Karl Weierstraβ

• K. R. Biermann (1970-90); Dictionary of Scientific Biography.
• R. Bölling (1993); Briefwechsel zwischen Karl Weierstrass und Sofja Kowalewskaja.
• H. Behnke, K. Kopfermann (1966); Festschrift zur Gedächtnisfeier für Karl Weierstrass.
• R. Bölling (1994); Das Fotoalbum für Weierstrass.

Sea \( \{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}\subset \mathbb{R}\) una sucesión acotada. Entonces, existe \( K\in\mathbb{R}\) tal que \( |x_n|\leq K \) para todo \( n\in\mathbb{N} \).

En alguno de los intervalos \( A_1 = [0,K], B_1=[-M,0]\) debe haber infinitos términos de la sucesión. Supóngase que esto sucede con \( A_1\) y sea \( I_1 = A_1\).

Sea \( x_{n_1}\) un término de la sucesión tal que \( x_{n_1}\in I_1\). Razonando como antes, en alguno de los intervalos \( A_2 = [0,K/2], B_2=[K/2,K]\) debe haber infinitos términos de la sucesión. Sea \( I_2\) el intervalo en qué esto sucede.

Sea \( x_{n_2}\) un término de la sucesión tal que \( x_{n_2}\in I_2\). Se repite el proceso indefinidamente, obteniéndose una subsucesión \( \{x_{n_k}\}_{k\in\mathbb{N}}\) de modo que \( x_{n_k} \in I_k \).

Sean \( a_k, b_k\) los extremos de cada intervalo \( I_k\). Es decir, \( I_k = [a_k, b_k]\). Entonces, se tiene

$$ a_k \leq x_{n_k} \leq b_k $$

De esta construcción también se obtiene una sucesión de intervalos encajados

$$ I_{k+1}\subset I_k, \forall k\in\mathbb{N} $$

cuya longitud tiende a 0:

$$ \lim_{k\to \infty} (b_k-a_k) = \lim_{k\to \infty} \frac{K}{2^k}=0$$

Por el Teorema de los intervalos encajados, existe un único punto \( x_0 \) tal que

$$x_0 = \lim_{k\to \infty} a_k $$

$$x_0 = \lim_{k\to \infty} b_k $$

Pero como \( a_k \leq x_{n_k}\leq b_k\), entonces, por la Regla del sándwich,

$$x_0 = \lim_{k\to \infty} x_{n_k} $$

Luego la subsucesión es convergente a \( x_0\).

La demostración consta de dos partes: en la primera se demuestra que la función es acotada en \([a,b]\) para demostrar, en la segunda, que existen el máximo y el mínimo de \(f\).

Primera parte: demostración de que la función es acotada en el intervalo \([a,b]\) por reducción al absurdo.

Si la función no está acotada, entonces para cada \(n \in\mathbb{N}\), existe un punto \(x_n\) del intervalo \([a,b]\) tal que \( |f(x_n)|> n\). Nótese que

$$ \lim _{n\to \infty} |f(x_n)| = +\infty $$

Considérese la sucesión

$$ \{x_n\}_{ n \in\mathbb{N}} \subset [a,b]$$

La sucesión es acotada puesto que \(x_n \in [a,b]\) para todo \(n\in\mathbb{N}\). Por el Teorema de Bolzano-Weierstrass, existe una subsucesión

$$ \{x_{n_k}\}_{ k \in\mathbb{N}} \subset \{x_n\}_{ n \in\mathbb{N}} $$

que es convergente a un punto \(x_0\in [a,b]\). Es decir,

$$ \lim _{k\to \infty} x_{n_k} = x_0 $$

Por un lado,

$$ \{x_{n_k}\}_{ k \in\mathbb{N}} \subset \{x_n\}_{ n \in\mathbb{N}} $$

lo que implica que

$$ \lim _{k\to \infty} |f(x_{n_k})| = +\infty $$

Por otro lado, como la función es continua y \( x_{n_k} \rightarrow x_0\), se tiene que

$$ \lim _{k\to \infty} |f(x_{n_k})| = |f(x_0)| $$

Segunda parte: demostración de que existen dos puntos \( x_0\) y \(x_1\) que son el máximo y el mínimo de \(f\) en \( [a,b]\).

Sea \( A\) la imagen de \([a,b]\) mediante \(f\), es decir,

$$ A = \{f(x) : x \in [a.b]\} $$

Como \(A\) es un conjunto acotado, tiene ínfimo y supremo:

$$ \alpha = inf\{ A \},\beta = sup\{A\}\in\mathbb{R}$$

Se desea demostrar que tanto el ínfimo como el supremo se alcanzan, es decir, que existen \(x_0, x_1 \in [a,b]\) tales que \(f(x_0)=\alpha \) y \(f(x_1)=\beta \).

Que \(\alpha\) sea el ínfimo de \(A\) significa que es la mayor de las cotas inferiores de \(A\).

Sea \(n\in\mathbb{N}\), entonces \( \alpha + 1/n\) no es una cota inferior de \(A\) puesto que es mayor que \( \alpha\) y \(\alpha\) es el ínfimo. Por tanto, debe existe algún punto \( x_n\in [a,b]\) tal que

$$ f(x_n) \leq f(\alpha + 1/n) $$

Además, como \( \alpha\) es el ínfimo,

$$ \alpha \leq f(x_n) \leq f(\alpha + 1/n) $$

De esta expresión se sigue que

$$ \lim _{n\to \infty} f(x_n) = \alpha $$

La sucesión

$$ \{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}\subset [a,b]$$

es acotada y, por Bolzano-Weierstrass, tiene una subsucesión \(\{ x_{n_k}\}_{k\in\mathbb{N}}\) convergente a algún punto \( x_0\in [a,b]\). Es decir,

$$ \lim _{k\to \infty} x_{n_k} = x_0 $$

Como la subsucesión y el punto \(x_0\) están en el intervalo \([a,b]\) y \(f\) es continua en dicho intervalo, se tiene que

$$ \lim _{k\to \infty} f(x_{n_k}) = f(x_0) $$

Pero como

$$ \lim _{n\to \infty} f(x_n) = \alpha $$

entonces,

$$ \lim _{k\to \infty} f(x_{n_k}) = \alpha $$

Por tanto,

$$ f(x_0) = \lim _{k\to \infty} f(x_{n_k}) = \alpha $$

De forma análoga se prueba que \( \beta\) es el mínimo de \(A\).