Eugène Rouche y el teorema de Rouche-Frobenius, con demostración y ejemplos de aplicación
logotipo matesfacil

Eugène Rouché y el teorema de Rouché-Frobenius

Contenido de esta página:

  • Biografía de Eugène Rouché

  • El Teorema de Rouché-Frobenius: enunciado y demostración

  • 3 Ejemplos de Aplicación del Teorema de Rouché-Frobenius

Problemas resueltos relacionados:

Eugène Rouché

Eugène Rouché (1832 –1910) fue un matemático francés, profesor de esta ciencia en el liceo Charlemagne y posteriormente en la École Centrale.

Rouché es conocido, sobre todo, por el Teorema de Rouché de análisis complejo sobre funciones holomorfas publicado en 1862.

Otro de sus resultados más conocidos es el teorema de Rouché-Frobenius que, como veremos a continuación, relaciona los rangos de las matrices de coeficientes y ampliada de la representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales con el tipo de soluciones de éste.

Este último teorema apareció, primero, en un artículo de dos páginas en 1875 (Sur la discussion des equations du premier degré) y después, en 1890, fue publicada una versión más completa en el Journal de l'École Polytechnique.

Sin embargo, el matemático coetáneo Georges Fontené (1848-1923) reclamó la autoría de la demostración. Más tarde, en 1905, el matemático alemán Ferdinand Georg Frobenius (1849-1917) acreditó la autoría tanto a Rouché como a Fontené.

Actualmente, en el habla hispana, el teorema se conoce como Teorema de Rouché-Frobenius. En Rusia se conoce como Teorema de Kronecker-Capelli; en Italia, como Teorema de Rocuhé-Frobenius; y, en Francia, como Teorema de Rouché-Fontené.

La importancia del teorema se debe a que permite clasificar un sistema de ecuaciones lineales sobre cualquier cuerpo K a partir de los rangos de la matriz ampliada y de la matriz de coeficientes del sistema, sin necesidad de resolverlo.


Ver referencias

X

El teorema de Rouché-Frobenius

Recordad que un sistema \(Ax = b\) es

  • Sistema incompatible si no tiene soluciones.

  • Sistema compatible determinado si tiene una única solución.

  • Sistema compatible indeterminado si tiene infinitas soluciones.

Teorema de Rouché-Frobenius

Sea el sistema \(Ax = b\) con \(m\) ecuaciones lineales sobre un cuerpo \(K\) y con \(n\) incógnitas, siendo \(m\) y \(n\) naturales mayores que 0. Entonces,

  1. El sistema \(Ax = b\) es compatible si, y sólo si, rango(A) = rango(A|b)

  2. El sistema \(Ax = b\) es compatible determinado si, y sólo si, rango(A) = rango(A|b)= n.


Ver demostración

Ejemplos de aplicación del teorema

Los ejemplos son sistemas de 3 ecuaciones y 3 incógnitas con coeficientes reales (un sistema de cada tipo). Omitimos algunos pasos para abreviar.

Ejemplo 1

Biografía de Eugène Rouché, enunciado y demostración del Teorema de Rouché-Frobenius y tres ejemplos de su aplicación para clasificar sistemas de ecuaciones lineales. Álgebra matricial. Secundaria. Bachillerato.

Ver solución

Ejemplo 2

Biografía de Eugène Rouché, enunciado y demostración del Teorema de Rouché-Frobenius y tres ejemplos de su aplicación para clasificar sistemas de ecuaciones lineales. Álgebra matricial. Secundaria. Bachillerato.

Ver solución

Ejemplo 3

Biografía de Eugène Rouché, enunciado y demostración del Teorema de Rouché-Frobenius y tres ejemplos de su aplicación para clasificar sistemas de ecuaciones lineales. Álgebra matricial. Secundaria. Bachillerato.

Ver solución



acceso al foro

ejercicios interactivos de matemáticas


Eugène Rouché y el teorema de Rouché-Frobenius - © matesfacil.com

Creative Commons License
Matesfacil.com by J. Llopis is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.