \(Adj(A)\) es la matriz adjunta o de adjuntos de la matriz \(A\)

  • el exponente \(T\) signidica trasposición (matriz traspuesta)

Nota: alguna gente llama adjunta a la traspuesta de la matriz adjunta que definimos a continuación.

Matriz adjunta:

Sea \(A\) una matriz de dimensión \(mxn\), denotamos al elemento de la fila \(i\) y columna \(j\) de \(A\) por \(a_{i,j}\).

Con esta notación, si la matriz \(A\) es de dimensión 2x2, tiene la forma

Método para calcular la matriz inversa a partir de la matriz adjunta (fórmula). Incluye ejemplos y 10 problemas resueltos del cálculo de la matriz adjunta y de la matriz inversa (dimensiones 2x2, 3x3 y 4x4). Álgebra matricial. Matrices. Bachiller, bachillerato, universidad. Matemáticas

Y, si es de dimensión 3x3,

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La matriz adjunta de \(A\), \(Adj(A)\), tiene la misma dimensión que \(A\) y si denotamos por \(ad_{i,j}\) al elemento de la fila \(i\) y columna \(j\) de \(Adj(A)\), entonces

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donde \(A_{i,j}\) es la matriz que se obtiene al eliminar la fila \(i\) y columna \(j\) de \(A\).

Ejemplo del cálculo de la matriz adjunta y matriz inversa:

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10 Problemas resueltos

En todos los problemas debe hallarse la matriz adjunta y la matriz inversa de la matriz \(A\) dada.

Problema 1

Matriz de dimensión 2x2

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Problema 2

Matriz de dimensión 3x3

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Problema 3

Matriz de dimensión 3x3

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Problema 4



Matriz de dimensión 3x3

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Problema 5

Matriz de dimensión 3x3

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Problema 6

Matriz de dimensión 3x3

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Problema 7

Matriz de dimensión 3x3 con entradas complejas

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Problema 8

Matriz de dimensión 3x3

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Problema 9

Matriz de dimensión 4x4

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Problema 10

Matriz de dimensión 3x3

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