Matriz inversa por el método de Gauss
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Matriz inversa por Gauss

Existen diversos métodos para calcular la inversa de una matriz, aunque los más extendidos son el método de la matriz adjunta y el que vamos a ver en esta página.

Contenido de esta página:

  1. Introducción
  2. Método de Gauss para calcular la inversa
  3. Problemas resueltos

1. Introducción

Dada una matriz \(A\) de dimensión \(nxn\), su matriz inversa, \(A^{-1}\), es la única matriz de dimensión \(nxn\) que cumple

$$ A·A^{-1} =I_n = A^{-1}·A $$

Por ejemplo, la siguiente matriz es igual a su inversa:

Explicamos el método de Gauss para calcular la inversa y lo aplicamos a 8 matrices de distintas dimensiones (2x2, 3x3 y 4x4). Incluye una introducción sobre la matriz inversa de una matriz. Matemáticas para bachillerato y universidad. Álgebra matricial. Matrices. Problemas resueltos.

Una matriz cuadrada (mismo número de filas que de columnas) tiene matriz inversa si, y solamente si, su determinante es distinto de 0.

Las matrices con inversa se denominan regulares o invertibles. En caso contrario, se denominan singulares.

La inversibilidad de las matrices es un concepto clave en el álgebra matricial debido a sus múltiples aplicaciones.

Como curiosidad, si una matriz es rectangular (distinto número de filas y de columnas), puede tener matrices inversas por uno u otro lado.

Ver ejemplo
X

2. Método de Gauss para calcular la inversa

Llamaremos operaciones elementales fila (sobre una matriz) a las siguientes operaciones:

  • Multiplicar una fila por un número distinto de 0.

  • Sumar (o restar) a una fila, el múltiplo de otra fila.

  • Intercambiar el orden de las filas.

Recordad que, si una matriz cuadrada es regular, entonces podemos realizar un número finito de operaciones elementales fila para transformar la matriz en la matriz identidad.

En el método de Gauss se realizan las mismas operaciones sobre la matriz identidad, transformándose así en la matriz inversa de \(A\).

Los pasos del método de Gauss son:

  1. Escribimos una matriz doble que contiene a la matriz \(A\) en un lado y a la matriz identidad en el otro. Por ejemplo,

    Explicamos el método de Gauss para calcular la inversa y lo aplicamos a 8 matrices de distintas dimensiones (2x2, 3x3 y 4x4). Incluye una introducción sobre la matriz inversa de una matriz. Matemáticas para bachillerato y universidad. Álgebra matricial. Matrices. Problemas resueltos.

  2. Realizamos operaciones elementales fila para transformar la matriz \(A\) en la identidad. En el ejemplo, es suficiente restar la fila 2 a la fila 1:

    Explicamos el método de Gauss para calcular la inversa y lo aplicamos a 8 matrices de distintas dimensiones (2x2, 3x3 y 4x4). Incluye una introducción sobre la matriz inversa de una matriz. Matemáticas para bachillerato y universidad. Álgebra matricial. Matrices. Problemas resueltos.

  3. Al terminar, por lo que dijimos anteriormente, la matriz \(B\) del lado derecho es, precisamente, la inversa de \(A\): \(B=A^{-1}\).

3. Problemas resueltos

En todos los problemas debe hallarse la matriz inversa mediante el método de Gauss.

Problema 1

Matriz de dimensión 2x2

Explicamos el método de Gauss para calcular la inversa y lo aplicamos a 8 matrices de distintas dimensiones (2x2, 3x3 y 4x4). Incluye una introducción sobre la matriz inversa de una matriz. Matemáticas para bachillerato y universidad. Álgebra matricial. Matrices. Problemas resueltos.

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Problema 2

Matriz de dimensión 2x2

Explicamos el método de Gauss para calcular la inversa y lo aplicamos a 8 matrices de distintas dimensiones (2x2, 3x3 y 4x4). Incluye una introducción sobre la matriz inversa de una matriz. Matemáticas para bachillerato y universidad. Álgebra matricial. Matrices. Problemas resueltos.

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Problema 3

Matriz de dimensión 3x3

Explicamos el método de Gauss para calcular la inversa y lo aplicamos a 8 matrices de distintas dimensiones (2x2, 3x3 y 4x4). Incluye una introducción sobre la matriz inversa de una matriz. Matemáticas para bachillerato y universidad. Álgebra matricial. Matrices. Problemas resueltos.

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Problema 4

Matriz de dimensión 3x3

Explicamos el método de Gauss para calcular la inversa y lo aplicamos a 8 matrices de distintas dimensiones (2x2, 3x3 y 4x4). Incluye una introducción sobre la matriz inversa de una matriz. Matemáticas para bachillerato y universidad. Álgebra matricial. Matrices. Problemas resueltos.

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Problema 5

Matriz de dimensión 4x4

Explicamos el método de Gauss para calcular la inversa y lo aplicamos a 8 matrices de distintas dimensiones (2x2, 3x3 y 4x4). Incluye una introducción sobre la matriz inversa de una matriz. Matemáticas para bachillerato y universidad. Álgebra matricial. Matrices. Problemas resueltos.

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Problema 6

Matriz diagonal de dimensión 2x2 (\(a\) y \(b\) son distintos de 0)

Explicamos el método de Gauss para calcular la inversa y lo aplicamos a 8 matrices de distintas dimensiones (2x2, 3x3 y 4x4). Incluye una introducción sobre la matriz inversa de una matriz. Matemáticas para bachillerato y universidad. Álgebra matricial. Matrices. Problemas resueltos.

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Problema 7

Matriz diagonal de dimensión 3x3 (\(a\), \(b\) y \(c\) son distintos de 0)

Explicamos el método de Gauss para calcular la inversa y lo aplicamos a 8 matrices de distintas dimensiones (2x2, 3x3 y 4x4). Incluye una introducción sobre la matriz inversa de una matriz. Matemáticas para bachillerato y universidad. Álgebra matricial. Matrices. Problemas resueltos.

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Problema 8

Matriz diagonal secundaria de dimensión 3x3 (\(a\), \(b\) y \(c\) son distintos de 0)

Explicamos el método de Gauss para calcular la inversa y lo aplicamos a 8 matrices de distintas dimensiones (2x2, 3x3 y 4x4). Incluye una introducción sobre la matriz inversa de una matriz. Matemáticas para bachillerato y universidad. Álgebra matricial. Matrices. Problemas resueltos.

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