Propiedades topológicas hereditarias

Sean \(x\) e \(y\) dos puntos distintos del subespacio \(S\) de \(X\).

Como \(x,y\in X\) y \(X\) es de Hausdorff, existen dos abiertos disjuntos \(A\) y \(B\) tales que \(x\in A\) e \(y\in B\).

Los siguientes conjuntos son abiertos en la topología inducida:

$$ A' = A\cap S, \ B' = B\cap S $$

Estos abiertos son disjuntos y \(x\in A'\) e \(y\in B'\), por lo que \(S\) también es de Hausdorff.

Sean \(x\) e \(y\) dos puntos distintos del subespacio \(S\) de \(X\).

Como \(x,y\in X\) y \(X\) es \(T_1\), existen dos entornos \(U\) y \(V\) de \(x\) y de \(y\), respectivamente, tales que \(y\notin U\) y \(x\notin V\).

Puesto que \(U\) y \(V\) son entornos, existen dos abiertos \(A_x\) y \(A_y\) tales que \(x\in A_x \subseteq U\) e \(y\in A_y \subseteq U\).

Definimos \(U' = U \cap S\), \(V' = V \cap S\), \(A_x' = A_x \cap S\) y \(A_y' = A_y \cap S\).

Los conjuntos \(A_x'\) y \(A_y'\) son abiertos en \(S\) y

$$ x\in A_x' \subseteq U' $$

$$ y\in A_y' \subseteq V' $$

Por tanto, \(U'\) y \(V'\) son entornos de \(x\) y \(y\), respectivamente y \(x\notin V'\) e \(y\notin U'\), así que \(S\) es también \(T_1\).

Un espacio es de Kolmogórov si dados dos puntos distintos, existe un entorno de uno de ellos al cual no pertenece el otro.

La demostración de que \(T_0\) es hereditaria es similar a la anterior.

Un espacio es 1AN si para todo punto del espacio existe una base de entornos numerable del mismo.

Sea \(x\) un punto del subespacio \(S\) de \(X\).

Como \(x\in S\subseteq X\) y \(X\) es 1AN, existe una base de entornos numerable de \(x\):

$$ \mathcal{B}(x) = \{B_n : n\in\mathbb{N}\} $$

Definimos

$$ \mathcal{B}_{|S}(x) = \{B_n \cap S : n\in\mathbb{N}, B_n\in\mathcal{B}(x)\} $$

Por comodidad, llamamos \(B'_n = B_n \cap S\).

Cada \(B'_n\) es un entorno de \(x\) en \(S\): como \(B_n\) es un entorno de \(x\), existe un abierto \(A\in\mathcal{T}\) tal que \(x\in A \subseteq B_n\). Como \(x\in A\cap S \subseteq B'_n\), se tiene que \(B'_n\) es entorno de \(x\) en la topología inducida.

Todo \(U'\subseteq S\) entorno de \(x\) contiene un entorno básico al que pertenece \(x\): Por ser \(U'\) un entorno, existe un abierto \(A'\in \mathcal{T}_{|S}\) tal que \(x \in A'\subseteq U'\). Como \(A'\) es abierto, existe un abierto \(A\in \mathcal{T}\) tal que \(A' = A\cap S\). Como \(A\) es, también, un entorno de \(x\) en el espacio \(X\), existe un \(B_n\in \mathcal{B}(x)\) tal que \(x\in B_n\subseteq A\). Observad que

$$ B_n' = B_n \cap S \subseteq A\cap S = A' \subseteq U' $$

Además, \(x\in B_n' \subseteq U'\).  

Por tanto, \(\mathcal{B}_{|S}(x)\) es una base de entornos numerable de \(x\).

Un espacio es 2AN si existe una base numerable de la topología.

Como \(X\) es 2AN, existe una base numerable de abiertos \(\mathcal{A} = \{A_n: n\in\mathbb{N}\} \).

Definimos

$$ \mathcal{A}' =\{A_n\cap S: n\in\mathbb{N}, A_n\in \mathcal{A}\} $$

Por comodidad, llamamos \(A_n' = A_n\cap S\). Por definición, \(\mathcal{A}'\) es numerable.

Veamos que \(\mathcal{A}'\) es una base de la topología inducida sobre \(S\):

Sean \(A' \in \mathcal{T}_{|S}\) un abierto y \(x\in A'\). Como existe un abierto \(A \in\mathcal{T}\) tal que \(A' = A\cap S\), existe un elemento de la base \(A_n\) tal que \(x \in A_n \subseteq A\).

Se tiene

$$ x \in A_n' = A_n \cap S \subseteq A\cap S = A' $$

Por tanto, \(\mathcal{A}'\) es una base numerable de la topología \(\mathcal{T}_{|S}\).

La topología \(\mathcal{T}\) sobre \(X\) es equivalente a la inducida por una métrica \(d\): \(\mathcal{T} = \mathcal{T}_d\).

La topología \(\mathcal{T}_d\) está generada por las bolas abiertas de dicha métrica:

$$ \mathcal{T}_d := \{ B_d (x,\varepsilon ) : x\in X, \varepsilon > 0\} $$

La restricción de la métrica \(d\) al subconjunto \(S\subseteq X\), \(d_{|S}\), es una métrica sobre \(S\). Por comodidad, llamamos \(d' = d_{|S}\).

