Eugène Rouché y el Teorema de Rouché-Frobenius

Contenido de esta página:

  • Biografía de Eugène Rouché

  • El Teorema de Rouché-Frobenius: enunciado y demostración

  • 3 Ejemplos de Aplicación del Teorema de Rouché-Frobenius

Eugène Rouché

Eugène Rouché (1832 –1910) fue un matemático francés, profesor de esta ciencia en el liceo Charlemagne y posteriormente en la École Centrale.

Rouché es conocido, sobre todo, por el Teorema de Rouché de análisis complejo sobre funciones holomorfas publicado en 1862.

Otro de sus resultados más conocidos es el teorema de Rouché-Frobenius que, como veremos a continuación, relaciona los rangos de las matrices de coeficientes y ampliada de la representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales con el tipo de soluciones de éste.

Este último teorema apareció, primero, en un artículo de dos páginas en 1875 (Sur la discussion des equations du premier degré) y después, en 1890, fue publicada una versión más completa en el Journal de l'École Polytechnique.

Sin embargo, el matemático coetáneo Georges Fontené (1848-1923) reclamó la autoría de la demostración. Más tarde, en 1905, el matemático alemán Ferdinand Georg Frobenius (1849-1917) acreditó la autoría tanto a Rouché como a Fontené.

Actualmente, en el habla hispana, el teorema se conoce como Teorema de Rouché-Frobenius. En Rusia se conoce como Teorema de Kronecker-Capelli; en Italia, como Teorema de Rocuhé-Frobenius; y, en Francia, como Teorema de Rouché-Fontené.

La importancia del teorema se debe a que permite conocer el tipo de solución de un sistema de ecuaciones lineales sobre cualquier cuerpo K a partir del rango de la matriz del sistema, sin necesidad de resolverlo.

Referencias:

  • C W Curtis; Pioneers of representation theory: Frobenius, Burnside, Schur, and Brauer (1999)

  • Norman Levinson, Raymond M. Redheffe; Curso de variable compleja (1990)

  • Rouché et Comberousse (de); Traité de géométrie, tomos I y II (reedición Jacques Gabay 1997)


Teorema de Rouché-Frobenius

Sea el sistema

$$AX=B$$

con m ecuaciones lineales sobre un cuerpo K y con n incógnitas, donde m y n son naturales mayores que 0. Entonces,

  1. El sistema AX = B es compatible si, y sólo si, rango(A) = rango(A|B)

  2. El sistema AX = B es compatible determinado si, y sólo si, rango(A) = rango(A|B)= n

Ver Demostración

Ejemplos de Aplicación

Todos los ejemplos son sistemas de 3 ecuaciones y 3 incógnitas con coeficientes reales.

Ejemplo 1

ejemplos de aplicación del teorema de Rouché-Frobenius

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Ejemplo 2

ejemplos de aplicación del teorema de Rouché-Frobenius

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Ejemplo 3

ejemplos de aplicación del teorema de Rouché-Frobenius

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