Propiedades topológicas hereditarias
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Propiedades topológicas hereditarias

En esta página definimos propiedad topológica hereditaria y demostramos que algunas propiedades son hereditarias (como ser de Hausdorff, ANI y ANII).

Contenido de esta página:

  1. Recordatorio
  2. Definiciones
  3. Algunas propiedades hereditarias

1. Recordatorio

Recordamos el concepto de subespacio topológico:

Sea \((X, \mathcal{T})\) un espacio topológico y sea \(S\subseteq X\). Se define el subespacio \(S\) de \(X\) como el espacio topológico \((S, \mathcal{T}_{|S})\) siendo

$$ \mathcal{T}_{|S} = \{A\cap S: A\in \mathcal{T}\} $$

La topología \(\mathcal{T}_{|S} \) se denomina topología inducida, relativa o heredada de \(X\) sobre \(S\).

Si \(S\) es abierto en \(X\), decimos que es un subespacio abierto; y que es un subespacio cerrado si \(S\) es cerrado en \(X\).


Utilizaramos el siguiente resultado:

Todo abierto (cerrado) de \(S\) se puede expresar como la intersección de \(S\) con un abierto (cerrado) de \(X\):

  • \( \forall A' \in \mathcal{T}_{|S}, \exists A \in\mathcal{T}, A' = A\cap S\)
  • \(\forall C' \in \mathcal{C}_{|S}, \exists C\in\mathcal{C}, C' = C\cap S\), siendo \(\mathcal{C}_{|S}\) y \(\mathcal{C}\) el conjunto de cerrados de \(S\) y de \(X\), respectivamente.

Más propiedades y ejemplos en topología inducida (subespacio).

2. Definiciones

Una propiedad topológica \(\mathcal{P}\) es hereditaria si, cuando un espacio topológico \(X\) cumple \(\mathcal{P}\), entonces todos sus subespacios \(S\) cumplen \(\mathcal{P}\). Decimos que los subespacios \(S\) heredan la propiedad \(\mathcal{P}\) de \(X\).

Se dice que \(\mathcal{P}\) es débilmente hereditaria si los subespacios cerrados heredan \(\mathcal{P}\) y que es casi hereditaria si la heredan los subespacios abiertos.


X

3. Algunas propiedades hereditarias

Un ejemplo de propiedad no hereditaria es la compacidad: el subespacio \( I = [0,1]\) de \(\mathbb{R}\) con la topología usual es compacto por ser un intervalo cerrado y acotado (Heine-Borel). Sin embargo, el subespacio \(I'=(0,1)\subseteq I\) no es compacto (por ejemplo, la unión de los abiertos \((1/(2n),1), n\in\mathbb{N}\) es un recubrimiento abierto de \(I'\) que no admite un subrecubrimiento finito).

Propiedad 1

Ser de Hausdorff (\(T_2\) ) es una propiedad hereditaria.

Ver demostración

Propiedad 2

Ser de Fréchet (\(T_1\) ) es hereditaria.

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Propiedad 3

Ser de Kolmogórov (\(T_0\) ) es hereditaria.

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Propiedad 4

Ser 1AN (primer axioma de numerabilidad) es hereditaria.

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Propiedad 5

Ser 2AN (segundo axioma de numerabilidad) es hereditaria.

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Propiedad 6

Ser metrizable es hereditaria.

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Propiedad 7

Ser de Lindelöf es débilmente hereditaria.

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Propiedad 8

La separabilidad es casi hereditaria.

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