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Karl Weierstraβ

Contenido de esta página:

  • Biografía de Weierstrass

  • Los teoremas de Bolzano-Weierstrass y de Weierstrass


Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815-1897)

Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815-1897) nació en Ostenfelde (dentro del Reino de Prusia y del Reino Alemán). Aun habiendo abandonado sus estudios universitarios de matemáticas, es conocido por dar la primera definición formal de continuidad de una función y por demostrar el Teorema de Bolzano-Weierstrass y el Teorema de Weierstrass.

En realidad, el Teorema de Bolzano-Weierstrass fue demostrado primero por Bolzano en 1817 como lema previo del Teorema de Bolzano (del valor intermedio) y, posteriormente, por Weierstrass. Asimismo, el Teorema de Weierstrass también fue demostrado primero por Bolzano (en dos resultados) en la década de 1830, aunque no se publicó hasta 1930.

Como Weierstrass publicó importantes artículos que le hicieron famoso entre sus contemporáneos, la Universidad de Königsberg le concedió un doctorado honoris causa en 1854. En 1856, se le ofreció la cátedra en cualquier universidad de Austria que desease, pero Weierstrass se decidió por una oferta en Gewerbeinstitut (Universidad Técnica de Berlín), aunque no ocupó la cátedra oficialmente hasta después de unos años.

Importantes matemáticos fueron alumnos de Weierstrass, por ejemplo: Georg Cantor, Friedrich Engel, Georg Frobenius, Otto Hölder, Sophus Lie, Hermann Minkowski, Hermann Schwarz y Otto Stolz.

Ver Referencias



Teoremas de Bolzano-Weierstrass y de Weierstrass

En esta sección se demuestran el Teorema de Bolzano-Weierstrass y el Teorema de Weierstrass, dos teoremas de gran importancia en el análisis matemático. Para facilitar la compresión de las demostraciones se recuerdan los conceptos de sucesión, de subsucesión y de convergencia y se enuncian otros dos resultados: el Teorema de los intervalos encajados y la Regla del sándwich.

1. Definiciones y resultados previos

Definición 1

Se denomina sucesión de \(\mathbb{R}\) a cualquier función \( f\) de \(\mathbb{N}\) en \( \mathbb{R}\). Normalmente, se representa mediante \( \{ x_n\}_{n\in \mathbb{N}}\) donde \( x_n = f(n)\) para todo \( n\in \mathbb{N}\).

Para cada \(n\in\mathbb{N}\), al elemento \(x_n\) se le denomina término \(n\)-ésimo de la sucesión.


Definición 2

Se denomina subsucesión de la sucesión \(\mathbb{R}\) a cualquier subconjunto infinito de \( \{ x_n\}_{n\in \mathbb{N}}\). Normalmente, se representa mediante \( \{ x_{n_k} \}_{k\in \mathbb{N}} \) siendo \( x_{n_k} \in \{ x_n\}_{n\in \mathbb{N}}\) para todo \( k\in \mathbb{N}\).

Dicho de otro modo, una subsucesión de \( \{ x_n\}_{n\in \mathbb{N}}\) es sucesión cuyos términos están en \( \{ x_n\}_{n\in \mathbb{N}}\).


Definición 3

Se dice que la sucesión \( \{ x_n\}_{n\in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R}\) es convergente a un punto \( x_0 \in \mathbb{R}\) si para todo \( \varepsilon > 0\) existe un natural \( n_0\) tal que \( |x_n - x_0| < \varepsilon \) para todo \( n\geq n_0\) o, equivalentemente, si

$$ \lim _{n\to \infty} x_n = x_0 $$

Se dice que \( x_0\) es el límite de la sucesión o que la sucesión \( \{ x_n\}_{n\in \mathbb{N}} \) converge a \(x_0\). Normalmente, se expresa mediante \( x_n \rightarrow x_0\).


Ejemplos

  • El conjunto

    $$ A= \{ 1/n\}_{n\in\mathbb{N}} $$

    es una sucesión convergente a 0.

  • El conjunto

    $$ \{ \frac{1}{2n}\}_{n\in\mathbb{N}} $$

    es una subsucesión de la sucesión anterior porque está compuesta por los términos de las posiciones pares. Es también convergente a 0.

  • El conjunto

    $$ B = \{ y_n : n\in\mathbb{R} \}\subset A$$

    donde \( y_n = x_n\) si \(n\) es par e \(y_n = x_1\) si \( n\) es impar, es una subsucesión de \( A\), pero no es convergente.


Teorema 1: Regla del sándwich

Sean \(\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}\), \(\{y_n\}_{n\in\mathbb{N}}\) y \(\{z_n\}_{n\in\mathbb{N}}\) tres sucesiones tales que para todo \(n\in\mathbb{N}\) se cumple

$$ x_n \leq y_n \leq z_n $$

Si las sucesiones \(\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}\) e \(\{y_n\}_{n\in\mathbb{N}}\) son convergentes a \(L\), entonces la sucesión \(\{y_n\}_{n\in\mathbb{N}}\) tambén es convergente y converge a \(L\).


Teorema 2: Teorema de los intervalos encajados

Para cada \( n\in\mathbb{N}\) sean los intervalos cerrados

$$ I_n = [a_n,b_n]\subset \mathbb{R} $$

tales que \( I_{n+1}\subset I_n\) para todo \( n\in\mathbb{N}\) y

$$ \lim_{n\to \infty} (b_n -a_n) = 0 $$

Entonces, existe un único punto \(x_0 \in \mathbb{R}\) tal que

$$ \bigcap_{n\in\mathbb{N}} I_n = \{x_0\} $$

En particular,

$$ x_0 = \lim_{n\in\mathbb{N}} a_n $$

$$ x_0 = \lim_{n\in\mathbb{N}} b_n $$

$$ x_0 = sup\{a_n:n\in\mathbb{N}\} $$

$$ x_0 = inf\{b_n:n\in\mathbb{N}\} $$

Se dice que los intervalos \( I_n\) son intervalos encajados.



2. Teorema de Bolzano-Weierstrass

Toda sucesión acotada tiene una subsucesión convergente.

Ver Demostración


3. Teorema de Weierstrass

Sea la función \( f: [a,b]\rightarrow \mathbb{R}\) una función continua. Entonces, existen dos puntos \(x_0\) y \(x_1\) en el intervalo \( [a,b]\) donde \(f\) alcanza el valor máximo y mínimo, respectivamente, es decir,

$$ f(x_0) \leq f(x) \leq f(x_1)$$

$$ \forall x\in [a,b]$$

Es decir,

$$ f(x_0) = \min \{f(x): x\in [a,b]\}$$

$$ f(x_1) = \max \{f(x): x\in [a,b]\}$$

Nota: es importante que el dominio de la función sea un intervalo cerrado (y por tanto, acotado).

Ver Demostración


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