Matriz inversa por Gauss

Existen diversos métodos para calcular la inversa de una matriz, aunque los más extendidos son el método de la matriz adjunta y el que vamos a ver en esta página.

Contenido de esta página:

1. Introducción
2. Método de Gauss para calcular la inversa
3. Problemas resueltos

Dada una matriz \(A\) de dimensión \(nxn\), su matriz inversa, \(A^{-1}\), es la única matriz de dimensión \(nxn\) que cumple

$$ A·A^{-1} =I_n = A^{-1}·A $$

Por ejemplo, la siguiente matriz es igual a su inversa:

Las matrices con inversa se denominan regulares o invertibles. En caso contrario, se denominan singulares.

La inversibilidad de las matrices es un concepto clave en el álgebra matricial debido a sus múltiples aplicaciones.

Como curiosidad, si una matriz es rectangular (distinto número de filas y de columnas), puede tener matrices inversas por uno u otro lado.

Llamaremos operaciones elementales fila (sobre una matriz) a las siguientes operaciones:

Recordad que, si una matriz cuadrada es regular, entonces podemos realizar un número finito de operaciones elementales fila para transformar la matriz en la matriz identidad.

En el método de Gauss se realizan las mismas operaciones sobre la matriz identidad, transformándose así en la matriz inversa de \(A\).

Los pasos del método de Gauss son:

1. Escribimos una matriz doble que contiene a la matriz \(A\) en un lado y a la matriz identidad en el otro. Por ejemplo,

   

2. Realizamos operaciones elementales fila para transformar la matriz \(A\) en la identidad. En el ejemplo, es suficiente restar la fila 2 a la fila 1:

   

3. Al terminar, por lo que dijimos anteriormente, la matriz \(B\) del lado derecho es, precisamente, la inversa de \(A\): \(B=A^{-1}\).

En todos los problemas debe hallarse la matriz inversa mediante el método de Gauss.

Problema 1

Matriz de dimensión 2x2

Problema 2

Matriz de dimensión 2x2

Problema 3

Matriz de dimensión 3x3

Problema 4

Matriz de dimensión 3x3

Problema 5

Matriz de dimensión 4x4

Problema 6

Matriz diagonal de dimensión 2x2 (\(a\) y \(b\) son distintos de 0)

Problema 7

Matriz diagonal de dimensión 3x3 (\(a\), \(b\) y \(c\) son distintos de 0)

Problema 8

Matriz diagonal secundaria de dimensión 3x3 (\(a\), \(b\) y \(c\) son distintos de 0)

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