La topología que define la métrica \(d'\) sobre \(S\) es la generada por

$$ \mathcal{T}_{d'} := \{ B_{d'} (x,\varepsilon ) : x\in S, \varepsilon > 0\} $$

Es fácil ver que \( B_{d'} (x,\varepsilon ) = B_d (x,\varepsilon ) \cap S\).

Tenemos que ver \( \mathcal{T}_{d'} = \mathcal{T}_{|S} \).

Dado un abierto \(A'\in \mathcal{T}_{|S} \), existe un abierto \(A \in \mathcal{T}\) tal que \(A' = A\cap S\).

Sea \(x\in A'\), entonces \(x\in A\). Como \(\mathcal{T} = \mathcal{T}_d\), existe una bola \( B_d(x,\varepsilon ) \) tal que \(x \in B_d(x,\varepsilon ) \subseteq A\).

Como \( B_{d'} (x,\varepsilon ) = B_d (x,\varepsilon ) \cap S\), se tiene \(x \in B_{d'} (x,\varepsilon ) \subseteq A'\).

Como consecuencia, \(A'\in \mathcal{T}_{d'} \).

Sea \(A'\in \mathcal{T}_{d'}\) un abierto. Dado \(x\in A'\), existe una bola de la métrica \(d'\) tal que \( x \in B_{d'} (x,\varepsilon ) \subseteq A'\).

Como \( B_{d'} (x,\varepsilon ) = B_{d} (x,\varepsilon ) \cap S\) y \( B_{d} (x,\varepsilon ) \in \mathcal{T}_d = \mathcal{T}\), entonces \( B_{d'} (x,\varepsilon )\in \mathcal{T}_{|S}\). Es decir, para todo punto \(x\) del abierto \(A'\in \mathcal{T}_{d'}\), existe un abierto \( B_{d'} (x,\varepsilon ) \in \mathcal{T}_{|S}\) tal que \(x \in B_{d'} (x,\varepsilon ) \subseteq A\). Por lo que \(A'\in\mathcal{T}_{|S}\).

Un espacio \(X\) es de Lindelöf si todo recubrimiento abierto de \(X\) admite un subrecubrimiento numerable.

Recordad que \(S\subseteq X\) es un subespacio cerrado si sus cerrados son cerrados en \(X\). Como \(S\) es cerrado en su topología, entonces también es cerrado en \(X\).

Sea \(\mathcal{A}' =\{A_i' : i\in I\}\) un recubrimiento abierto de \(S\). Para cada \(i\in I\), existe un abierto \(A_i\in \mathcal{T}\) tal que \(A_i' = A_i \cap S\). Sea \(\mathcal{A}\) la familia de estos abiertos \(A_i\in \mathcal{T}\).

Como \(S\) es cerrado, \(C = X-S\) es abierto. Por tanto, \(\mathcal{A}\cup C\) es un recubrimiento abierto de \(X\).

Como \(X\) es de Lindelöf, \(\mathcal{A}\cup C\) admite un subrecubrimiento abierto numerable de \(X\). Como consecuencia, la familia \(\mathcal{H}\) de los abiertos \(A_i\) que pertenecen a dicho subrecubrimiento numerable es también numerable. Sea \(\mathcal{H} = \{A_{i_k} : k\in K\}\).

Los abiertos de \(\mathcal{H}\) también recubren a todo \(S\): si \(x\in S\) no pertenece a ninguno de los abiertos de \(\mathcal{H}\), debe pertenecer al abierto \(C = X-S\), lo cual no es posible.

La familia \(\mathcal{H}' = \{A_{i_k} \cap S\}\) es un subrecubrimiento numerable de \(\mathcal{A}'\).

Un espacio \(X\) es separable si existe un conjunto \(D\subseteq X\) denso y numerable.

Recordad que \(D\) es denso en \(X\) si su clausura, \(\overline{D}\), es \(X\); es decir, si para todo entorno \(U\) de \(x\in X\) se tiene \( U\cap D \neq \emptyset\).

Sea \(S\subseteq X\) un subespacio abierto del espacio separable \(X\).

Como \(X\) es separable, existe un conjunto \(D\subseteq X\) denso numerable.

Definimos \(D' = D\cap S\). Es un conjunto numerable por serlo \(D\). Veamos que \(D'\) es denso es \(S\):

Queremos ver que todo \(x\in S\) está en \(\overline{D'}\).

Sean \(x\in S\) y sea \(A\in \mathcal{T}_{|S}\) con \(x \in A\). Como \(S\) es abierto, \(A\in \mathcal{T}\).

Como \(x\in X\), \(x\in A\in \mathcal{T}\) y \(D\) es denso, entonces \(A \cap D \neq \emptyset\). Se tiene

$$ A \cap D' = A\cap (D\cap S) =$$

$$ = (A\cap S) \cap D = A\cap D \neq \emptyset $$

Luego \(x\in \overline{D'}\).